Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием....
Gespeichert in:
Datum: | 2016 |
---|---|
Hauptverfasser: | , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99859 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 20-29. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-99859 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-998592016-05-08T03:02:10Z Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Математика Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием. Знайдено достатнi умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна лiнiйної нетерової крайової задачi для виродженої диференцiально-алгебраїчної системи з iмпульсним впливом. We find sufficient conditions for the solvability and the construction of generalized Green’s operator for the linear Noether boundary-value problem for a degenerate linear differential-algebraic system with pulse influence. 2016 Article Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 20-29. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99859 517.9 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Математика Математика |
spellingShingle |
Математика Математика Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием Доповіді НАН України |
description |
Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием. |
format |
Article |
author |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. |
author_facet |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. |
author_sort |
Чуйко, С.М. |
title |
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием |
title_short |
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием |
title_full |
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием |
title_fullStr |
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием |
title_full_unstemmed |
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием |
title_sort |
линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием |
publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
publishDate |
2016 |
topic_facet |
Математика |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99859 |
citation_txt |
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 20-29. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
series |
Доповіді НАН України |
work_keys_str_mv |
AT čujkosm linejnyeneterovykraevyezadačidlâvyroždennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihsistemsimpulʹsnymvozdejstviem AT čujkoev linejnyeneterovykraevyezadačidlâvyroždennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihsistemsimpulʹsnymvozdejstviem |
first_indexed |
2025-07-07T10:00:53Z |
last_indexed |
2025-07-07T10:00:53Z |
_version_ |
1836981895675510784 |
fulltext |
УДК 517.9 http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.04.020
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко
Донбасский государственный педагогический университет, Славянск
E-mail: chujko-slav@inbox.ru
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных
дифференциально-алгебраических систем
с импульсным воздействием
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Бойчуком)
Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного опе-
ратора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально-
алгебраической системы с импульсным воздействием.
Ключевые слова: дифференциально-алгебраическая система, нетерова краевая задача,
обобщенный оператор Грина, вырожденное импульсное воздействие.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу о построении решений [1–5] z(t) ∈ C1{[a; b]\
\{τi}I} вырожденной (k ̸= n) дифференциально-алгебраической системы [6]
A(t)z′ = B(t)z + f(t), t ̸= τi, A(t), B(t) ∈ Rk×n, A(t), B(t), f(t) ∈ C[a, b], (1)
с импульсным воздействием [1, 2]
∆z(τi) = Siz(τi − 0) + ai, Si ∈ Rn×n, τi ∈ [a, b], ai ∈ Rn, i = 1, 2, . . . , p, (2)
подчиненной краевому условию [1, 7]
ℓz(·) = α, ℓz(·) : C[a, b] → Rm, α ∈ Rm. (3)
Достаточные условия однозначной разрешимости и структура гладкого решения z(t) ∈
∈ C[a, b] двухточечной краевой задачи для системы (1) были получены в [8]. Условия су-
ществования и структура решений аналогичной нетеровой краевой задачи (1), (3) в общем
случае (k ̸= n) были получены в [6] с использованием понятия совершенных троек матриц.
Конструктивные условия разрешимости и структура решения дифференциально-алгебраи-
ческих систем (1) в случае k = n найдены в [9, 10] с использованием центральной канониче-
ской формы. Более современные условия разрешимости и техника приведения системы (1)
к центральной канонической форме были получены в [11]. Целью данной работы является
нахождение конструктивных достаточных условий разрешимости задачи Коши и линейной
нетеровой краевой задачи (1), (2), (3) с импульсным воздействием в общем случае k ̸= n,
в частности, для переопределенных k > n и недоопределенных k 6 n вырожденных диф-
ференциально-алгебраических систем. При условии
PA∗(t)B(t) = 0, PA∗(t)f(t) = 0 (4)
© С.М. Чуйко, Е. В. Чуйко, 2016
20 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
однородная часть системы (1) по меньшей мере одним способом разрешима относительно
производной z′ = A+(t)B(t)z.
2. Достаточные условия в случае разрешимости относительно производной.
Предположим, что псевдообратная матрица A+(t) непрерывна; обозначим X0(t) нормаль-
ную фундаментальную матрицу X ′
0(t) = A+(t)B(t)X0(t), X0(a) = In полученной системы
обыкновенных (A+(t)B(t) ∈ Rn×n) дифференциальных уравнений. При условии (4) систе-
ма (1) имеет непрерывное решение вида
z(t, c) = X0(t)c+K[f(s)](t), K[f(s)](t) := X0(t)
t∫
a
X−1
0 (s)A+(s)f(s) ds, c ∈ Rn.
При условии PA∗(t)B(t) = 0 фундаментальную матрицу нетривиальных решений задачи
z′ = A+(t)B(t)z, t ̸= τi, ∆z(τi) = Siz(τi − 0)
ищем в виде
X(t) =
X0(t)W0, t ∈ [a; τ1[,
X0(t)W1, t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)Wp, t ∈ [τp; b],
(5)
где W1, . . . ,Wp — неизвестные постоянные (n× n)-матрицы; W0 := In. В силу невырожден-
ности матриц X0(τi) имеем Wi+1 = X−1
0 (τi)(In + Si)X0(τi)Wi, i = 1, 2, . . . , p− 1. Найденная
нормальная фундаментальная матрица X(t) является обобщением нормальной (X(a) = In)
фундаментальной матрицы X(t) задачи о нахождении непрерывных решений однородной
части системы (1) с импульсным воздействием ∆z(τi) = Siz(τi−0). В зависимости от выро-
жденности или невырожденности матриц In+Si, i = 1, 2, . . . , p, нормальная фундаменталь-
ная матрица X(t) определяет решение z(t, c) = X(t)c, c ∈ Rn, однородной части системы (1)
с вырожденным или невырожденным [12, 13] импульсным воздействием ∆z(τi) = Siz(τi−0),
при этом, в отличие от задач с невырожденным импульсным воздействием [1, 2], ранг най-
денной нормальной фундаментальной матрицы X(t) становится меньше n на одном из про-
межутков [τ1; τ2[, . . . , [τp; b] ⊂ [a; b]. При условии (4) частное решение неоднородной диффе-
ренциально-алгебраической задачи (1), (2) ищем в виде
K[A+(s)f(s);Si](t) =
K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)γ1 +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)γp +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τp; b],
(6)
где
K[A+(s)f(s)](t) := X0(t)
t∫
a
X−1
0 (s)A+(s)f(s) ds —
оператор Грина задачи Коши для системы (1), γ1, γ2, . . ., γp — неизвестные постоянные,
для нахождения которых используем условие (2). В силу невырожденности матриц X0(τi)
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 21
имеем γi = X−1
0 (τi)SiK[A+(s)f(s)](τi) ∈ Rn. Таким образом, при условии (4) общее решение
неоднородной задачи (1), (2) имеет вид z(t, c) = X(t)c+K[A+(s)f(s);Si](t), c ∈ Rn, где
K[A+(s)f(s);Si](t) := X0(t)
t∫
a
X−1
0 (s)A+(s)f(s) ds, i = 1, 2, . . . , p, —
оператор Грина задачи Коши для дифференциально-алгебраической системы (1) с импуль-
сным воздействием (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) при условии (4) и
PQ∗
d
{α− ℓK[A+(s)f(s)](·)} = 0 (7)
краевая задача (1)–(3) имеет семейство решений [1]
z(t, cr) = Xr(t)cr +G[A+(s)f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr,
где
G[A+(s)f(s);α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[A+(s)f(s)](·)}+K[A+(s)f(s)](t).
Здесь Q := ℓX(·) — (m × n)-матрица, rankQ = n1, r := n − n1, d := m − n1, PQ∗ — матри-
ца-ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), Xr(t) := X(t)PQr , PQr — (n× r)-матрица, составленная
из r линейно независимых столбцов матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q); (d×m) — мер-
ная матрица PQ∗
d
составлена из d линейно независимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ ,
Q+ — псевдообратная матрица по Муру–Пенроузу [1], In — единичная (n×n)-матрица. Та-
ким образом, доказано следующее достаточное условие разрешимости [14, 15] вырожденной
дифференциально-алгебраической задачи с импульсным воздействием (1)–(3).
Лемма. При условии (4) для непрерывной матрицы A+(t) однородная часть вырожден-
ной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (1), (2) имеет
решение z(t) ∈ C1{[a; b] \ {τi}I} вида z(t, c) = X(t)c, c ∈ Rn, где X(t) — нормальная фун-
даментальная матрица
X(t) =
X0(t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)X
−1
0 (τ1)(In + S1)X0(τ1), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)X
−1
0 (τp)(In + Sp)X0(τp), t ∈ [τp; b].
При условии (4) задача Коши z(a) = c для неоднородной дифференциально-алгебраической
системы с импульсным воздействием (1), (2) при любом c ∈ Rn имеет решение вида
z(t, c) = X(t)c + K[A+(s)f(s)](t), c ∈ Rn, где
K[A+(s)f(s);Si](t) =
=
K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)X
−1
0 (τ1)S1K[A+(s)f(s)](τ1) +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)X
−1
0 (τp)SpK[A+(s)f(s)](τp) +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τp; b]
—
22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = 0 для дифференциально-алгебраической
системы с импульсным воздействием (1), (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) при усло-
виях (4) и (7) для любого вектора f(t) ∈ C[a, b] краевая задача (1)–(3) имеет семейство
решений
z(t, cr) = Xr(t)cr +G[A+(s)f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr,
где
G[A+(s)f(s);Si;α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[A+(s)f(s);Si](·)}+K[A+(s)f(s);Si](t) —
обобщенный оператор Грина краевой задачи (1)–(3).
Заметим, что условие (4) может выполняться как для недоопределенных, так и для пере-
определенных систем вида (1). В частности, условие (4) выполняется для недоопределенной
дифференциально-алгебраической системы (1) с матрицей A(t) полного ранга. Для недо-
определенной дифференциально-алгебраической системы (1) без импульсного воздействия
с матрицей A(t) полного ранга утверждение доказанной леммы эквивалентно теоремам 3.1.1
и 3.2.1, доказанным в [8].
3. Достаточные условия в случае неразрешимости дифференциально-алге-
браической системы относительно производной. Предположим, что псевдообратная
матрица B+(t) непрерывна, а условие PA∗(t)B(t) = 0 не выполнено; при этом однородная
часть системы (1) не разрешима относительно производной. В случае
PA∗(t)B(t) ̸= 0, PB∗(t)A(t) = 0, PB∗(t)f(t) = 0 (8)
однородная часть системы (1) по меньшей мере одним способом разрешима относитель-
но неизвестной z = B+(t)A(t)z′. Предположим, что матрица B+(t)A(t) постоянного ранга
rankB+(t)A(t) = δ, n − δ := ω и не имеет среди собственных чисел нулей геометрической
кратности, отличной от алгебраической; при этом неособенным (detS(t) ̸= 0) преобразова-
нием подобия B+(t)A(t) = S(t)J(t)S−1(t) она приводится к жордановой форме
J(t) =
(
Jδ(t) O
O Oω
)
, Jδ(t) ∈ Rδ×δ, det Jδ(t) ̸= 0, Oω ∈ Rω×ω.
При условии (8) однородная часть системы (1)
J(t)y′ = (In − J(t)S−1(t)S′(t))y, y(t) := S−1(t)z(t) := col(u(t), v(t)), u(t) ∈ Rδ
приводится к виду(
Jδ(t) O
O Oω
)(
u′
v′
)
= (In − J(t)S−1(t)S′(t))
(
u
v
)
, v(t) ∈ Rω. (9)
Отметим, что уравнение (9), вообще говоря, не разрешимо относительно производных. Дей-
ствительно, условие разрешимости уравнения (9) при произвольных функциях u(t) и v(t)
не выполнено: PJ∗(t)(In − J(t)S−1(t)S′(t)) = PJ∗(t) ̸= 0; здесь ортопроектор PJ∗(t) : Rn →
→ N(J∗(t)) и матрица
S−1(t)S′(t) =
(
Sδδ(t) Sδω(t)
Sωδ(t) Sωω(t)
)
, Sδδ(t) ∈ Rδ×δ, Sωω(t) ∈ Rω×ω.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 23
С другой стороны, уравнение (9) разрешимо при условии v(t) ≡ 0. Для нахождения первой
из компонент u(t) ∈ Rδ вектора y(t) используем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений u′ = (J−1
δ (t)−Sδδ(t))u. Предположим, что матрица J−1
δ (t)−Sδδ(t) непрерывна;
обозначим Yδ(t) нормальную фундаментальную матрицу: Y ′
δ (t) = (J−1
δ (t) − Sδδ(t))Yδ(t),
Yδ(a) = Iδ. Однородная часть системы (1) имеет решение
y(t, cδ) = Y (t)cδ, cδ ∈ Rδ, Y (t) :=
(
Yδ(t)
O
)
.
Таким образом, при условии (8) однородная часть системы (1) в случае непрерывности
матрицы J−1
δ (t) − Sδδ(t) имеет решение вида
z(t, cδ) = X0(t)cδ, X0(t) = S(t)Y (t) ∈ Rn×δ, cδ ∈ Rδ,
при этом задача Коши z(a) = c для однородной части вырожденной дифференциально-ал-
гебраической системы (1) разрешима для любого вектора
c ∈ R(X0(t)), Rn = R(X0(t))⊕ N(X∗
0 (t)), Rδ = N(X0(t))⊕ R(X∗
0 (t)).
При условии (8) фундаментальную матрицу нетривиальных решений задачи с импульсным
воздействием
A(t)z′ = B(t)z, t ̸= τi, ∆z(τi) = Siz(τi − 0)
ищем в виде (5), где W1, . . . ,Wp — неизвестные постоянные (δ× δ)-матрицы, W0 := In. Для
прямоугольных (n × δ)-матриц X0(τi) уравнения
X0(τi)Wi+1 = (In + Si)X0(τi)Wi, i = 1, 2, . . . , p− 1,
разрешимы по меньшей мере одним способом
Wi+1 = X+
0 (τi)(In + Si)X0(τi)Wi, i = 1, 2, . . . , p− 1,
тогда и только тогда, когда
PX∗
0 (τi)
(In + Si)X0(τi) = 0, i = 1, 2, . . . , p− 1. (10)
Таким образом, при условии (8) и (10) однородная часть системы с импульсным воздействи-
ем (1), (2) в случае непрерывности матрицы J−1
δ (t) −Sδδ(t) имеет решение вида z(t, cδ) =
= X(t)cδ, cδ ∈ Rδ, при этом задача Коши z(a) = c для однородной части вырожденной
дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (1), (2) разрешима
для любого вектора
c ∈ R(X0(t)), Rn = R(X0(t))⊕ N(X∗
0 (t)), Rδ = N(X0(t))⊕ R(X∗
0 (t)).
Существенным отличием однородной части вырожденной дифференциально-алгебраиче-
ской системы (1) в случае ω ̸= 0 является прямоугольность матрицы X0(t), не позволяющая
для решения неоднородной дифференциально-алгебраической системы (1) непосредствен-
но использовать конструкцию традиционного оператора Грина задачи Коши K[f(s)](t).
24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
Кроме того, для однородной части вырожденной дифференциально-алгебраической систе-
мы (1) в случае ω ̸= 0 в силу прямоугольности матрицы X0(t) не существенно разделение
импульсного воздействия (2) на невырожденное и вырожденное [12, 13], поскольку прямо-
угольность матрицы X0(t) не позволяет для решения неоднородной дифференциально-ал-
гебраической системы (1) с импульсным воздействием (2) непосредственно использовать
конструкцию традиционного оператора Грина задачи Коши [1, 2]. При условии (8) неодно-
родная система (1) приводится к виду
J(t)y′ = (In − J(t)S−1(t)S′(t))y + S−1(t)B+(t)f(t),
S−1(t)B+(t)f(t) = col(φ(t), ψ(t)),
(11)
где
φ(t) = (IδO)S−1(t)B+(t)f(t) ∈ Rδ, ψ(t) = (OIn−δ)S
−1(t)B+(t)f(t) ∈ Rω.
Система (11) расщепляется на обыкновенное дифференциальное и функциональное урав-
нения
u′ = (J−1
δ (t)−Sδδ(t))u+ J−1
δ (t)φ(t) + ψ(t), v + ψ(t) = 0.
При условии φ(t) ∈ C[a, b], Sδω(t)ψ(t) ∈ C1[a, b] система (11) имеет решение вида
y(t, c) = Y (t)cδ +K[φ(s), ψ(s)](t), cδ ∈ Rδ,
где
K[φ(s), ψ(s)](t) =
Yδ(t)
t∫
a
Y −1
δ (s)(J−1
δ (s)φ(s) +Sδω(s)ψ(s)) ds
−ψ(t)
.
Таким образом, при условии (8) для непрерывной матрицы (J−1
δ (t) − Sδδ(t)) система (1)
имеет решение вида z(t, cδ) = X0(t)cδ + K[f(s)](t), cδ ∈ Rδ, где
K[f(s)](t) = S(t)K[φ(s), ψ(s)](t) —
обобщенный оператор Грина задачи Коши для системы (1) в случае неразрешимости диф-
ференциально-алгебраической системы (1) относительно производной. При условии (8) и
(10) в случае непрерывности матрицы J−1
δ (t)−Sδδ(t) частное решение неоднородной диф-
ференциально-алгебраической задачи с импульсным воздействием (1), (2) ищем в виде
K[f(s);Si](t) =
K[f(s)](t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)γ1 +K[f(s)](t), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)γp +K[f(s)](t), t ∈ [τp; b].
При условии (8) и (10) для прямоугольных (n × δ)-матриц X0(τi) уравнения
X0(τi)γi = SiK[f(s)](τi) + ai, i = 2, 3, . . . , p,
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 25
разрешимы по меньшей мере одним способом
γi = X+
0 (τi){SiK[f(s)](τi) + ai}, i = 2, 3, . . . , p,
тогда и только тогда, когда
PX∗
0 (τi)
{SiK[f(s)](τi) + ai}. (12)
Таким образом, для непрерывной матрицы J−1
δ (t) − Sδδ(t) при условии (8), (10) и (12)
неоднородная дифференциально-алгебраическая задача с импульсным воздействием (1), (2)
имеет решение вида
z(t, cδ) = X(t)cδ +K[f(s);Si](t), cδ ∈ Rδ,
где K[f(s);Si](t) — обобщенный оператор Грина задачи Коши дифференциально-алгебраи-
ческой системы с импульсным воздействием (1), (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) при
условии (8), (10) и (12) для непрерывной матрицы J−1
δ (t) − Sδδ(t) и
PQ∗
d
{α− ℓK[f(s);Si](·)} = 0 (13)
краевая задача (1), (3) имеет семейство решений
z(t, cr) = Xr(t)cr +G[f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr,
где
G[f(s);Si;α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[f(s);Si](·)}+K[f(s);Si](t).
Таким образом, доказано следующее достаточное условие разрешимости [14, 15] вырожден-
ной дифференциально-алгебраической задачи с импульсным воздействием (1)–(3).
Теорема. При условии непрерывности матрицы B+(t) и условиях (8), (10) однородная
часть вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействи-
ем (1), (2) имеет решение z(t) ∈ C[a; b] вида
z(t, cδ) = X0(t)cδ, X0(t) = S(t)Y (t) ∈ Rn×δ, cδ ∈ Rδ,
где X0(t) — фундаментальная матрица. При условии
c ∈ R(X0(t)), Rn = R(X0(t))⊕ N(X0(t)), R(X0(t)) = (In − PX0(t))R
n,
в случае (8), (10) и (12) для непрерывной матрицы J−1
δ (t)−Sδδ(t) неоднородная дифферен-
циально-алгебраическая задача с импульсным воздействием (1), (2) имеет решение вида
z(t, c) = X(t)cδ +K[f(s);Si](t) ∈ C1{[a; b] \ {τi}I}, cδ ∈ Rδ,
где K[f(s);Si](t) — обобщенный оператор Грина задачи Коши для дифференциально-алге-
браической системы с импульсным воздействием (1), (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0)
при условии (13) для любого вектора f(t) ∈ C[a, b] краевая задача (1)–(3) имеет семейство
решений
z(t, cr) = Xr(t)cr +G[A+(s)f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr,
26 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
где
G[f(s);Si;α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[f(s);Si](·)}+K[f(s);Si](t) —
обобщенный оператор Грина краевой задачи (1)–(3).
Пример. Требованиям доказанной теоремы удовлетворяет задача о построении реше-
ний задачи Коши для системы с импульсным воздействием
A(t)z′ = B(t)z + f(t), t ̸= τ1, ∆z(τ1) = S1z(τ1 − 0) + a1, z(0) = α, (14)
где
A(t) :=
(
sin 2t− 1 cos 2t
− cos 2t sin 2t+ 1
)
, B(t) :=
(
2 0
0 −2
)
,
f(t) := 4
√
2
(
sin t
cos t
)
, τ1 = π, S1 := −2I2, a1 =
(
−4
√
2
0
)
, α =
(√
2− 1√
2 + 1
)
.
Действительно, матрица B(t) невырождена, следовательно, PB∗(t) = 0, при этом усло-
вие (8) выполнено. Матрица
J−1
δ (t)−Sδδ(t) = − 2 cos t
cos t− sin t
определяет решение z(t, cδ) = X0(t)cδ однородной части вырожденной дифференциаль-
но-алгебраической системы (14); здесь
X0(t) =
(
e−t(sin t− cos t)
e−t(sin t+ cos t)
)
, cδ ∈ R2.
Поскольку условие (10) выполнено, то обобщенный оператор Грина задачи Коши для сис-
темы (14) имеет вид
K[f(s)](t) =
√
2
5
(
cos t+ 2 cos 3t− 8 sin t− sin 3t+ 2e−t(cos t− sin t)
8 cos t− cos 3t+ sin t− 2 sin 3t− 2e−t(sin t+ cos t)
)
.
Поскольку условие (12) выполнено, то обобщенный оператор Грина задачи Коши для диф-
ференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (14) имеет вид
K[f(s);S1](t) =
{
K[f(s)](t), t ∈ [0; 2π[,
X0(t)γ1 +K[f(s)](t), t ∈ [π; 2π],
γ1 = −2
√
2
5
(7eπ − 2).
Задача Коши для дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействи-
ем (14) представляет критический случай: PQ∗ ̸= 0, при этом условие (13) ее разрешимости
выполнено, таким образом, согласно доказанной теореме, решение неоднородной задачи Ко-
ши для дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (14) един-
ственно PQ = 0 и имеет вид
z(t, c) = X(t)cδ +K[f(s);Si](t), cδ = 1.
Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных ис-
следований № 0109U000381.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 27
Цитированная литература
1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. –
Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317 p.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 287 с.
3. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравне-
ния. – 2001. – 37, № 8. – С. 1132–1135.
4. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Докл. РАН. – 2001. –
379, № 2. – С. 170–172.
5. Бойчук А.А., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключени-
ями // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 1. – С. 51–65.
6. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и иссле-
дования. – Новосибирск: Наука, 1998. – 224 с.
7. Бойчук A.A., Шегда Л.М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10,
№ 3. – С. 303–312.
8. Campbell S. L. Singular systems of differential equations. – San Francisco: Pitman, 1980. – 178 p.
9. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. – Новосибирск:
Наука, 1996. – 280 с.
10. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. – Но-
восибирск: Наука, 2003. – 317 с.
11. Самойленко А.М., Шкiль М. I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродже-
нням. – Київ: Вища шк., 2000. – 296 с.
12. Бойчук А.А., Чуйко Е.В., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным
импульсным воздействием // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 5. – С. 588–594.
13. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием //
Докл. НАН Украины. – 1999. – № 6. – С. 43–47.
14. Chuiko S.M. A generalized matrix differential-algebraic equation // J. Math. Sci. – 2015. – 210, No 1. –
P. 9–21.
15. Chuiko S.M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value
problem // Siberian Math. J. – 2015. – 56, No 4. – P. 752–760.
References
1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems,
Utrecht: VSP, 2004.
2. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Impulsive Differential Equations, Kiev: Vyshcha Shkola, 1987 (in Rus-
sian).
3. Chuiko S.M. Different. Equations, 2001, 37: 1189–1193.
4. Chuiko S.M. Dokl. AN, 2001, 379, No 2: 170–172 (in Russian).
5. Boichuk A.A., Chuiko S.M. Nonlinear Oscillations, 2007, 10, Iss. 1: 46–61.
6. Boyarintsev J. E., Chistyakov V. F. Differential-algebraic system. Methods of solutions and research, Novosi-
birsk: Nauka, 1998 (in Russian).
7. Boichuk A.A., Shegda L.M. Nonlinear Oscillations, 2007, 10, Iss. 3: 306–314.
8. Campbell S. L. Singular Systems of differential equations, San Francisco: Pitman, 1980.
9. Chistyakov V. F. Algebraic-differential operators with finite-dimensional kernel, Novosibirsk: Nauka, 1996
(in Russian).
10. Chistyakov V. F., Shcheglova A.A. Selected chapters of the theory of algebraic-differential systems, Novosi-
birsk: Nauka, 2003 (in Russian).
11. Samoilenko A.M., Shkil’ M. I., Yakovets’ V. P. Linear Systems of Degenerate Differential Equations, Kiev:
Vyshcha Shkola, 2000 (in Ukrainian).
12. Boichuk A.A., Chuiko E.V., Chuiko S.M. Ukr. Math. J., 1996, 48: 652–660.
13. Chuiko S.M., Chuiko E.V. Dop. NAN Ukraine, 1999, No 6: 43–47 (in Russian).
28 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4
14. Chuiko S.M. J. Math. Sci., 2015, 210, No 1: 9–21.
15. Chuiko S.M. Siberian Math. J., 2015, 56, No 4: 752–760.
Поступило в редакцию 30.06.2015
С.М. Чуйко, О. В. Чуйко
Донбаський державний педагогiчний унiверситет, Слов’янськ
E-mail: chujko-slav@inbox.ru
Лiнiйнi нетеровi крайовi задачi для вироджених
диференцiально-алгебраїчних систем з iмпульсним впливом
Знайдено достатнi умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грi-
на лiнiйної нетерової крайової задачi для виродженої диференцiально-алгебраїчної системи
з iмпульсним впливом.
Ключовi слова: диференцiально-алгебраїчна система, нетерова крайова задача, узагальне-
ний оператор Грiна, вироджений iмпульсний вплив.
S.M. Chuiko, E. V. Chuiko
Donbass State Pedagogical University, Slovyansk
E-mail: chujko-slav@inbox.ru
Linear Noether boundary-value problems for degenerate
differential-algebraic systems with pulse influence
We find sufficient conditions for the solvability and the construction of generalized Green’s operator
for the linear Noether boundary-value problem for a degenerate linear differential-algebraic system
with pulse influence.
Keywords: differential-algebraic system, Noether boundary-value problem, generalized Green’s
operator, degenerate pulse influence.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 29
|