Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки
В качестве модели противоточного осесимметричного гидродинамического излучателя рассмотрены собственные колебания упругой затопленной конической струйной оболочки кругового сечения. Вычислена частота основной гармоники как функция геометрических и гидродинамических параметров оболочки. Показана прин...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/990 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки / Ю. М. Дудзинский // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 27-35. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-990 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9902008-10-20T18:23:56Z Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки Дудзинский, Ю.М. В качестве модели противоточного осесимметричного гидродинамического излучателя рассмотрены собственные колебания упругой затопленной конической струйной оболочки кругового сечения. Вычислена частота основной гармоники как функция геометрических и гидродинамических параметров оболочки. Показана принципиальная возможность плавного регулирования основной гармоники акустического сигнала путем замены рабочей пары сопло-отражатель, изменения расстояния между соплом и отражателем, а также регулирования скорости струи на выходе из сопла. Выполнено сравнение теоретических данных с результатами экспериментальных исследований. У якості моделі протиточного осесиметричного гідродинамічного випромінювача розглянуті власні коливання пружної зануреної конічної струминної оболонки колового перерізу. Обчислено частоту основної гармоніки як функцію геометричних і гідродинамічних параметрів оболонки. Показано принципову можливість плавного регулювання основної гармоніки акустичного сигналу шляхом заміни робочої пари сопло-відбивач, зміни відстані між соплом і відбивачем, а також регулювання швидкості струменя на виході з сопла. Виконано порівняння теоретичних даних з результатами експериментальних досліджень. Natural oscillations of an elastic flooded conic jet shell of a circular cross-section are considered as a model of a counter-flow axially symmetric hydrodynamic radiator. The fundamental harmonic frequency is calculated as a function of geometric and hydrodynamic parameters of the jet shell. The principal possibility is shown for gradual tuning the fundamental harmonic of the acoustic signal by changing a nozzle-reflector working pair, varying the distance between the nozzle and reflector, and regulating jet velocity at a nozzle outlet. The theoretical data are compared with experimental results. 2006 Article Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки / Ю. М. Дудзинский // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 27-35. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/990 534.222.2 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В качестве модели противоточного осесимметричного гидродинамического излучателя рассмотрены собственные колебания упругой затопленной конической струйной оболочки кругового сечения. Вычислена частота основной гармоники как функция геометрических и гидродинамических параметров оболочки. Показана принципиальная возможность плавного регулирования основной гармоники акустического сигнала путем замены рабочей пары сопло-отражатель, изменения расстояния между соплом и отражателем, а также регулирования скорости струи на выходе из сопла. Выполнено сравнение теоретических данных с результатами экспериментальных исследований. |
| format |
Article |
| author |
Дудзинский, Ю.М. |
| spellingShingle |
Дудзинский, Ю.М. Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки |
| author_facet |
Дудзинский, Ю.М. |
| author_sort |
Дудзинский, Ю.М. |
| title |
Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки |
| title_short |
Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки |
| title_full |
Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки |
| title_fullStr |
Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки |
| title_full_unstemmed |
Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки |
| title_sort |
динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/990 |
| citation_txt |
Динамика затопленной конической осесимметричной струйной оболочки / Ю. М. Дудзинский // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 27-35. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dudzinskijûm dinamikazatoplennojkoničeskojosesimmetričnojstrujnojoboločki |
| first_indexed |
2025-07-02T05:13:25Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:13:25Z |
| _version_ |
1836510825808920576 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
УДК 534.222.2
ДИНАМИКА ЗАТОПЛЕННОЙ КОНИЧЕСКОЙ
ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ СТРУЙНОЙ ОБОЛОЧКИ
Ю. М. Д УД З И Н СК И Й
Одесский национальный политехнический университет
Получено 05.06.2006
В качестве модели противоточного осесимметричного гидродинамического излучателя рассмотрены собственные
колебания упругой затопленной конической струйной оболочки кругового сечения. Вычислена частота основной
гармоники как функция геометрических и гидродинамических параметров оболочки. Показана принципиальная
возможность плавного регулирования основной гармоники акустического сигнала путем замены рабочей пары со-
пло – отражатель, изменения расстояния между соплом и отражателем, а также регулирования скорости струи на
выходе из сопла. Выполнено сравнение теоретических данных с результатами экспериментальных исследований.
У якостi моделi протиточного осесиметричного гiдродинамiчного випромiнювача розглянутi власнi коливання пру-
жної зануреної конiчної струминної оболонки колового перерiзу. Обчислено частоту основної гармонiки як функцiю
геометричних i гiдродинамiчних параметрiв оболонки. Показано принципову можливiсть плавного регулювання
основної гармонiки акустичного сигналу шляхом замiни робочої пари сопло – вiдбивач, змiни вiдстанi мiж соплом i
вiдбивачем, а також регулювання швидкостi струменя на виходi з сопла. Виконано порiвняння теоретичних даних
з результатами експериментальних дослiджень.
Natural oscillations of an elastic flooded conic jet shell of a circular cross-section are considered as a model of a counter-flow
axially symmetric hydrodynamic radiator. The fundamental harmonic frequency is calculated as a function of geometric
and hydrodynamic parameters of the jet shell. The principal possibility is shown for gradual tuning the fundamental
harmonic of the acoustic signal by changing a nozzle – reflector working pair, varying the distance between the nozzle and
reflector, and regulating jet velocity at a nozzle outlet. The theoretical data are compared with experimental results.
ВВЕДЕНИЕ
Затопленные струйные оболочки и вихри мож-
но эффективно использовать в осесимметричных
гидродинамических излучателях (ГДИ) для гене-
рирования тонального сигнала высокой интенсив-
ности [1]. В таких излучающих системах часть ки-
нетической энергии затопленной струи преобразу-
ется в энергию акустических волн. При натека-
нии кольцевой струи вытекающей из сопла жидко-
сти на препятствие определеннй формы и разме-
ров, между их торцами может быть сформирована
вихревая тороидальная зона развитой кавитации.
Периодический выброс ее содержимого в окружа-
ющее пространство и синфазное схлопывание ка-
верн генерируют акустические волны высокой ин-
тенсивности. При этом частоту основного тона за-
дает “упругая” струйная оболочка, а накопителем
энергии является тороидальный вихрь. Последний
отсекается от окружающего пространства вытека-
ющей из сопла кольцевой струей (прямоточный
ГДИ) или струей, отраженной от преграды с па-
раболической лункой и замыкающейся на нару-
жную кромку сопла (противоточный ГДИ) [2 – 6].
В первом случае затопленная струя жидкости име-
ет форму цилиндрической [2, 3], а во втором – ко-
нической оболочки [5, 6].
Если в излучателях противоточного типа длина
струи (характеризуемая расстоянием между тор-
цами сопла и отражателя) меньше диаметра ее се-
чения, то струйная оболочка имеет среднюю дли-
ну и в первом приближении ее также можно счи-
тать цилиндрической [5, 7]. Однако при возраста-
нии этого геометрического соотношения увеличи-
вается погрешность вычислений и в качестве моде-
ли ГДИ уже необходимо рассматривать усеченную
коническую оболочку. Поэтому интерес представ-
ляет решение задачи о собственных колебаниях
затопленной осесимметричной струйной оболоч-
ки в виде усеченного конуса, а также установле-
ние зависимости частоты основного тона излуча-
емого звука от геометрических параметров систе-
мы и характеристик рабочей жидкости. Это даст
возможность задавать частотный диапазон реаль-
ных осесимметричных гидродинамических излу-
чателей противоточного типа еще на стадии прое-
ктирования.
Некоторые проблемы взаимодействия упругих
тел с жидкостью рассмотрены в работах [8 –10].
В данной статье рассматривается задача о коле-
баниях упругой конической струйной оболочки,
затопленной в плохо сжимаемой жидкости с те-
ми же свойствами. Такое приближение означает
отсутствие некоторых деформаций, усилий и мо-
ментов, что, в свою очередь, приводит к модифи-
кации уравнений движения оболочки.
c© Ю. М. Дудзинский, 2006 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
Рис. 1. Физическая модель противоточного
осесимметричного гидродинамического
излучателя
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим физическую модель противоточно-
го ГДИ (рис. 1). Затопленная струя, вытекающая
из сопла 1, формируется отражателем с парабо-
лической лункой 2 в осесимметричную струйную
оболочку 3 в форме усеченного конуса. При на-
текании конической струи на наружную кромку
сопла часть ее кинетической энергии расходуе-
тся на формирование вихря 4, внутри которого
за счет эффекта Бернулли возникает кавитация.
Часть потока струи уходит в окружающее про-
странство и в автоколебаниях не участвует, поэто-
му высота оболочки ` определяется расстоянием
от торца отражателя до торца сопла. Пульсации
вихря возбуждают колебания струйной оболочки
на собственной частоте. Оптимальный режим ги-
дродинамического звукообразования, при котором
наблюдается максимальный акустический сигнал,
соответствует совпадению частоты пульсаций то-
роидального вихря с частотой основной гармоники
колебаний оболочки [4].
В качестве математической модели примем кру-
говую усеченную коническую оболочку с радиуса-
ми оснований r1 и r2, высотой `, толщиной стенки
h, углом наклона образующей к оси θ (рис. 2). На
торце отражателя (меньшее основание) оболочка
жестко защемлена, а на другом отсутствуют про-
дольное смещение, перерезывающее усилие и кру-
тящий момент. Пусть при деформировании обо-
лочки точки ее срединной поверхности получают
перемещения ~D(α, β, ~n). Обозначим проекции ве-
ктора ~D на координатные оси через деформацию
сжатия-растяжения u, деформацию кручения v и
деформацию прогиба w:
~D = ~e1u + ~e2v + ~nw.
В произвольной криволинейной системе коорди-
нат (α, β, ~n), где ~n – нормаль к срединной поверх-
ности оболочки, пренебрегая инерцией вращения,
имеем систему уравнений движения оболочки [11]:
ρhü −
1
AB
[
∂
∂α
(BN1) − N2
∂B
∂α
+
+
∂
∂β
(AS) + S
∂A
∂β
]
+ k1Q1 = 0,
ρhv̈ −
1
AB
[
∂
∂β
(AN2) − N1
∂A
∂β
+
+
∂
∂α
(BS) + S
∂B
∂α
]
+ k2Q2 = 0,
ρhẅ −
1
AB
[
∂
∂α
(BQ1) +
∂
∂β
(AQ2)
]
−
−k1N1 − k2N2 = 0.
(1)
Здесь A, B – коэффициенты Ламе оболочки; k1,
k2 – нормальные кривизны координатных линий.
Нормальные (N1, N2) и перерезывающие (Q1,
Q2) силы, а также касательное усилие S, отнесен-
ные к единице длины координатных линий и при-
ложенные к срединной поверхности оболочки, бу-
дут [11]
N1 =
Eh
1 − ν2
(ε1 + νε2),
N2 =
Eh
1 − ν2
(ε2 + νε1),
Q1 = −
1
AB
[
∂(BM1)
∂α
− M2
∂B
∂α
+
+
∂(AH)
∂β
+ H
∂A
∂β
]
,
Q2 = −
1
AB
[
∂(AM2)
∂β
− M1
∂A
∂β
+
+
∂(BH)
∂α
+ H
∂B
∂α
]
,
S =
Eh
2(1 − ν)
γ,
(2)
28 Ю. М. Дудзинский
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
где ε1, ε2, γ – компоненты деформаций; E – мо-
дуль упругости материала оболочки; ν – коэффи-
циент Пуассона. Удельные изгибающие моменты
M1, M2 и крутящий момент H соответственно име-
ют вид [11]
M1 =
Eh3
12(1 − ν2)
(κ1 + νκ2),
M2 =
Eh3
12(1 − ν2)
(κ2 + νκ1),
H =
Eh3
12(1 − ν2)
τ,
(3)
где
κ1 =
1
A
∂
∂α
(
1
A
∂w
∂α
+ k1u
)
+
+
1
AB
∂A
∂β
(
1
B
∂w
∂β
+ k2v
)
;
κ2 =
1
B
∂
∂β
(
1
B
∂w
∂β
+ k2v
)
+
+
1
AB
∂B
∂α
(
1
A
∂w
∂α
+ k1u
)
;
τ =
1
AB
(
∂2w
∂α∂β
−
1
A
∂w
∂α
−
1
B
∂w
∂β
)
−
−k1
(
1
B
∂u
∂β
−
1
AB
∂A
∂β
u
)
−
−k2
(
1
A
∂v
∂α
−
1
AB
∂B
∂α
v
)
.
(4)
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИ-
ЯХ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КОНИЧЕСКОЙ
СТРУЙНОЙ ОБОЛОЧКИ
Методика решения рассматриваемой задачи
основана на применении подхода, изложенного ра-
нее в работах [3, 5, 7]. Для конической оболочки
кругового сечения (рис. 2) произведем замену ко-
ординат α→x, β→ϕ. Параметры Ламе A, B, нор-
мальная кривизна координатных линий k1, k2 и
углы поворота нормали к срединной поверхности
оболочки θ1 , θ2, соответственно, принимают зна-
Рис. 2. Коническая затопленная
струйная оболочка
чения
A = 1, B = x sin θ,
k1 = 0, k2 =
ctg θ
x
,
∂B
∂α
=
∂B
∂x
= sin θ;
∂A
∂β
=
∂(1)
∂ϕ
≡ 0;
θ1 =
1
A
∂w
∂α
+ k1u =
∂w
∂x
;
θ2 =
1
B
∂w
∂β
+ k2v =
1
x sin θ
∂w
∂ϕ
+
ctg θ
x
v.
(5)
С учетом соотношений (5) коэффициенты (4) при-
мут вид
κ1 =
∂2w
∂x2
,
κ2 =
1
x2 sin2 θ
∂2w
∂ϕ2
+
1
x
∂w
∂x
,
τ =
1
x sin θ
∂2w
∂x∂ϕ
−
1
x2 sin θ
∂w
∂ϕ
.
(6)
Воспользовавшись выражениями для деформа-
ции срединной поверхности [11], с учетом выраже-
Ю. М. Дудзинский 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
ний (5) после очевидных преобразований получаем
ε1 =
∂u
∂x
,
ε2 =
1
x sin θ
∂v
∂ϕ
+
u
x
−
ctg θ
x
w,
γ =
1
x sin θ
∂u
∂ϕ
+
∂v
∂x
−
v
x
.
(7)
Принимая во внимание соотношения (6) и (7),
преобразуем выражения для усилий (2) и момен-
тов (3), отнесенных к единице длины координа-
тных линий конической оболочки:
N1 =
Eh
1 − ν2
×
×
(
∂u
∂x
+
ν
x
u +
ν
x sin θ
∂v
∂ϕ
−
νctg θ
x
w
)
,
N2 =
Eh
1 − ν2
×
×
(
ν
∂u
∂x
+
u
x
+
1
x sin θ
∂v
∂ϕ
−
ctg θ
x
w
)
,
S =
Eh
2(1 + ν)
(
∂v
∂x
−
v
x
+
1
x sin θ
∂u
∂ϕ
)
,
M1 =
Eh3
12(1− ν2)
×
×
(
∂2w
∂x2
+
ν
x
∂w
∂x
+
ν
x2 sin2 θ
∂2w
∂ϕ2
)
,
M2 =
Eh3
12(1− ν2)
×
×
(
ν
∂2w
∂x2
+
1
x
∂w
∂x
+
1
x2 sin2 θ
∂2w
∂ϕ2
)
,
H =
Eh3
12(1− ν2)
(
1
x sin θ
∂2w
∂x∂ϕ
−
1
x2 sin θ
∂w
∂ϕ
)
,
Q1 =
Eh3
12(1 − ν2)
(
∂3w
∂x3
+
1
x
∂2w
∂x2
−
1
x2
∂w
∂x
+
+
1 + ν
x2 sin2 θ
∂3w
∂x∂ϕ2
−
2 + ν
x3 sin2 θ
∂2w
∂ϕ2
)
,
Q2 =
1
x sin θ
Eh3
12(1 − ν2)
(
1
x
∂2w
∂x2
+
+
1
x2 sin2 θ
∂3w
∂ϕ3
+ (1 + ν)
∂3w
∂x2∂ϕ
)
.
(8)
Подставим величины (8) в выражения (1). При-
нимая во внимание, что материалом оболочки яв-
ляется жидкость в затопленной струе, можно пре-
небречь влиянием поперечных сил на деформации
сжатия – растяжения и кручения, т. е. исключить
из первых двух уравнений системы (1) Q1 и Q2.
После преобразований получим следующую систе-
му уравнений движения конической оболочки:
[
∂2
∂x2
+
1
x
∂
∂x
−
1
x2
+
1 − ν
2x2 sin2 θ
∂2
∂ϕ2
]
u+
+
[
1 + ν
2x sin θ
∂2
∂x∂ϕ
−
3 − ν
2x2 sin θ
∂
∂ϕ
]
v+
+
ctg θ
x
[
1
x
− ν
∂
∂x
]
w =
ρ(1 − ν2)
E
ü,
1
2x sin θ
[
(1 + ν)
∂2
∂x∂ϕ
−
3 − ν
x
∂
∂ϕ
]
u+
+
[
1 − ν
2
(
∂2
∂x2
+
1
x
∂
∂x
−
1
x2
)
+
+
1
x2 sin2 θ
∂2
∂ϕ2
]
v−
−
ctg θ
x2 sin θ
∂w
∂ϕ
=
ρ(1 − ν2)
E
v̈,
−∆2w +
12ctg θ
h2x
[(
1
x
+ ν
∂
∂x
)
u+
+
1
x sin θ
∂v
∂ϕ
−
ctg θ
x
w
]
=
12ρ(1 − ν2)
Eh3
ẅ.
(9)
Учитывая, что при осевой симметрии ни одна из
упругих величин не зависит от угловой координа-
ты ϕ, перепишем эту систему в виде
(
∂2
∂x2
+
1
x
∂
∂x
−
1
x2
)
u+
+
ctg θ
x
(
1
x
− ν
∂
∂x
)
w =
=
ρ(1 − ν2)
E
ü,
∂2v
∂x2
+
1
x
∂v
∂x
−
1
x2
v =
2ρ(1 + ν)
E
v̈,
−∆2w +
12ctg θ
h2x
[(
1
x
+ ν
∂
∂x
)
u−
−
ctg θ
x
w
]
=
12ρ(1 − ν2)
Eh2
ẅ.
(10)
Примем коэффициент Пуассона ν =0, что обуслов-
30 Ю. М. Дудзинский
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
лено моделью – струйная коническая оболочка в
затопленном состоянии находится в плохо сжима-
емой жидкости с теми же свойствами. Посколь-
ку по смыслу задачи меньшее основание оболочки
жестко защемлено, а на другом конце отсутству-
ют продольное смещение, перерезывающее усилие
и крутящий момент, то смещениями u и v прене-
брегаем. Тогда для определения частот собствен-
ных колебаний следует воспользоваться третьим
уравнением системы (10):
−∆2w −
12ctg 2θ
h2x2
w =
12ρ
Eh2
ẅ,
∆ =
∂2
∂x2
+
1
x
∂
∂x
.
(11)
Граничные условия на защемленном крае имеют
вид
(
x = a =
r1
sin θ
)
→ w(a) = 0, w′(a) = 0,
N1 = S = S∗ = (S − Hx sin θ) = 0
(12)
(последнее выполняется автоматически при
w(a)=0), а на свободном –
(
x = b =
r2
sin θ
)
→ M1 = 0,
Q = 0, w(b) = 0, w(b) = 0,
w′′′(b) =
∂
∂x
[
∂2
∂x2
+
1
x
∂
∂x
]
w(b) = 0.
(13)
Решение уравнения (11) представим в виде гар-
монической функции
w(x, t) = W (x) exp(iωt),
где ω = 2πf – круговая частота изгибных коле-
баний оболочки. Тогда уравнение колебаний (11)
примет вид
∆2W +
12ctg 2θ
h2x2
W −
12ρω2
Eh2
W = 0. (14)
Введем безразмерные координаты и функции
прогиба:
x = (b − a)η = `η,
W (x) = `U
(
x
`
)
,
dW
dx
=
dU
dη
,
d2W
dx2
=
1
`
d2U
dη2
,
d3W
dx3
=
1
`2
d3U
dη3
,
∆W =
(
∂2
∂x2
+
1
x
∂
∂x
)
W =
1
`
∆U,
∆2W =
1
`3
∆2U.
Тогда соотношение (14) можно переписать как
∆2U +
k2
η2
U − γU = 0, (15)
где
k2 =
12ctg 2θ
ε2
;
γ =
12ρ`2ω2
Eε2
> 0; ε2 =
h2
`2
.
(16)
Соответственно, граничные условия (12) и (13) на
защемленном и свободном краях трансформирую-
тся в
U(α) = 0, U ′(α) = 0,
U(β) = 0, U ′′′(β) +
1
β
U(β) −
1
β2
U ′(β) = 0,
где α=a/`; β=b/`.
Решение безразмерного уравнения собственных
колебаний конической оболочки проведем методом
Ритца:
U(η) =
n
∑
m=1
Cmϕm(η),
где
ϕm(η) = (η − α)2(η − β)3ηm−1 .
Тогда формула (15) примет вид
n
∑
m=1
Cm
[
∆2ϕm(η) +
k2
η2
ϕm(η) − γϕm(η)
]
= 0.
Ю. М. Дудзинский 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
Последнее выражение умножаем на функцию
ϕj(η), j ∈ [1; n]), и интегрируем в пределах η ∈
[α; β]:
n
∑
m=1
Cm
[ β
∫
α
ϕj(η)∆2ϕm(η)dη+
+k2
β
∫
α
ϕj(η)ϕm(η)
η2
dη−
−γ
β
∫
α
ϕj(η)ϕm(η)dη
]
= 0.
(17)
Введем операторы
Ajm =
β
∫
α
ϕj(η)∆2ϕm(η)dη,
Bjm =
β
∫
α
ϕj(η)ϕm(η)
η2
dη,
Djm =
β
∫
α
ϕj(η)ϕm(η)dη.
Тогда безразмерное уравнение конической оболоч-
ки (17) переходит в выражение вида
n
∑
j=1
m=1
(Ajm + k2Bjm − γDjm)Cm = 0.
Нетривиальное решение последнего соотношения
соответствует условию, когда определитель ма-
трицы размерностью (n×n) равен нулю:
det(Ajm + k2Bjm − γDjm) = 0. (18)
В результате численного анализа можно полу-
чить параметр γ, а затем перейти к физической
величине – собственной частоте затопленной кони-
ческой струйной оболочки согласно формуле (16):
fi =
1
2π
√
γEε2
12ρ`2
, i = 0, 1, 2, 3, . . . (19)
При этом частоте f0 основной гармоники генери-
руемых осесимметричным ГДИ акустических волн
соответствует минимальное действительное поло-
жительное значение из полученного ряда fi. Срав-
нение результатов вычислений с эксперименталь-
ными данными позволило сделать вывод, что до-
статочная для практики точность соответствует
матрице (5×5).
3. АНАЛИЗ РАСЧЕТНЫХ ДАННЫХ И ЭК-
СПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Как следует из выражений (16), (18) и (19), ча-
стота колебаний затопленной конической струй-
ной оболочки зависит от ее геометрических пара-
метров (r1, θ, h) и свойств жидкости (E, ρ). Ра-
нее было показано, что следует учитывать также
внешние условия в среде (гидростатическое давле-
ние) [2, 7]. Для проверки соответствия приведен-
ной математической модели параметрам реально-
го устройства были исследованы частотные диапа-
зоны осесимметричных противоточных ГДИ (см.
рис. 1). Вначале использовалась отстоянная в те-
чение трех недель водопроводная вода, имеющая
плотность ρ = 103 кг/м
3
; прочность жидкости на
разрыв (порог кавитации) P∗=5.1 · 105 Па; линей-
ный и первые два нелинейные параметры в моде-
ли Тэта χ1 =7.5, χ2 =8 · 10−6, χ3 =1.2 · 10−11. Еще
одной рабочей жидкостью служило трансформа-
торное масло: ρ = 940 кг/м
3
; P∗ = 2.55 · 105 Па;
χ1 =7.1; χ2 =8 · 10−6; χ3 =10−11 [12 – 14].
Заметим, что модуль упругости струйной обо-
лочки E выражается через адиабатический мо-
дуль объемной упругости жидкости (с учетом то-
го, что струйная оболочка находится в условиях
затопления в той же плохо сжимаемой жидкости –
ν=0) [12, 14]:
E =
K
3(1 − 2ν)
=
1
3
3
∑
i=1
χi(P∗ + ∆Pst)
i. (20)
Здесь ∆P – статическое давление в невозмущен-
ной жидкости, избыточное по сравнению с атмо-
сферным. Во всех экспериментах давление в жид-
кости было близко к атмосферному. Пренебрежи-
мость статической добавки (∆Pst ≈ 3 кПа) обу-
славливалась малой глубиной погружения пары
сопло – отражатель в рабочей емкости.
Ранее проведенные исследования [2, 4] показа-
ли, что в противоточных осесимметричных гидро-
динамических излучающих системах наибольший
уровень акустического сигнала соответствует ди-
апазону отношений длины к радиусу меньшего
основания струйной оболочки `=(0.9÷1.1)r1. Вме-
сте с тем, обнаружена возможность существен-
но изменять частоту основной гармоники аку-
стического сигнала путем регулировки в широ-
ком диапазоне значений расстояния между соплом
и отражателем противоточного ГДИ. На рис. 3
кривыми представлены результаты расчетов низ-
шей собственной частоты затопленной осесимме-
тричной струйной оболочки от ее длины. Экспе-
риментальные зависимости частоты основной гар-
32 Ю. М. Дудзинский
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
Табл 1. Геометрические характеристики струйной оболочки для различных значений `
r2, мм θ h, мм
`, мм Вода Минерал. Вода Минерал. Вода Минерал.
масло масло масло
2.0 47.1◦ 45.6◦
2.5 40.7◦ 39.2◦
3.0 35.6◦ 34.2◦
3.5 5.65 5.5 31.6◦ 30.2◦ 0.46 0.14
4.0 28.3◦ 27.0◦
4.5 25.6◦ 24.4◦
5.0 23.3◦ 22.2◦
Табл 2. Геометрические характеристики струйной оболочки для различных значений r1
r2, мм θ h, мм
r1, мм Вода Минерал. Вода Минерал. Вода Минерал.
масло масло масло
1.5 2.42 — 0.200 —
2.0 3.23 3.16 0.260 0.061
2.5 4.03 3.96 0.310 0.079
3.0 4.84 4.75 0.350 0.094
3.5 5.65 5.54 0.460 0.106
4.0 6.45 6.33 31.6◦ 29.5◦ 0.540 0.140
4.5 7.26 7.12 0.610 0.164
5.0 8.06 7.91 0.600 0.185
6.0 9.68 — 0.850 —
7.0 11.29 — 1.300 —
l , mm
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
f,
kH
z
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1
2
Рис. 3. Зависимость собственной частоты
от длины затопленной конической
струйной оболочки
моники генерируемого звука от расстояния ` ме-
жду соплом и отражателем реального излучате-
ля представлены точками. Кривая 1 соответству-
ет работе устройства в отстоянной в течение трех
r1 , mm
0 1 2 3 4 5 6 7
f,
kH
z
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1
2
Рис. 4. Зависимость собственной частоты
от радиуса меньшего основания затопленной
конической струйной оболочки
недель водопроводной воде, а кривая 2 – в транс-
форматорном масле. В первом случае использова-
лась пара сопло – отражатель, для которых r1 =
3.50 мм, r2 = 5.65 мм, во втором – r1 = 3.50 мм,
Ю. М. Дудзинский 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
r2=5.54 мм. При этом поддерживался постоянным
расход жидкости через проходное отверстие сопла
(см. рис. 1) после настройки излучателя в опти-
мальном режиме. В табл. 1 приведены геометриче-
ские параметры наблюдавшихся струйных оболо-
чек. Очевидно, с уменьшением ` возрастает их ко-
нусность. Кроме того, увеличение габаритов струи
естественным образом приводит к снижению ча-
стоты сигнала.
Интересно, что при прочих равных условиях
собственная частота водяной оболочки оказывае-
тся меньше, по сравнению с масляной. Объяснить
это можно тем, что при замене рабочей жидкости
имеют место две противоположные тенденции. У
водяной струи больше выше предел прочности P∗.
Как следует из формул (20) и (19), с увеличением
модуля упругости E частота собственных колеба-
ний должна возрастать. В то же время, большая
плотность ρ воды и одновременно большая толщи-
на h струи (см. табл. 1) приводят к увеличению
удельной массы единицы площади оболочки. Это,
в свою очередь, должно привести к понижению
собственной частоты (см. выражение (19)). Веро-
ятно, вклад второй тенденции оказывается более
существенным.
На рис. 4 представлены расчетные зависимости
собственной частоты конической струйной оболоч-
ки от радиуса ее меньшего основания для воды
(кривая 1) и трансформаторного масла (кривая 2).
Экспериментальные данные о частоте основной
гармоники акустического сигнала для различных
радиусов r1 лунки на торце отражателя реального
ГДИ представлены маркерами. Вследствие разной
вязкости воды и минерального масла [2] одному
профилю лунки соответствуют различные углы
конусности θ. Как было показано ранее, макси-
мальный уровень звука достигается при опреде-
ленных отношениях радиусов и высоты оболочки
к диаметру проходного отверстия сопла d [2, 5]:
r1 ≈ d, r2 = (3.2÷ 3.4)d, ` = (0.9÷ 1.1)d.
Кроме того, максимальный уровень акустическо-
го сигнала соответствует оптимальной скорости
струи v на выходе из сопла. При неизменной ско-
рости с увеличением диаметра проходного отвер-
стия сопла возрастает расход жидкости, что, в
свою очередь, приводит к увеличению толщи-
ны оболочки h. Радиусы конической оболочки
варьировались путем замены рабочей пары со-
пло – отражатель гидродинамического излучате-
ля. Оптимальные длина оболочки (иначе, рассто-
яние между соплом и отражателем) и ее толщина
(за счет скорости истечения жидкости) соответ-
ствовали максимальному уровню звука. Геоме-
трические соотношения для исследованных ГДИ
отражены в табл. 2. Как и в первом эксперименте,
увеличение габаритов струи приводило к сниже-
нию собственной частоты. Кроме того, при про-
чих равных условиях, собственная частота водя-
ной оболочки оказывалась меньше, по сравнению
с масляной.
ВЫВОДЫ
По результатам выполненных исследований мо-
гут быть сделаны следующие выводы.
1. Рассмотрена модель осесимметричного проти-
воточного гидродинамического излучателя в
виде затопленной круговой конической струй-
ной оболочки. Это уточнение позволит с высо-
кой точностью задавать рабочую частоту ге-
нерируемого данными системами акустиче-
ского сигнала для конкретного устройства на
стадии их проектирования.
2. Выведена зависимость частоты основного то-
на генерируемого акустического сигнала от
геометрических параметров струйной оболоч-
ки и гидродинамических параметров жидко-
сти.
3. Получено не только качественное, но и коли-
чественное соответствие между теоретически-
ми и экспериментальными данными.
4. Показаны две возможности плавной регули-
ровки основной гармоники генерируемого зву-
ка: заменой рабочей пары сопло – отражатель
и регулировкой расстояния между ними.
1. Назаренко А. Ф. Гидродинамические излучате-
ли // Ультразвук: маленькая энциклопедия / Под
ред. И. П. Голяминой.– М.: Сов. энцикл., 1979.–
С. 79–81.
2. Дудзинский Ю. М. Осесимметричные гидроди-
намические излучатели в условиях статического
давления.– Одесса: Дисс. канд. техн. наук, 1997.–
170 с.
3. Дудзинский Ю. М., Назаренко О. А. Колебания
затопленной осесимметричной струи-оболочки //
Акуст. вiсн.– 2001.– 3, N 4.– С. 27–35.
4. Дудзинский Ю. М., Маничева Н. В., Назарен-
ко О. А. Оптимизация параметров широкопо-
лосного акустического излучателя в условиях
избыточных статических давлений // Акуст. вiсн.–
2001.– 4, N 2.– С. 38–46.
5. Дудзинский Ю. М., Попов В. Г. Вынужденные ко-
лебания осесимметричной затопленной струйной
оболочки // Прикл. мех.– 2005.– 41, N 4.– С. 60–65.
34 Ю. М. Дудзинский
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 3. С. 27 – 35
6. Дудзинский Ю. М., Слиозберг Т. М., Назарен-
ко А. А. Анализ давления в гидродинамиче-
ской излучающей системе на протяжении перио-
да колебаний // Зб. праць акустичного симпозiу-
му “КОНСОНАНС-2003”.– К.: IГМ НАНУ, 2003.–
С. 84–88.
7. Дудзинский Ю. М., Дащенко А. Ф. Собственные
колебания струйной оболочки в условиях гидро-
статического давления // Прикл. мех.– 2004.– 40,
N 12.– С. 92–98.
8. Guz A. N., Kubenko V. D., Babaev A. E. Dynamics
of the system of shells interacting with a liquid //
Int. Appl. Mech.– 2002.– 38, N 3.– P. 260–301.
9. Guz A. N., Zhuk A. P. Motion of solid particles in
a liquid under the action of an acoustic field: The
mechanism of radiation pressure // Int. Appl. Mech.–
2004.– 40, N 3.– P. 246–265.
10. Koval’chuk P. S., Filin V. G. Circumferential traveli-
ng waves in filled cylindrical shells // Int. Appl.
Mech.– 2003.– 39, N 2.– P. 192–196.
11. Перцев А. К., Платонов Э. Г. Динамика оболочек
и пластин.– Л.: Судостроение, 1987.– 400 с.
12. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в не-
линейную акустику.– М.: Наука, 1966.– 520 с.
13. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация.– М.:
Мир, 1974.– 688 с.
14. Корнфельд М. Упругость и прочность
жидкостей.– М.: ГИТТЛ, 1951.– 200 с.
Ю. М. Дудзинский 35
|