Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi
Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до свого позитивного фiксованого заряду....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99077 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi / В.I. Скрипник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 19-25. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-99077 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-990772016-04-23T03:02:10Z Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi Скрипник, В.I. Математика Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до свого позитивного фiксованого заряду. Рассматривается кулоновская нейтральная плоская система n отрицательных зарядов в постоянном магнитном поле и поле n одинаковых фиксированных положительных зарядов и строится периодическое решение уравнения движения такое, что каждый отрицательный заряд является близьким к своему положительному фиксированному заряду. We consider a neutral Coulomb planar system of n equal negative charges in a constant magnetic field and the field of n equal fixed positive charges and construct a periodic solution of the equation of motion such that each negative charge is close to its own positive fixed charge. 2016 Article Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi / В.I. Скрипник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 19-25. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99077 517-9 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Скрипник, В.I. Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi Доповіді НАН України |
| description |
Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до свого позитивного фiксованого заряду. |
| format |
Article |
| author |
Скрипник, В.I. |
| author_facet |
Скрипник, В.I. |
| author_sort |
Скрипник, В.I. |
| title |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_short |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_full |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_fullStr |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_full_unstemmed |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| title_sort |
кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99077 |
| citation_txt |
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному магнiтному полi / В.I. Скрипник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 3. — С. 19-25. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT skripnikvi kulonivsʹkaplockaperiodičnadinamikaodnakovihzarâdivupolipritâgalʹnihcentrivtapostijnomumagnitnomupoli |
| first_indexed |
2025-07-07T07:28:08Z |
| last_indexed |
2025-07-07T07:28:08Z |
| _version_ |
1836972286852202496 |
| fulltext |
УДК 517-9 http://dx.doi.org/dopovidi2016.03.019
В. I. Скрипник
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: volodymyr_skrypnyk@ukr.net
Кулонiвська плоcка перiодична динамiка однакових
зарядiв у полi притягальних центрiв та постiйному
магнiтному полi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Розглядається кулонiвська нейтральна плоска система n негативних зарядiв у постiй-
ному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв i будується
перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен негативний заряд є близьким до
свого позитивного фiксованого заряду.
Ключовi слова: рiвняння руху Кулона, негативнi заряди, зовнiшнi поля.
Побудова розв’язкiв рiвняння руху точкових зарядiв Максвелла–Лоренца класичної еле-
ктродинамiки є фундаментальною задачею математики. Найпростiшi наближення його —
рiвняння Кулона та Дарвiна, якi не враховують випромiнення зарядiв, мають розв’язки на
обмеженому промiжку часу, на якому немає зiткнень зарядiв. Їх iснування для першого та
другого встановлено вiдповiдно в [1] та [2].
Якщо два однаковi позитивнi заряди зафiксованi симетрично на однакових вiдстанях вiд
першої координатної осi та ще два чи три негативнi заряди рухаються тiльки по iншiй ко-
ординатнiй осi, то для такої системи iснують рiвноважна конфiгурацiя, а також перiодичнi
розв’язки рiвнянь руху Кулона. Теореми Ляпунова, Мозера, Вейнстейна були використанi
автором для встановлення цього в [3]. Першi двi з них вимагають виключення резонансiв,
що обмежує значення зарядiв, i дозволяють отримати цi розв’язки у виглядi збiжних рядiв.
У цiй роботi ми розглядаємо плоску кулонiвську систему n негативних зарядiв у по-
стiйному магнiтному полi та полi n однакових фiксованих позитивних зарядiв (j-й заряд
розташований в rj ∈ R2) та будуємо перiодичний розв’язок рiвняння руху такий, що кожен
негативний заряд є близьким до свого додатного фiксованого заряду. Цей розв’язок пода-
ний збiжним рядом. Ми використовуємо технiку Зiгеля розв’язку задачi трьох тiл небесної
механiки.
Потенцiальна енергiя нашої кулонiвської системи n однакових негативних зарядiв (зна-
чення заряду e0) з координатами xj ∈ R2 дається виразом
U(x(n)) = e20
[
1
2
∑
16j ̸=k6n
1
|xj − xk|
−
∑
16j6n
∑
16k6n
1
|xj − rk|
]
,
xj = (x1j , x
2
j ), rj = (r1j , r
2
j ) ∈ R2,
© В. I. Скрипник, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 19
де |x| — евклiдова норма x та x(n) = (x1, . . . , xn) ∈ R2n, r0 = min |rj − rk| > 0. Рiвняння руху
цих зарядiв масою m у постiйному магнiтному полi h, перпендикулярному до площини
з зарядами, задано виразом
m
d2xj
dt2
= −
∂U(x(n))
∂xj
+ e0
dxj
dt
× h, j = 1, . . . , n,
де (v × h)1 = h0x2, (v × h)2 = −h0x1, h0 ∈ R. Воно має такий явний вигляд:
d2xj
dt2
=
e20
m
[ ∑
16k6n, k ̸=j
xj − xk
|xj − xk|3
−
∑
16k6n
xj − rk
|xj − rk|3
]
+ e0
dxj
dt
× h.
Введемо тепер новi рiзницевi змiннi x′j
xj(t) = rj + gx′j(t), g3 =
e20
m
.
Якщо зняти з них штрих, то рiвняння для них задано так:
d2xj
dt2
= − xj
|xj |3
+ g2
( ∑
16k6n, k ̸=j
rj − rk + g(xj − xk)
|rj − rk + g(xj − xk)|3
−
∑
16k6n, k ̸=j
rj − rk + gxj
|rj − rk + gxj |3
)
+
+ e0
dxj
dt
× h.
Якщо xj = x1j+ix2j , x̃j = x̃1j+ix̃2j ∈ C, то це рiвняння в комплекснiй формi перепишеться так:
d2xj
dt2
= −x
−1/2
j x̃
−3/2
j + g2
∑
16k6n, k ̸=j
[(rj − rk + g(xj − xk))
−1/2(|r∗j − r∗k + g(x̃j − x̃k)|)−3/2 −
− (rj − rk + gx̃j)
−1/2(|r∗j − r∗k + gxj |)−3/2] + ih0e0
dxj
dt
,
якщо покласти x1j − ix2j = x∗j = x̃j , то
d2x̃j
dt2
= −x̃
−1/2
j x
−3/2
j + g2
∑
16k6n, k ̸=j
[(rj − rk + g(x̃j − x̃k))
−1/2(|r∗j − r∗k + g(xj − xk)|)−3/2 −
− (rj − rk + gx̃j)
−1/2(|r∗j − r∗k + gxj)
−3/2]− ih0e0
dx̃j
dt
. (1)
Отже,
d2xj
dt2
= −x
−1/2
j x̃
−3/2
j + fj ,
d2x̃j
dt2
= −x̃
−1/2
j x
−3/2
j + f̃j .
Другим кроком для отримання розв’язку рiвняння руху є введення комплексних змiнних
Зiгеля ξ, η таких, що
dξ
dt
= αξ,
dη
dt
= −αη, α =
i
4
(ξη)−3 (2)
20 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
та
xj = ξ4
(
1 +
∑
k,l
aj,klζk,l
)
= ξ4(1−Aj), 3k − |4l| > 0, k > 0, (3)
x̃j = η4
(
1 +
∑
k,l
aj,klζk,−l
)
= η4(1−Bj), ζk,l = ζkl = ξ3k+4lη3k−4l. (4)
Рiвняння в (2) мають перiодичнi розв’язки при η = ξ∗
ξ = eαtξ0, η = e−αtη0, α =
i
4
(ξ0η0)
−3, η = ξ∗,
бо ξη не залежить вiд часу. Тобто ми шукаємо розв’язки рiвняння руху (1) за допомогою
рiвностей (3), (4), в яких змiннi ξ, η пiдкоряються рiвнянням (2). Щоб досягти цiєї мети,
необхiдно обчислити першi та другi похiднi координат в (3), (4), пiдставити їх у (1), отри-
мати рiвняння для дiйсних коефiцiєнтiв aj,kl та довести iснування такого його розв’язку,
що координати зарядiв будуть голоморфними функцiями ξ, η в околi нуля.
Розрахуємо тепер цi похiднi:
dxj
dt
= 4αξ4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζkl
)
,
d2xj
dt2
= (4α)2ξ4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζkl
)
,
dx̃j
dt
= −(4α)η4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζk,−l
)
,
d2x̃j
dt2
= (4α)2η4
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζk,−l
)
.
У результатi маємо
−iξ2η6
dxj
dt
= −ζ10
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,k,lζkl
)
,
ξ2η6
d2xj
dt2
= −
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζkl
)
,
ξ2η6x
−1/2
j x̃
−3/2
j = (1−Aj)
−1/2(1−Bj)
−3/2 =
(
1 +
1
2
Aj + . . .
)(
1 +
3
2
Bj + . . .
)
=
= 1 +
1
2
Aj +
3
2
Bj + . . ..
Останнi рiвностi та (1) дають∑
k,l
(2l + 1)2aj,klζkl −
1
2
Aj −
3
2
Bj = Dj − g2ξ2η6fj , (5)
де
Dj = (1−Aj)
−1/2(1−Bj)
−3/2 − 1− 1
2
Aj −
3
2
Bj ,
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 21
fj = g2
∑
16k6n, k ̸=j
[(rj − rk − gξ4(Aj −Ak))
−1/2(|r∗j − r∗k − gη4(Bj −Bk)|)−3/2 −
− (rj − rk − gξ4Aj)
− 1
2 (|r∗j − r∗k − gη4Bj |)−3/2] + (ξ2η6)−1h0e0ζ10 ×
×
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζkl
)
.
З (5) та подання
Dj − ξ2η6fj =
∑
k,l
ρj,klζkl, D̃j − ξ2η6f̃j =
∑
k,l
ρj,k,−lζkl, ρkl = ρk,l, (6)
де функцiї з тiльдою отриманi з функцiй без неї перестановкою А та В ми отримуємо
рiвняння для aj,kl = aj,k,l[
(2l + 1)2 +
1
2
]
aj,kl +
3
2
aj,k,−l = ρj,kl, aj,k0 =
1
3
ρj,k0,[
(2l − 1)2 +
1
2
]
aj,k,−l +
3
2
aj,kl = ρj,k,−l.
Зазначимо, що ρj,kl, ρj,k,−l залежить вiд aj,rl, r < k через те, що розклад в Dj починається
з других степенiв Aj , Bj i що вираз ξ2η6 присутнiй в лiвих частинах рiвностей в (6). Таким
чином, це рiвняння є рекурентним спiввiдношенням та просто розв’язується як неоднорiдне
несингулярне лiнiйне рiвняння
aj,kl =
[
(2l − 1)2 +
1
2
]
ρj,kl −
3
2
ρj,k,−l
4l2(4l2 − 1)
, l ̸= 0.
З цiєї рiвностi випливає, що
|(2l + 1)aj,kl| 6
c1
2|2l + 1|
(|ρj,kl|+ |ρj,k,−l|). (7)
Тепер доведемо, що ряди в (3), (4) збiгаються. Ми це зробимо за допомогою мажорантної
технiки Кошi, яка близька до мажорантної технiки, винайденої Зiгелем для розв’язку задачi
Хiлла [4].
Нерiвнiсть для степеневих рядiв f ≪ F означає, що коефiцiєнти в розкладi для F є до-
датними та бiльшими за модулi коефiцiєнтiв у розкладi для f.
Нехай ξ = η та
Zj =
∑
k,l
|aj,kl|ζ3k, Z =
n∑
j=1
Zj
для нульового магнiтного поля i для ненульового поля
Zj =
∑
k,l
|(2l + 1)aj,kl|ζ3k.
22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Тодi
ζk,l = ζ3k, ζ = ξ2, Aj , Bj ≪ Zj
та
Dj ≪ (1− Zj)
−2 − 1− 2Zj ≪ (1− 2Zj)
−1 − 1− 2Zj =
4Z2
j
1− 2Zj
,
fj − (ξ2η6)−1e0ζ10
(
1 +
∑
k,l
(2l + 1)aj,klζkl
)
≪
≪ g2
∑
16k6n,k ̸=j
r−2
0 {[(1− g0ζ
2(Zj + Zk))
−2 − 1] + [(1− g0ζ
2Zj)
−2 − 1]} ≪
≪ (n− 1)
4g30ζ
2Z
1− 2g0ζ2Z
, g0 = r−1
0 g.
Вiдзначимо, що умова нейтральностi дала нам змогу ввести доданок −1 у двi квадратнi
дужки, що приведе до доведення збiжностi рядiв в (3), (4). Останнi двi нерiвностi, нерiвнiсть
|2l + 1| > 1 та (6) дають (h0 = |h0|e0)
∑
k,l
ρj,kl
|2l + 1|
ζkl ≪ 4
[
Z2
j
1− 2Zj
+ (n− 1)
ζ60Z
1− 2ζ20Z
]
+ h0ζ
3(1 + Zj), ζ0 =
√
g0ζ.
Таким чином, з (7) отримуємо
Zj ≪ 4c1
[
Z2
j
1− 2Zj
+ (n− 1)
ζ60Z
1− 2ζ20Z
]
+ h0c1ζ
3(1 + Zj), ζ0 =
√
g0ζ.
Як наслiдок,
Z ≪ c1n
[
4Z2 + h0ζ
3
1− 2Z
+ (n− 1)
4ζ60Z
1− 2ζ20Z
]
≪ c1n
4Z2 + h0ζ
3 + 4(n− 1)ζ60Z
1− 2(ζ20 + Z)
≪
≪ c1n
4(Z + 2−1(n− 1)ζ60 )
2 + h0ζ
3
1− 2(ζ20 + Z)
≪ c1n
4V 2 + h0ζ
3
1− 2V
,
де
V = Z + c∗, c∗ = 2−1(n− 1)ζ60 + ζ20 .
Покладаючи c = e0ζ
3 + c∗, отримуємо
V ≪ W, W =
c+ 4c1nW
2
1− 2W
, 4(2c1n+ 1)W 2 − 2W + 2c = 0.
Для квадратного рiвняння для W знаходимо розв’язок
W = (8c1n+ 4)−1(1 +
√
1− 8c(2c1n+ 1)).
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 23
Нехай a = 4(2c1n + 1), тодi
a−1(1− aW )2 + 2c− a−1 = 0, (1− aW )2 = 1− 2ac.
Як наслiдок,
2aW ≪ (1− aW )−2 − 1 = (1− 2ac)−1 − 1 =
2ac
1− 2ac
.
W — голоморфна функцiя ζ у нулi, якщо
|2c| = |(n− 1)ζ60 + 2ζ20 + 2h0ζ
3
0 | < (8c1n+ 4)−1, |ζ0| < ((n+ 1 + 2h0)(8c1n+ 4))−1/2
чи
|ζ| <
(
r0
g
)1/2
((n+ 1 + 2h0)(8c1n+ 4))−1/2, |ξ|, |η| 6 1√
2
|ζ|. (8)
Для цих значень |ζ| справедливi такi нерiвностi:
0 < W (|ζ|) 6 (4c1n+ 2)−1, Z(|ζ|) 6 W (|ζ|) + |c|, Zj(|ζ|) 6 Z(|ζ|).
Отже,
|xj | 6 |ζ|2(1 + Zj) 6 |ζ|2(1 + Z) < 2|ζ|2 < r0
g
((n+ 1 + 2h0)(4c1n+ 2))−1
i ми довели, що при умовi (8) координати в (3), (4) є голоморфними функцiями ξ, η в нулi, що
вони є розв’язком (1) при умовах (2), x∗j = x̃j та η = ξ∗ i що має мiсце нижчесформульований
висновок.
Висновок. Для координат xj негативних зарядiв справедлива така нерiвнiсть:
|rj − xj | <
r0
2(n+ 1 + 2h0)(2c1n+ 1)
,
яка виключає їх зiткнення.
Таким чином, ми побудували розв’язок рiвнянь руху нашої системи зарядiв за допомо-
гою таких дiй:
1) зсунули координату кожного негативного заряду на координату (свого) позитивного
фiксованого заряду та переписали рiвняння руху для таких змiнних у комплекснiй фор-
мi (1);
2) отримали новi змiннi у виглядi рядiв (розкладiв) (3), (4) за степепнями функцiй ξ,
η, що пiдкоряються рiвнянням руху (2) кожного заряду без урахування взаємодiї з усiма
зарядами, крiм одного фiксованого позитивного найближчого заряду;
3) вивели рекурентне рiвняння для коефiцiєнтiв aj,kl розкладiв (3), (4) та розв’язали
його;
4) довели збiжнiсть рядiв (3), (4) за допомогою мажорантного методу теорiї голомор-
фних функцiй. При цьому умова нейтральностi вiдiграє суттєву роль.
Вiдзначимо, що Зiгель запропонував оригiнальний метод доведення центральної теоре-
ми Ляпунова [4], який є аналогом його методу розв’язку задачi трьох тiл небесної механiки,
узагальненого нами в цiй роботi.
24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №3
Цитована лiтература
1. Скрипник В.I. Про голоморфнi розв’язки гамiльтонових рiвнянь руху точкових зарядiв // Укр. мат.
журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 270–280.
2. Скрипник В.I. Про голоморфнi розв’язки рiвнянь руху Дарвiна точкових зарядiв // Укр. мат. журн. –
2013. – 65, № 4. – С. 546–564.
3. Скрипник В.I. Перiодичнi та обмеженi розв’язки рiвнянь руху Кулона двох та трьох точкових зарядiв
з рiвновагою на прямiй // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 5. – С. 668–682.
4. Siegel C. L., Moser J.K. Lectures on celestial mechanics. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1971. –
290 p.
References
1. Skrypnik W. I. Ukr. Мath. J., 2011, 63, No 2: 270–280 (in Ukrainian).
2. Skrypnik W. I. Ukr. Мath. J., 2013, 65, No 4: 546–564 (in Ukrainian).
3. Skrypnik W. I. Ukr. Мath. J., 2014, 66, No 5: 668-682 (in Ukrainian).
4. Siegel C. L., Moser J.K. Lectures on celestial mechanics, Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1971.
Надiйшло до редакцiї 13.07.2015
В.И. Скрипник
Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: volodymyr_skrypnyk@ukr.net
Кулоновская плоcкая периодическая динамика одинаковых зарядов
в поле притягивающих центров и постоянном магнитном поле
Рассматривается кулоновская нейтральная плоская система n отрицательных зарядов
в постоянном магнитном поле и поле n одинаковых фиксированных положительных за-
рядов и строится периодическое решение уравнения движения такое, что каждый отри-
цательный заряд является близьким к своему положительному фиксированному заряду.
Ключевые слова: уравнение движения Кулона, отрицательные заряды, внешние поля.
W. I. Skrypnik
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: volodymyr_skrypnyk@ukr.net
Coulomb planar periodic motion of equal charges in the field of
attractive centers and a constant magnetic field
We consider a neutral Coulomb planar system of n equal negative charges in a constant magnetic
field and the field of n equal fixed positive charges and construct a periodic solution of the equation
of motion such that each negative charge is close to its own positive fixed charge.
Keywords: Coulomb equation of motion, negative charges, external fields.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №3 25
|