К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение

Получены спектрально-угловое и спектральное распределения излучения ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся по искривленной спиральной траектории, когда вклад в излучение происходит от изгибного излучения и ондуляторного излучения за счет многих оборотов частицы вокруг дрейфовой траек...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Соболев, Я.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2011
Schriftenreihe:	Радиофизика и радиоастрономия
Schlagworte:	Радиоастрономия и астрофизика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98232
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение / Я.М. Соболев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2011. — Т. 16, № 4. — С. 355-365. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-98232
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-982322016-04-11T03:02:38Z К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение Соболев, Я.М. Радиоастрономия и астрофизика Получены спектрально-угловое и спектральное распределения излучения ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся по искривленной спиральной траектории, когда вклад в излучение происходит от изгибного излучения и ондуляторного излучения за счет многих оборотов частицы вокруг дрейфовой траектории. Изгибное излучение линейно поляризовано, ондуляторное излучение имеет круговую поляризацию. Исследовано влияние кривизны магнитной силовой линии на поляризацию ондуляторного излучения. Высказано предположение о реализуемости механизма ондуляторного излучения в магнитосфере пульсара. Отримано спектрально-кутовий та спектральний розподіли випромінювання ультрарелятивістської зарядженої частинки, що рухається уздовж скривленої спіральної траєкторії, коли внесок у випромінювання настає від згинального випромінювання та ондуляторного випромінювання за рахунок багатьох обертів частинки навколо дрейфової траєкторії. Згинальне випромінювання є лінійно поляризованим, ондуляторне випромінювання має кругову поляризацію. Досліджено вплив кривини магнітної силової лінії на поляризацію ондуляторного випромінювання. Висловлено припущення щодо реалізовності механізму ондуляторного випромінювання в магнітосфері пульсара. The spectral-angular and spectral radiation distributions of an ultrarelativistic charged particle moving along a spiral curved trajectory have been obtained for the case when the contribution to radiation occurs from many revolutions of the particle round a drift trajectory. Curvature radiation is linearly polarized, undulator radiation has circular polarization. The influence of curvature of magnetic lines on polarization of undulator radiation is investigated. The suggestion has been made that the undulator radiation mechanism can be realized in a pulsar magnetosphere. 2011 Article К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение / Я.М. Соболев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2011. — Т. 16, № 4. — С. 355-365. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-9636 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98232 524.354.4-62; 539.1.01 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Радиоастрономия и астрофизика Радиоастрономия и астрофизика
spellingShingle	Радиоастрономия и астрофизика Радиоастрономия и астрофизика Соболев, Я.М. К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение Радиофизика и радиоастрономия
description	Получены спектрально-угловое и спектральное распределения излучения ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся по искривленной спиральной траектории, когда вклад в излучение происходит от изгибного излучения и ондуляторного излучения за счет многих оборотов частицы вокруг дрейфовой траектории. Изгибное излучение линейно поляризовано, ондуляторное излучение имеет круговую поляризацию. Исследовано влияние кривизны магнитной силовой линии на поляризацию ондуляторного излучения. Высказано предположение о реализуемости механизма ондуляторного излучения в магнитосфере пульсара.
format	Article
author	Соболев, Я.М.
author_facet	Соболев, Я.М.
author_sort	Соболев, Я.М.
title	К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение
title_short	К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение
title_full	К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение
title_fullStr	К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение
title_full_unstemmed	К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение
title_sort	к теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Радиоастрономия и астрофизика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98232
citation_txt	К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение / Я.М. Соболев // Радиофизика и радиоастрономия. — 2011. — Т. 16, № 4. — С. 355-365. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT sobolevâm kteoriiizlučeniârelâtivistskojzarâžennojčasticyviskrivlennommagnitnompoleondulâtornoizgibnoeizlučenie
first_indexed	2025-07-07T06:13:32Z
last_indexed	2025-07-07T06:13:32Z
_version_	1836967592913272832
fulltext	Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4, с. 355-365 ISSN 1027-9636 © Я. М. Соболев, 2011 УДК 524.354.4-62; 539.1.01 К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение Я. М. Соболев Радиоастрономический институтт НАН Украины, ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина E-mail:sobolev@ri.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 22 августа 2011 г. Получены спектрально-угловое и спектральное распределения излучения ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся по искривленной спиральной траектории, когда вклад в излучение происходит от изгибного излучения и ондуляторного излучения за счет многих оборотов частицы вокруг дрейфовой траектории. Изгибное излучение линейно поляризовано, ондуляторное излучение имеет круговую поляризацию. Исследовано влияние кривизны магнитной силовой линии на поляри- зацию ондуляторного излучения. Высказано предположение о реализуемости механизма ондулятор- ного излучения в магнитосфере пульсара. Ключевые слова: изгибное излучение, синхротронно-изгибное излучение, ондуляторное излуче- ние, пульсар 1. Введение В магнитосфере пульсара релятивистские электроны и позитроны при рождении имеют отличный от нуля угол (питч-угол) между их скоростью и дипольным магнитным полем. Высветив за счет синхротронного излучения энергию поперечного движения, они движутся вдоль магнитной силовой линии и теряют энер- гию в режиме изгибного излучения (curvature radiation). В работе [1] были выведены фор- мулы, которые описывают синхротронное из- лучение ультрарелятивистского электрона, движущегося под произвольным питч-углом по винтовой траектории, навивающейся на иск- ривленную магнитную силовую линию. Авторы работы [1] назвали этот механизм излучения синх- ротронно-изгибным (synchrocurvature). Сущест- венной особенностью этого механизма яв- ляется то, что излучение происходит с малого участка траектории частицы. Вместе с тем может реализоваться режим движения, когда частица еще неполностью выс- ветила свою поперечную энергию и движется по траектории, навивающейся на искривленную магнитную силовую линию. В [2-4] был предло- жен механизм излучения релятивистской заря- женной частицы, движущейся по изогнутой спи- ральной траектории, когда, наряду с изгибным излучением, вклад в диаграмму направленности происходит от многих витков траектории части- цы вокруг силовой линии (режим ондуляторного излучения). В работе [4] механизм излучения был назван ондуляторно-изгибным. Вместе с тем в [4] не учитывался центробежный дрейф заря- женной частицы в искривленном магнитном поле1. В [6] был учтен центробежный дрейф ре- лятивистской заряженной частицы при исследо- вании спектрально-углового распределения он- дуляторно-изгибного излучения. В настоящей работе проводится дальней- шее обобщение ондуляторно-изгибного меха- низма излучения при учете дрейфа для частиц 1Использование более точной траектории частицы и учет дрейфа в работe [5] привело к обнаружению новых свойств синхротронно-изгибного излучения. Я. М. Соболев Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4356 разных знаков заряда. Уточняется траектория частицы. Выясняется влияние кривизны магнит- ных силовых линий, начальной фазы частицы на свойства ондуляторного излучения. Вычисляет- ся спектральное распределение ондуляторно- изгибного излучения, его поляризационные характеристики. Характерным свойством рассматриваемого механизма излучения является то, что основ- ные потери энергии частицы происходят одно- временно на двух различных частотах. При раз- ных относительных вкладах в общие потери энергии свойства излучения на этих частотах сильно различаются. На более низких частотах имеется широкополосное излучение со свойства- ми, присущими изгибному механизму излучения. На более высоких частотах преобладают свойства, присущие ондуляторному механизму излучения. Учет кривизны магнитной силовой линии приводит к дополнительному вкладу в по- ляризацию ондуляторного излучения в сравне- нии со случаем однородного магнитного поля. Во втором разделе статьи рассматривается траектория заряженной частицы в круговом магнитном поле, анализируются параметры, при которых релятивистский заряд может излучать в режиме ондуляторного излучения. Спектраль- но-угловое распределение излучения рассмат- ривается в третьем разделе статьи, где сравни- ваются свойства первой гармоники ондулятор- ного излучения в искривленном и однородном магнитных полях, рассматриваются поляриза- ционные характеристики излучения. В четвер- том разделе вычисляются спектральные рас- пределения ондуляторного излучения для σ - и π -поляризации. Получена универсальная фор- мула для суммарных потерь энергии на первой гармонике ондуляторного излучения. В заклю- чительном разделе обсуждаются основные свой- ства описанного механизма излучения. Подчер- кивается, что ондуляторно-изгибное излучение может быть одним из возможных каналов поте- ри энергии релятивистскими электронами в маг- нитосфере пульсара. В Приложении приведены вычисленные в работе интегралы от квадратов функции Эйри и квадрата ее производной. 2. Траектория частицы Магнитную силовую линию аппроксими- руем окружностью с радиусом, равным радиу- су кривизны силовой линии. В цилиндрической системе координат ( , , ),r zϕ связанной с со- прикасающейся плоскостью магнитной силовой линии, магнитное поле представим в виде 0 ,B ϕ= −B e (1) где 0B – величина магнитного поля, ϕe – орт цилиндрической системы координат (магнитная силовая линия лежит в плоскости ( , )x y декар- товой системы координат, см. рис. 1). Решение уравнений движения частицы в магнитном поле (1) находим методом Боголю- бова–Митропольского [7] в виде разложения по малому отношению ларморовского радиуса Br к радиусу кривизны магнитной силовой линии R, т. е. 1.Br Rε ≡ С учетом лишь первого порядка по ε полу- чаем [8] cos( ),r R R t= + ε ω + θ 2 sin( ) sin , 2 t tπ Ω Ωϕ = −Ω + ε ω + θ − ε θ ω ω (2) 2 sin( ).B B e R ez t R t e e Ω ω= − −ε ω + θ ω ω Рис. 1. Круговое магнитное поле и сопутствующий трехгранник к дрейфовой траектории: DV – вектор дрейфовой скорости частицы; D ,ττττ Dνννν и Db – орты трехгранника К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение 357Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4 Здесь 0v RϕΩ = – угловая скорость движения ведущего центра, 0v ϕ – начальная азимуталь- ная скорость; 2 2 23 ;Bω = ω + Ω 0 ( ) ,B e B mcω = γ 21 1 ,γ = −β ,v cβ = с – скорость света, v и m – скорость и масса частицы; e – заряд час- тицы. Постоянные интегрирования для коорди- нат ( , , ),r zϕ выбраны таким образом, что в начальный момент времени 0t = центр лармо- ровской окружности имеет координаты ( , 2, 0),R π а радиус ларморовской окружнос- ти образует угол θ c положительным направ- лением оси Oy. Для квадрата скорости получаем выра- жение 4 2 2 2 2 2 2 2 .B B Rv R rΩ= Ω + +ω ω (3) Вклад в квадрат полной скорости частицы (3) дают квадрат азимутальной скорости, квадрат скорости центробежного дрейфа вдоль оси z и квадрат скорости ларморовского вращения с частотой .ω Траектория частицы образована движением ведущего центра вдоль дрейфовой траектории (получается отбрасыванием в выражениях (2) осциллирующих слагаемых) и вращением вок- руг этого центра с угловой частотой ω (ниже, при рассмотрении спектрально-углового и спек- трального распределений излучения, частоту ω заменяем на частоту ).Bω Дрейфовая траек- тория навивается на цилиндрическую поверх- ность с осью вдоль оси z и радиусом R в пер- пендикулярном сечении. Проекция дрейфовой скорости на направление магнитного поля по- ложительна. Положительно (отрицательно) за- ряженная частица навивается на дрейфовую траекторию по правилу левого (правого) бурав- чика, проекция скорости ее центробежного дрей- фа вдоль оси z отрицательна (положительна). Винтовые дрейфовые траектории для положи- тельного и отрицательного зарядов отличают- ся знаком кручения. Рассмотрим движение частицы, при кото- ром азимутальная (вдоль магнитного поля) скорость релятивистская, .R cΩ → Дрейфовая траектория наклонена под углом 0D Dv v ϕψ = = 1BΩ ω к оси Ox. Вектор скорости образует с дрейфовой траекторией угол, равный 1.L B Br Rψ = ω Ω Параметр 2 2 ,B Bq r R= ω Ω равный отношению скорости движения по лар- моровской окружности L B Brω = ω к дрейфовой скорости 2 ,D Bv R= Ω ω определяет характер изменения радиуса кривизны траектории час- тицы [5, 8], а также соотношение между угла- ми Lψ и .Dψ Параметр q можно определить и как отношение центростремительных ускоре- ний, возникающих соответственно при движе- нии по ларморовской окружности и окружности, вписанной в магнитную силовую линию. Излучение ультрарелятивистской частицы, движущейся по окружности радиуса R, проис- ходит с дуги длиной .R γ Это расстояние частица проходит за время ( ),R cγ совершив при этом (2 ) (2 )B BR cω πγ = ω πγΩ оборотов вокруг дрейфовой траектории. Таким образом, для реализации режима ондуляторного излуче- ния, когда вклад в диаграмму направленности излучения происходит от многих витков траек- тории, необходимо выполнение условия 1.BN ω≡ γΩ (4) При выполнении этого условия из опре- деления лоренц-фактора и выражения (3) для квадрата скорости частицы следует, что 1 ,Lγ ψ 1 Dγ ψ и далее ,γ ≈ γ где 2 2 21 1 R cγ = −Ω – лоренц-фактор для про- дольного движения частицы. 3. Спектрально-угловое распределение Для вычисления распределения энергии ,E излучаемой заряженной частицей в интервале телесных углов между o и do o+ в интервале частот между ω и d ,ω+ ω воспользуемся выражением [9] 2 20 2d ( ) d d , 4 cR o= ω ω π EE (5) где ( )ωE – Фурье-компонента электрического поля в дальней зоне, Я. М. Соболев Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4358 0 0 ( ) exp i Ri e cR c ω− ω ⎛ ⎞ω = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ E [ ] { }[ , ] exp ( ) d .i t c t +∞ −∞ × ω −∫ n n β nr (6) Здесь 0R – расстояние до наблюдателя; n – единичный вектор, соответствующий направ- лению потока энергии на наблюдателя; ,c= vββββ v – скорость заряженной частицы; r – радиус- вектор траектории частицы (2). Для вычисления электрического поля (6) поступим следующим образом. В каждой точ- ке траектории (2) вводим естественный трех- гранник к дрейфовой траектории, состоящий из ортов касательной ,Dτ нормали Dν и бинорма- ли Db (см. рис. 1). Выбираем такую точку дрейфовой траектории в момент времени 0 ,t что орт n лежит в спрямляющей плоскости (плоскость касательной Dτ и бинормали ).Db Тогда условие для выбора момента времени 0t принимает вид 0( ) 0.D t =nν (7) Вектор n лежит в плоскости ( , )D Dτ b и за- писывается в виде cos sin ,D D= χ + χn τ b (8) где χ – угол между ортами Dτ и n, т. е. между вектором дрейфовой скорости и направлением на наблюдателя (см. рис. 1). Определением (8) задается положительное направление для угла χ (от Dτ к ).Db При таком подходе направле- ние орта n определяется двумя величинами: моментом времени 0t и углом ,χ которые лег- ко связать с угловыми координатами в сфери- ческой системе координат. Введем сферическую систему координат ( , , ).r ϑ ϕ Поскольку орт нормали к дрейфовой траектории направлен против орта радиальной координаты, ,D r= −ν e то значению 0 0t = соот- ветствует азимутальный угол 0,nϕ = индекс n обозначает угловую координату орта n. Для момента времени 0 0t ≠ угол 0.n tϕ = −Ω При этом . 2n B e e π Ωϑ = + + χ ω Заметим, что такой выбор ориентации ес- тественного трехгранника позволяет сущест- венно упростить вывод формул и обобщить фор- мулы для спектрально-углового распределения, полученные в работе [6] для частного случая 0 0,t = на общий случай 0 0.t ≠ Для описания поляризационных свойств из- лучения выберем один из ортов поляризации , ,π σe e лежащих в плоскости, перпендикуляр- ной n, сонаправленным с нормалью к дрейфо- вой траектории, .Dσ =e νννν Орт σe направлен вдоль вектора ускорения частицы в данной точке к центру соприкасающейся окружности. Второй орт [ , ]π σ=e e n лежит в плоскости ( , ).D Dτ b Орты , ,π σe e n образуют правую тройку: ,Dσ =e νννν sin cos .D Dπ = χ − χe τ b (9) Разлагая фурье-компоненту электрического поля (6) по ортам (9) и подставляя полученные выражения в формулу (5), находим спектраль- но-угловое распределение излучения для двух поляризаций [6]: 2 2 2d ( ) d d , 4i i e b o c = ω ω π E , .i = π σ (10) Воспользовавшись выражениями (2), (8), (9) и отбросив постоянное слагаемое в показателе экспоненты, получаем ( ) exp (1 cos )i ib i i ∞ −∞ ⎧ ⎡ω = ω β ω −β χ τ +⎨ ⎢ ⎣⎩ ∫ 0 2 3cos sin sin( ) 6 B B Be e t⊥β χΩ τ β χ ω +ω τ+ θ+ − − ω 0cos cos( ) d , B B Bt⊥ ω +ω τ ⎫⎤β χ ⎪− Ωτ τ⎬⎥ θ ω ⎪⎦⎭ + (11) где для компонент скорости ( ( , ),i iβ = β e , )i = π σ имеем 0sin cos cos( ),B B e t eπ ⊥β χ − β χ ω +ω τβ + θ= (12) 0sin( ).B Btσ ⊥β = β Ωτ+β ω +ω τ+ θ К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение 359Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4 Здесь ,R cβ = Ω ,B Br c⊥β = ω 0.t tτ = − Выражения (11), (12), в отличие от анало- гичного выражения (14) из работы [6], явно учитывают знак заряда частицы и момент вре- мени 0t (ориентацию трехгранника относитель- но дрейфовой траектории). При этом зависи- мость от 0t входит в комбинации 0 .Btω + θ Без учета дрейфа и начального положения частицы формулы (12) переходят в соответст- вующие выражения, полученные в работе [4]. Фаза экспоненты и предэкспоненциальный мно- житель в формуле (11) разложены по малому параметру 1.Ωτ При вычислении интеграла (11) поступаем следующим образом2. Разлагаем экспонен- ты, соответствующие третьему и четвертому слагаемым в показателе экспоненты, в ряды Тейлора. При временах ~1 ( )τ γ Ω и питч-уг- лах 1⊥β γ < эти слагаемые значительно мень- ше первых двух слагаемых и на характерных частотах по абсолютной величине меньше единицы. Затем, после перемножения этих разложений между собой и с множителем (12), оставляем в качестве предэкспоненциаль- ного выражения только сумму слагаемых, со- держащих нулевую и первую гармоники по частоте .Bω (Заметим, что этим способом мож- но получить и формулы ондуляторного излуче- ния в однородном магнитном поле, которые в [10] найдены как асимптотики обобщенной формулы Шотта.) В результате имеем ( )0exp ( ) ,Bb i C i t Uπ π π⎡ ⎤= π + − ω +θ⎣ ⎦ (13) ( )0exp ( ) .Bb C i t Uσ σ σ⎡ ⎤= π + − ω +θ⎣ ⎦ (14) Как уже упоминалось выше, формула (11) отличается от соответствующих выражений в работе [6] наличием комбинации 0 .Btω + θ Поэтому при вычислении ,i iC U мы можем вос- пользоваться результатами работы [6]. В слу- чае произвольных углов (0, )χ∈ π получаем выражения (работа [6], формулы (15), (16)), которые легко обобщаются на случай двух зна- ков заряда. В приближении малых углов 1,χ учиты- вая, что ультрарелятивистская частица излу- чает в диапазоне углов ~1χ γ вдоль направ- ления вектора своей скорости, имеем: в случае π -поляризации 0 1 3 Ai( ) 2 , B C fπ β ψ ζω= ω γ (15) 1 3 B U f ⊥ π ωβ= − × ω 2 1 1 1 3 Ai ( )(1 2 )Ai( ) 2 ;e e Nf ⎡ ⎤′ξψ ζ× − ξψ ζ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (16) в случае σ -поляризации 0 2 3 Ai ( ) 2 , B N C fσ ′β ζω ω γ = (17) 1 3 B U f ⊥ σ βω= × ω ( )2 1 1 1 3 2 Ai ( )1 2 (1 ) Ai( ) .e e Nf ⎡ ⎤′ξψ ζ× − ξ ++ψ ζ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (18) Здесь 2 ,f N= ξ ( )2 33 2 0 (2 ) (1 ),ζ = ω γ Ω +ψ ( )1 3 2 1 2 (1 ) 1 ,N ⎡ ⎤= ξ ξ +ψ −⎣ ⎦ζ ( )22 ,Bξ = ω γ ω ,ψ = γ χ ( )31Ai( ) exp 3 d 2 x i xt t t ∞ −∞ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦π ∫ (19) функция Эйри, dAi( )Ai ( ) d xx x ′ ≡ – производная функции Эйри [11]. Первое слагаемое в формулах (13), (14) опи- сывает изгибное излучение, второе слагаемое описывает вклад ондуляторного излучения. Множитель ( )0exp ( )Bi t− ω + θ связан с фазой 2В работе [4] при вычислении интегралов типа (11) третья экспонента была разложена в ряд по функциям Бесселя. Я. М. Соболев Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4360 частицы в момент времени 0t (как показано выше, 0Bt−ω – это азимутальный угол направ- ления излучения). Если в первых слагаемых в формулах (16), (18) положить 21 (1 )ξ = +ψ (излучение на первой гармонике) и отбросить вторые слагаемые, то выражения (16), (18) переходят в формулы ондуляторного излучения в однородном магнитном поле [10, 12]. Учет кривизны магнитной силовой линии (вторые сла- гаемые в квадратных скобках в формулах (16), (18)) приводит к отличиям, особенно заметным при увеличении угла .ψ Например, π -компо- нента электрического поля при излучении под углом ~1χ γ обращается в нуль в однород- ном магнитном поле, но при учете кривизны магнитной силовой линии в (16) отлична от нуля. Подставляя формулы (13), (14) в (10), полу- чаем выражения для спектрально-углового рас- пределения энергии: 2 2 2 0 2 2cos( d d d ) , 4 B e o U c C t C Uπ π π π π+ ω +⎡ θ= ω + ⎤⎣ ⎦ E (20) 2 2 2 0 2 2cos( d d d 4 ) ,B e o C U U c C tσ σ σσ σ+ ω +⎡ θ= ω + ⎤⎣ ⎦ E (21) где ,Cπ σ и ,Uπ σ заданы формулами (15)-(18). В выражениях (20), (21) первое слагаемое описывает изгибное излучение. Если функции Эйри 0Ai( ),ζ 0Ai ( )′ ζ в формулах (15), (17) выразить через функции Макдональда 1 3,K 2 3,K то получим классические формулы для синхротронного излучения заряда, движущего- ся по окружности радиуса R [13]. Третье сла- гаемое описывает ондуляторное излучение на первой гармонике. Второе слагаемое, содер- жащее множитель 0cos( ),Btω + θ описывает интерференцию вкладов от изгибного и онду- ляторного излучений. Это слагаемое зависит от начальной фазы частицы θ и момента вре- мени 0.t Если рассматривать излучение сгуст- ка частиц с нескоррелированными фазами, то это слагаемое обращается в нуль при усред- нении по начальным фазам частиц. Из выражений (15)-(18) следует, что в зави- симости от частоты спектрально-угловое рас- пределение (20), (21) имеет два локальных мак- симума. Первый максимум на частоте 3~Cω γ Ω соответствует изгибному механизму излучения, второй на частоте (1) 2 2~ 2 (1 )U Bω γ ω +ψ соот- ветствует первой гармонике ондуляторного излучения. Частота (1) Uω примерно в N раз боль- ше частоты .Cω При увеличении числа оборо- тов N вокруг дрейфовой траектории, вносящих вклад в формирование ондуляторного излуче- ния, относительная величина максимума пер- вой гармоники значительно увеличивается. Однако характерные частоты значительно раз- личаются, и на каждой частоте преобладает свой механизм излучения (см. рис.2 и рис. 3 в работе [6]). 3.1. Поляризационные свойства Вектор электрического поля для изгибного излучения принимает вид ( )3 22 2 1 3 21 1 3 i K N π ⎛ ⎞∝ ψ +ψ ξ +ψ −⎜ ⎟⎝ ⎠ E e ( ) ( )3 22 2 2 3 21 1 , 3 K N σ ⎛ ⎞− +ψ ξ +ψ⎜ ⎟⎝ ⎠ e характерный для излучения релятивистской заряженной частицы, движущейся по окруж- ности [13]. Для вклада ондуляторного механизма излу- чения из (16), (18) получаем 2 1 1(1 2 )Ai( ) ( , )ei f e π ⎡ ⎤ ∝ − − ξψ ζ + ψ ζ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ E e ( )2 1 11 2 (1 ) Ai( ) ( , ) ,e f e σ ⎡ ⎤ + − ξ +ψ ζ + ψ ζ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ e (22) где 2 3 1 11 3 2( , ) Ai ( ).f N ξ ψ ′ψ ζ = ζ Если в выражении (22) положить 2(1 ) 1ξ +ψ = (излучение на частоте первой гармоники) и 1( , ) 0f ψ ζ = (излучение вдоль направления ),Dτ то получим выражение, описывающее поляри- зацию в однородном магнитном поле [10, 12]. Видно, что за счет кривизны магнитного поля появляются поправки, они становятся су- К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение 361Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4 щественными при 0.ψ > Изгибное излучение эллиптически поляризовано, с выраженной ли- нейной поляризацией. Ондуляторное излучение при 0ψ = имеет круговую поляризацию, при- чем вектор электрического поля излучения вращается в том же направлении, что и заря- женная частица в магнитном поле. 4. Спектр излучения Вычислим мощность излучения частицы в единичном интервале частот. Для этого вы- ражения (20), (21) нужно проинтегрировать по телесному углу и усреднить по времени из- лучения. Поскольку вклад в суммарную мощ- ность излучения от ансамбля частиц за счет второго слагаемого в формулах (20), (21) при ус- реднении стремится к нулю, учтем только вкла- ды изгибного и ондуляторного излучений. Проин- тегрируем выражения (20), (21) по телесному углу d 2 do = π ψ γ и усредним по периоду между последовательными импульсами 2 .π Ω Для вклада изгибного излучения имеем клас- сические выражения [13]: ( ) 5 3 2 3 d 9 3 ( )d ( ) , d 16 C C C C C y P W y K K y ∞ π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= η η− ω π ω ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ (23) ( ) 5 3 2 3 d 9 3 ( )d ( ) , d 16 C C C C C y P W y K K y ∞ σ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= η η+ ω π ω ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ (24) где ;C Cy = ω ω 3(3 2) ;Cω = γ Ω (2 3)W = × 2 2 4 \|\|( )e cα Ω γ – полная мощность, теряемая элек- троном при изгибном излучении. Спектры излучения для первой гармоники ондуляторного излучения получаем, применив формулы (П1)-(П5) из Приложения: ( ) 2 3 2 d 1 ( ) d 2 2 U U NP W N⊥π ⎛ ⎞β ×⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠ = ξ ω ω 4 3 2 1 3 4 3 2 3 2 3 2 33 3Ai(2 ) Ai (2 ) 2 x x N N ⎧ × +⎨ ξ ′ ⎩ ξ + ( )21 2 2+ − ξ + ξ × ( ) ( ) 1 3 4 3 2 3 1 3 2 12 1 Ai ,d N z z z z z ∞ ξ ⎫⎛ ⎞− ⎪⎛ ⎞ ⎜ ⎟× + ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎭ ∫ (25) 2) 2 ( 3d d 1 (2 ) 2 U U P W N Nσ ⊥ ⎛ ⎞β ⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠ = ξ× ω ω 2 3 4 3 2 3 2 3 2 1 3 4 3 3 3Ai(2 ) Ai (2 ) 2 x x N N ⎧ ξ ξ ′× − +⎨ ⎩ ( )21 2 2+ − ξ + ξ × 2 3 1 3 4 3 1 3 2 1 (2 ) ( 1)Ai ,dN z z z z z ∞ ξ ⎫⎛ ⎞− ⎪⎛ ⎞× + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ∫ (26) где 2 3 1 3( 1) ,Nx ξ − ξ= 22 .U Bω = γ ω На рис. 2 и рис. 3 построены графики нор- мированной мощности потерь энергии для π -поляризации (25) и для σ -поляризации (26) в зависимости от безразмерной частоты Рис. 2. Спектральное распределение ондуляторно- изгибного излучения для π -поляризации: N 20,= 0.1,⊥ε = (сплошная кривая), 0.05⊥ε = (штриховая линия). На вставке (верхний левый угол) показан увеличенный фрагмент спектра вблизи максимума ондуляторного излучения: 0.1,⊥ε = N 20= (штри- ховая линия) и N 50= (сплошная кривая) Я. М. Соболев Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4362 2(2 ).Bξ = ω γ ω Эти графики представляют уни- версальные функции распределения излучения, зависящие от параметров N и .⊥ ⊥ε ≡ β γ Как видно из (25), (26) первое слагаемое в фигурных скобках значительно меньше вто- рого и третьего слагаемых при достаточно больших значениях параметра N. Второе сла- гаемое, также малое в сравнении с третьим, приводит к отличиям от чисто круговой поля- ризации. В спектре имеется две характерных частоты: частота изгибного излучения 3 (4 )C U Nω = ω и частота первой гармоники ондуляторного из- лучения 22 .U Bω = γ ω Относительная мощность потерь зависит от величины параметра .N ⊥ε При значении этого параметра меньше едини- цы потери энергии на ондуляторное излучение меньше потерь на изгибное излучение. Близость характерной частоты ондулятор- ного излучения к частоте Uω зависит от вели- чины параметра N. Как видно на вставке на рис. 2, при 20N = (штриховая линия) час- тота максимума ондуляторного излучения рав- на 0.84 ,Uω а при 50N = (сплошная кривая) эта частота равна 0.92 .Uω При N → ∞ харак- терная частота ондуляторного излучения стре- мится к .Uω Сложив спектры (25), (26) для обеих поля- ризаций, пренебрегая малым первым слагае- мым в фигурных скобках, получаем суммар- ный спектр ондуляторного излучения на первой гармонике: ( ) 2 3 2 d (2 ) d U u P W N N⊥ ⎛ ⎞β ×⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠ = ξ ω ω ( )21 2 2× − ξ + ξ × 2 3 1 3 4 3 1 3 2 1 (2 ) ( 1)Ai .dN z z z z z ∞ ξ ⎛ ⎞−⎛ ⎞× + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ (27) 5. Обсуждение Таким образом, получены формулы, опи- сывающие спектральное распределение излу- чения релятивистской заряженной частицы, движущейся по спиральной траектории в ис- кривленном магнитном поле под малыми питч- углами, такими, что формирование диаграм- мы направленности происходит от многих вит- ков траектории частицы вокруг ее дрейфовой траектории. Частица теряет энергию за счет изгибного механизма излучения, возникающе- го из-за кривизны магнитной силовой линии, и ондуляторного излучения, которое возникает из-за вращения частицы вокруг силовой линии магнитного поля. Спектр изгибного излучения описывается классическими формулами син- хротронного излучения частицы, движущейся по окружности радиуса, равного радиусу кри- визны магнитной силовой линии. Спектр онду- ляторного излучения описывается содержащи- ми функции Эйри формулами (25)-(27), кото- рые характеризуют его в широком диапазоне частот. Для потерь энергии на ондуляторное излучение имеем универсальную формулу (27). Отношение потерь энергии на изгибное и ондуляторное излучения зависит от величины параметра .N ⊥ε Как видно из формул (23)-(26), при 1N ⊥β γ > ондуляторный канал потерь энергии может быть основным. При 1N ⊥β γ < основные потери обусловлены изгибным ме- ханизмом излучения. Однако независимо от отношения интенсивностей каналы излуче- ния четко различимы. Изгибное излучение ши- рокополосное с преобладанием линейной по- ляризации, ондуляторное излучение узкополос- ное с преобладанием круговой поляризации, Рис. 3. Спектральное распределение ондуляторно- изгибного излучения для σ -поляризации: N 20,= 0.2⊥ε = (сплошная кривая), 0.1⊥ε = (пунктирная кривая), 0.05⊥ε = (штриховая линия) К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение 363Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4 знак круговой поляризации зависит от знака заряда. Более того, характерная частота из- гибного излучения Cω в N раз меньше ха- рактерной частоты ондуляторного излучения (4 3) ,U CNω = ω что позволяет легко диагнос- тировать канал излучения. Рассмотрены свойства первой гармоники ондуляторного излучения. Для аналогичного описания ондуляторного излучения на второй гармонике предложенным в работе методом требуется учет траектории частицы с точнос- тью до второго порядка по .ε Это исследова- ние будет проведено в дальнейшем. Однако, как показано в [4], отношение мощностей по- терь на второй и первой гармониках ондулятор- ного излучения пропорционально величине ( )2 .⊥β γ В магнитосфере пульсара обычно рассмат- риваются потери энергии релятивистских элек- тронов и позитронов на изгибное излучение. Вместе с тем при наличии энергии поперечного движения заряженные частицы будут терять энергию по двум каналам излучения: за счет ондуляторного и за счет изгибного излучения. Условие (4), которое необходимо для осу- ществления режима ондуляторного излучения, как показано в работе [4], для дипольного маг- нитного поля пульсаров в области открытых магнитных силовых линий можно записать в виде 5 2 0 2 ,N rN r ∗⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟γ ⎝ ⎠ 1 2 1 0 2 . 3 eB rN mc c −∗ ∗ ∗ ∗ Ω⎛ ⎞= Ω ⎜ ⎟⎝ ⎠ (28) Здесь , r∗ ∗Ω – угловая частота вращения и ра- диус нейтронной звезды соответственно; B∗ – магнитное поле на поверхности звезды; r – расстояние от поверхности звезды до области излучения. Оценивая (28) при значениях маг- нитного поля и угловой частоты вращения, характерных для обычных и миллисекундных пульсаров, находим, что условие реализуе- мости ондуляторно-изгибного излучения легко выполняется для электронов (позитронов) с лоренц-факторами 3~ 10 .γ Таким образом, он- дуляторное излучение может быть одним из механизмов излучения ультрарелятивистских заряженных частиц в магнитосфере пульсара. Признаком этого механизма излучения являет- ся круговая поляризация электромагнитного из- лучения. Автор благодарен В. И. Карасю за об- суждение результатов работы и полезные за- мечания. Приложение Выведем формулы, необходимые при вычис- лении спектрального распределения ондулятор- ного излучения, пропорционального интегралу 2 , d .U ∞ π σ −∞ ψ∫ Как можно увидеть из формул (16), (18), интегралы содержащие произведение функ- ции Эйри и ее производной, обращаются в нуль вследствие нечетности подынтегрального вы- ражения. Поэтому получаем следующие выра- жения для интегралов, содержащих квадраты функций Эйри: 2 3 2 2 2 3 1 3 2 1 (1 ) 1 1Ai d Ai( )d , 2 x y y f f f ∞ ∞ −∞ ⎛ ⎞ξ +ψ − ψ =⎜ ⎟ ξ⎝ ⎠ ∫ ∫ (П1) 2 2 2 1 3 (1 ) 1Ai d f f ∞ −∞ ⎛ ⎞ξ ξ +ψ −ψ ψ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2 3 2 3 2 3 2 1 1 Ai (2 ) Ai( )d , 24 x x x y y f ∞⎛ ⎞ ′= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ξ ⎝ ⎠ ∫ (П2) 2 2 4 2 4 3 3 (1 ) 1Ai d ff ∞ −∞ ⎛ ⎞ξ ξ +ψ −ψ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ψ∫ 2 3 2 33 2 Ai(2 ) 416 x f ⎡ = +⎢ ξ ⎢⎣ 2 3 2 3 2 3 2 1 Ai (2 ) Ai( )d , 2 x x x x y y ∞ ⎤⎛ ⎞ ′+ + ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎦ ∫ (П4) и для интеграла, содержащего квадрат произ- водной функции Эйри, Я. М. Соболев Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4364 2 2 2 1/3 (1 ) 1Ai d f f ∞ −∞ ⎛ ⎞ξ ξ +ψ −′ψ ψ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2 3 2 31 5 2 Ai(2 ) 16 4 1 x f ⎡ = ⋅ +⎢ ξ ⎢⎣ 2 3 2 3 2 3 2 1 Ai (2 ) Ai( )d , 2 x x x x y y ∞ ⎤⎛ ⎞ ′+ + ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎦ ∫ (П5) где 1 3( 1) .x f= ξ− При выводе этих формул в левой части выражений (П1)-(П5) заменяем функцию Эйри ее интегральным представлением (19) [14, 4]. В результате получаем тройной интеграл с пе- ременными интегрирования ,ψ 1τ и 2.τ Далее делаем замену переменных, 1 2( ),u = τ − τ 1 2( ),w = τ + τ и интегрируем сначала по пере- менным u и w, затем .ψ После чего получаем правые части выражений (П1)-(П5). Литература 1. Cheng K. S. and Zhang J. L. General radiation formulae for a relativistic charged particle moving in curved magnetic field lines: The synchrocurvature radiation mechanism // Astrophys. J. – 1996. – Vol. 463, No. 1. – P. 271-283. 2. Sobolev Ya. M. New radiation formulae of relativistic electrons in curved magnetic field lines // Proc. of IAU Symp. 199, The Universe at low radio frequencies, Nov.30-Dec.4, 1999. – Pune (India). – 1999. – Michigan: ASP, 2002. – P. 400-401. 3. Epp V. and Mitrofanova T. G. Radiation of relativistic particles in a quasi-homogeneous magnetic field // Proc. of the Ninth Lomonosov conf. on elementary physics, Particle physics at the start of the new millennium, 20- 26 Sept. 1999. – Moscow (Russia). – 1999. – Singapore: World Scientific, 2001. – P. 198-202. 4. Соболев Я. М. К теории излучения релятивистской заряженной частицы в магнитном поле c искривлен- ными силовыми линиями // Радиофизика и радиоас- трономия. – 2000. – Т. 5, №2. – С. 137-147. 5. Соболев Я. М. Влияние кривизны магнитных силовых линий на спектр и поляризацию синх- ротронного излучения заряженной частицы // Ра- диофизика и радиоастрономия. – 2001. – Т. 6, №4. – С. 277-290. 6. Соболев Я. М. Ондуляторное и изгибное излу- чение релятивистского заряда, движущегося по изогнутой спиральной траектории // Вопросы атомной науки и техники. Сер. «Плазменная элект- роника и новые методы ускорения». – 2010. – №4. – С. 165-169. 7. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимпто- тические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. – 504 с. 8. Sobolev Ya. M. Synchrotron radiation of relativistic electrons moving at small pitch-angles in inhomoge- neous magnetic field // Problems of atomic science and technology. Ser. “Plasma electronics and new accelera- tion methods”. – 2006. – No. 5. – P. 267-272. 9. Ландау Л. Д., Лифшиц И. М. Теория поля. – М.: Наука, 1973. – 504 c. 10. Соколов А. А., Гальцов Д. В., Жуковский В. Ч. Из- лучение электронов, движущихся по винтовым траек- ториям с релятивистской продольной скоростью // ЖТФ. – 1973. – Т. 43, Вып. 3. – С. 682-683. 11. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с. 12. Никитин М. М., Эпп В. Я. Ондуляторное излуче- ние. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 152 с. 13. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский элек- трон. – М.: Наука, 1974. – 392 с. 14. Westfold K. C. The polarization of synchrotron radiation // Astrophys. J. – 1959. – Vol. 130, No. 1. – P. 241-258. До теорії випромінювання релятивістської зарядженої частинки у викривленому магнітному полі: ондуляторно-згинальне випромінювання Я. М. Соболєв Отримано спектрально-кутовий та спект- ральний розподіли випромінювання ультраре- лятивістської зарядженої частинки, що рухаєть- ся уздовж скривленої спіральної траєкторії, коли внесок у випромінювання настає від згиналь- ного випромінювання та ондуляторного випро- мінювання за рахунок багатьох обертів час- тинки навколо дрейфової траєкторії. Згинальне випромінювання є лінійно поляризованим, он- дуляторне випромінювання має кругову поля- ризацію. Досліджено вплив кривини магнітної силової лінії на поляризацію ондуляторного вип- ромінювання. Висловлено припущення щодо реалізовності механізму ондуляторного випро- мінювання в магнітосфері пульсара. К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение 365Радиофизика и радиоастрономия, 2011, т. 16, №4 On Relativistic Charged Particle Radiation in a Curved Magnetic Field: Undulator- Curvature Radiation Ya. M. Sobolev The spectral-angular and spectral radiation dis- tributions of an ultrarelativistic charged particle moving along a spiral curved trajectory have been obtained for the case when the contribution to ra- diation occurs from many revolutions of the par- ticle round a drift trajectory. Curvature radiation is linearly polarized, undulator radiation has circular polarization. The influence of curvature of mag- netic lines on polarization of undulator radiation is investigated. The suggestion has been made that the undulator radiation mechanism can be realized in a pulsar magnetosphere.

К теории излучения релятивистской заряженной частицы в искривленном магнитном поле: ондуляторно-изгибное излучение

Institution

Ähnliche Einträge