Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей
Розглянуто вiдому проблему В. М. Дубинiна про неперетиннi областi на комплекснiй площинi i знайдено її розв’язок для γ ≤ √n.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99075 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей / Я.В. Заболотний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-99075 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-990752016-04-23T03:02:03Z Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей Заболотний, Я.В. Математика Розглянуто вiдому проблему В. М. Дубинiна про неперетиннi областi на комплекснiй площинi i знайдено її розв’язок для γ ≤ √n. Рассмотрена известная проблема В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоскости и найдено ее решение при γ ≤ √n. Dubinin’s problem on nonoverlapping domains in the complex plane is considered, and its solution for γ ≤ √n is obtained. 2016 Article Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей / Я.В. Заболотний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99075 517.54 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Заболотний, Я.В. Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто вiдому проблему В. М. Дубинiна про неперетиннi областi на комплекснiй
площинi i знайдено її розв’язок для γ ≤ √n. |
| format |
Article |
| author |
Заболотний, Я.В. |
| author_facet |
Заболотний, Я.В. |
| author_sort |
Заболотний, Я.В. |
| title |
Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей |
| title_short |
Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей |
| title_full |
Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей |
| title_fullStr |
Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей |
| title_full_unstemmed |
Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей |
| title_sort |
знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99075 |
| citation_txt |
Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей / Я.В. Заболотний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT zabolotnijâv znahodžennâmaksimumudobutkuvnutrišnihradiusivvzaêmnoneperetinnihoblastej |
| first_indexed |
2025-07-07T07:28:00Z |
| last_indexed |
2025-07-07T07:28:00Z |
| _version_ |
1836972277377269760 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2016
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54 http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.03.007
Я.В. Заболотний
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: yaroslavzabolotnii@mail.ru
Знаходження максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв
взаємно неперетинних областей
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком)
Розглянуто вiдому проблему В.М. Дубинiна про неперетиннi областi на комплекснiй
площинi i знайдено її розв’язок для γ 6
√
n.
Ключовi слова: внутрiшнiй радiус, неперетиннi областi, квадратичний диференцiал.
В геометричнiй теорiї функцiй комплексної змiнної значне мiсце займають екстремальнi
задачi на класах областей, що не перетинаються. Такi задачi розглядалися, зокрема, в ро-
ботах [1–13]. Було отримано багато вагомих результатiв, проте значна кiлькiсть задач не
розв’язана i досi. Одна з таких задач i дослiджується в цiй роботi. Дана задача була сфор-
мульована В. М. Дубинiним [7, с. 68].
Нехай N, C — множини натуральних i комплексних чисел вiдповiдно, Bj — область в C,
r(Bj , aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj в точцi aj .
Задача 1. Довести, що максимум функцiонала
Iγ = rγ(B0, a0)
n∏
k=1
r(Bk, ak), (1)
де B0, B1, B2, . . . , Bn (n > 2) — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |ak| = 1, k =
= 1, n, r(Bj , aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj в точцi aj (aj ∈ Bj), j = 0, n i γ 6 n
(див., наприклад, [2–12]), досягається для деякої конфiгурацiї областей, якi мають n-кратну
симетрiю.
Для γ = 1 задача 1 була повнiстю розв’язана в роботi [8] для ∀n > 2. З методу роботи [8]
також випливає, що цей результат правильний i для 0 < γ < 1. В роботi [13] було повнiстю
© Я.В. Заболотний, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 7
розв’язано задачу Дубинiна при умовi, що n > 5 i αk
√
γ 6 2, де числа αk означуються
таким чином:
α1 :=
1
π
(arg a2 − arg a1), α2 :=
1
π
(arg a3 − arg a2), . . . , αn :=
1
π
(2π − arg an).
У теоремi 5.2.3 роботи [9] знайдено розв’язок задачi 1 при довiльному γ, але починаючи
з певного, заздалегiдь невiдомого номера.
У данiй роботi отримано такий результат:
Теорема 1. Для довiльного натурального n > 541 i 0 < γ 6
√
n виконується нерiвнiсть
rγ(B0, a0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6 rγ(D0, a
0
0)
n∏
k=1
r(Dk, a
0
k),
де B0, B1, B2, . . . , Bn (n > 2) — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |ak| = 1, a1 = 1,
k = 1, n, r(Bj , aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj в точцi aj (aj ∈ Bj), j = 0, n, причому
знак рiвностi досягається, зокрема, за умов ak = a0k, Bk = Dk, k = 0, n, де a0k, Dk —
вiдповiдно полюси i круговi областi квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Доведення. Враховуючи результати роботи [8], нам достатньо довести, що даний ре-
зультат справджується при 1 < γ 6
√
n.
Встановимо спочатку, що дане твердження правильне для γ =
√
n. У доведеннi суттєво
використовуються промiжнi результати, отриманi при доведеннi теореми 5.2.3 роботи [9],
якi, в свою чергу, були знайденi за допомогою методу роздiляючого перетворення областей,
який детально розроблений в роботi [7].
Нехай I0n(γ) — значення функцiонала In(γ) для областей Dk i точок a0k, згаданих в умовi
теореми. Тодi, згiдно з теоремою 5.2.3 [9], виконується рiвнiсть
I0n(γ) = rγ(D0, 0)
n∏
k=1
r(Dk, dk) =
(
4
n
)n
(
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
, (2)
де Dk — згаданi вище круговi областi квадратичного диференцiала (1). Враховуючи ре-
зультати роботи [13], нам залишається лише довести правильнiсть теореми 1 при умовi
α0
√
γ > 2, де α0 = max
k
αk. Знову ж таки, за теоремою 5.2.3 [9], при умовi α0
√
γ > 2
отримаємо таку нерiвнiсть:
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6
[
2nα0
(
2− α0
n− 1
)n−1]1−γ/n
= [2nα0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)]1−γ/n.
Оцiнимо тепер величину
Pn(γ) =
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak)
rγ(D0, 0)
n∏
k=1
r(Dk, dk)
6
8 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
6 [2 · 2n−1α0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)]1−γ/n(
4
n
)n−1−γ(1−1/n)( 4
n
)γ+1−γ/n(4γ
n2
)γ/n(
1− γ
n2
)−n−γ/n(1−√
γ/n
1 +
√
γ/n
)2
√
γ
6
6
[
n
4
]γ+1−γ/n[
1− 1
√
γ
]n−1−γ(n−1)/n(n2
4γ
)γ/n(
1− γ
n2
)n+γ/n
1 +
√
γ
n
1−
√
γ
n
2
√
γ
×
×
(
2
√
γ
)1−γ/n( n
n− 1
)n−1−γ(n−1)/n
.
Звiдси
Pn(
√
n) 6
[
n
4
]√n+1−1/
√
n[
1− 1
4
√
n
]n−1−(n−1)/
√
n(n3/2
4
)1/
√
n(
1− 1
n3/2
)n+1/
√
n
×
×
1 +
1
n3/4
1− 1
n3/4
2n1/4 (
4
n1/4
)1−1/
√
n( n
n− 1
)n−1−(n−1)/
√
n
.
Дослiдимо поведiнку таких функцiй на промiжку x ∈ [547;∞):
g(x) =
[
x
4
]√x+1−1/
√
x[
1− 1
4
√
x
]x−1−(x−1)/
√
x
,
f1(x) =
(
x3/2
4
)1/
√
x
, f2(x) =
(
1− 1
x3/2
)x+1/
√
x
, f3(x) =
1 +
1
x3/4
1− 1
x3/4
2x1/4
,
f4(x) =
(
4
x1/4
)1−1/
√
x
, f5(x) =
(
x
x− 1
)x−1−(x−1)/
√
x
.
Функцiя f1(x) є монотонно спадною на промiжку x ∈ [547;∞), тому для ∀n > 547
виконується нерiвнiсть(
n3/2
4
)1/
√
n
6
(
5473/2
4
)1/
√
547
6 1,4121.
Для функцiї f2(x) на даному промiжку виконується нерiвнiсть
f2(x) < 1.
Функцiї f3(x), f4(x) на промiжку [547;+∞) є монотонно спадними, а тому ∀n > 547
виконуються такi нерiвностi:
f3(x) =
1 +
1
n3/4
1− 1
n3/4
2n1/4
6
1 +
1
5473/4
1− 1
5473/4
2·5471/4
6 1,18653.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 9
f4(x) =
(
4
x1/4
)1−1/x1/2
6 0,83385.
Дослiдимо функцiю f5(x). Оскiльки
x
x− 1
> 1 для ∀x ∈ [547;+∞), то
f5(x) =
(
x
x− 1
)x−1−(x−1)/x1/2
6
(
x
x− 1
)x−1
=
(
1 +
1
x− 1
)x−1
.
Функцiя (1 + 1/(x− 1))x−1 є монотонно зростаючою на промiжку [547;+∞), причому
lim
x→∞
(
1 +
1
x− 1
)x−1
= e,
тому для ∀x ∈ [547;+∞)
f5(x) < e.
Звiдси робимо висновок, що для ∀n > 547(
n
n− 1
)n−1−(n−1)/n1/2
6 e.
З урахуванням властивостей дослiджених функцiй fj(x), j = 1, 5, будемо мати
P (
√
n) = g(n)
5∏
j=1
fj(n) < g(n) · 1,4121 · 1 · 1,18653 · 0,83385 · e < 3,7978g(n).
Залишилося дослiдити функцiю g(x). Узявши вiд даної функцiї логарифмiчну похiдну,
отримаємо
(ln(g(x)))′ < 0,
а тому функцiя g(x) є монотонно спадною для x > 547. Звiдси
g(n) 6 g(547) 6 0,26187.
Отримаємо, що P (
√
n) 6 3,7978 · 0,26187 < 0,9946 < 1.
Зауважимо також, що
для n = 541 P (
√
541) = 0,99954 < 1,
для n = 542 P (
√
542) = 0,98446 < 1,
для n = 543 P (
√
543) = 0,96960 < 1,
для n = 544 P (
√
544) = 0,95495 < 1,
для n = 545 P (
√
545) = 0,94050 < 1,
для n = 546 P (
√
546) = 0,92624 < 1.
10 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Отже, для n > 541 при γ =
√
n i α0
√
γ > 2 виконується нерiвнiсть
In(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6 rγ(D0, 0)
n∏
k=1
r(Dk, dk) = I0n(γ)
для довiльної конфiгурацiї областей B0, B1, B2, . . . , Bn.
Звiдси випливає, що екстремальною є конфiгурацiя, записана в умовi теореми. Для
γ =
√
n теорема доведена.
Нехай тепер γ ∈ (1;
√
n). Врахувавши, що
In(γ) 6 [2 · 2n−1α0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)]1−γ/n,
а функцiя
[2 · 2n−1α0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)]1−γ/n
при фiксованому n монотонно зростає за γ на промiжку (1;
√
n], отримаємо, що
In(γ) 6 In(
√
n).
Дослiдимо монотоннiсть функцiї
I0n(γ) =
(
4
n
)n
(
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
,
(I0n(γ))
′ = I0n(γ)
(
1
n
ln
(
4γ
n(n− γ)
)
+
1
√
γ
ln
(
n−√
γ
n+
√
γ
))
.
Неважко переконатися, що обидва доданки в дужках останнього виразу є вiд’ємними
при фiксованому n i γ ∈ (1;
√
n).
Звiдси випливає, що
I0n(γ) > I0n(
√
n).
А звiдси
Pn(γ) =
In(γ)
I0n(γ)
<
In(
√
n)
I0n(
√
n)
= Pn(
√
n) < 1,
тобто In(γ) < I0n(γ).
Теорему доведено.
Автор висловлює вдячнiсть О.К. Бахтiну за постановку задачi, а також за цiннi поради та
зауваження щодо написання цiєї роботи.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 11
Цитована лiтература
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
4. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
5. Колбина Л.И. Конформное отображение единичного круга на неналегающие области // Вестн. Ле-
нингр. ун-та. – 1955. – 5. – С. 37–43.
6. Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. научн. сем. ПОМИ. –
2001. – 276. – С. 253–275.
7. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1. – С. 3–76.
8. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
научн. сем. ЛОМИ. – 1988. – 168. – С. 48–66.
9. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометриче-
ские методы в комплексном анализе. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 308 с. – (Працi
Iн-ту математики НАН України; Т. 73).
10. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств //
Доп. НАН України. – 2006. – № 10. – С. 7–13.
11. Бахтiн О.К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 5. – С. 596–610.
12. Подвысоцкий Р.В. Об одном неравенстве для внутренних радиусов неналегающих областей // Доп.
НАН України. – 2009. – № 12. – С. 33–37.
13. Ковалев Л.В. О внутренних радиусах симметрических неналегающих областей // Изв. вузов. Мате-
матика. – 2000. – № 6. – С. 80–81.
References
1. Lavrent’ev M.A. Tr. Fiz.-mat. inst. AN SSSR, 1934, 5: 195–245 (in Russian).
2. Goluzin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable, Translations of Mathematical
Monographs, No 26, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1969.
3. Hayman W.K. Multivalent functions, Moscow: Izd-vo Inostr. lit., 1960 (in Russian).
4. Jenkins J.A. Univalent functions and conformal mapping, Ergeb. Math. Grenzgeb. Neue Folge, Vol. 18,
Reihe: Moderne Funktiontheorie, Springer-Verlag, 1958.
5. Kolbina L. I. Vestnik Leningr. univ., 1955, 5: 37–43 (in Russian).
6. Kuzmina G.V. Zap. Nauchn. Semin. POMI, 2001, 276: 253–275 (in Russian).
7. Dubinin V.N. Uspekhi mat. nauk., 1994, 49, No 1: 3–76 (in Russian); translation in Russian Math. Surveys,
1994, 49, No 1: 1–79.
8. Dubinin V.N. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklov (LOMI), 1988, 168: 48–66 (in Russi-
an); translation in J. Soviet Math., 1991, 53, No 3: 252–263.
9. Bakhtin A.K., Bakhtina G.P., Zelinskii Yu. B. Topological-algebraic structures and geometric methods
in complex analysis, Proc. of the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev, 2008 (in Russian).
10. Bakhtin A.K. Dop. NAN Ukraine, 2006, No 10: 7–13 (in Russian).
11. Bakhtin A.K. Ukr. Mat. Zh., 2009, 61, No 5: 596–610 (in Ukrainian).
12. Podvisotskiy R.V. Dop. NAN Ukraine, 2009, No 12: 33–37 (in Russian).
13. Kovalev L.V. Russian Math. (Iz. VUZ), 2000, 44: 77–78 (in Russian).
Надiйшло до редакцiї 28.07.2015
12 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Я.В. Заболотный
Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: yaroslavzabolotnii@mail.ru
Нахождение максимума произведения внутренних радиусов
неналегающих областей
Рассмотрена известная проблема В.Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной
плоскости и найдено ее решение при γ 6
√
n.
Ключевые слова: внутренний радиус, неналегающие области, квадратичный дифференци-
ал.
Ja.V. Zabolotnij
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: yaroslavzabolotnii@mail.ru
Determination of the maximum of a product of inner radii of pairwise
nonoverlapping domains
Dubinin’s problem on nonoverlapping domains in the complex plane is considered, and its solution
for γ 6
√
n is obtained.
Keywords: inner radius, nonoverlapping domains, quadratic differential.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 13
|