Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием

Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2016
Hauptverfasser: Чуйко, С.М., Чуйко, Е.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2016
Schriftenreihe:Доповіді НАН України
Schlagworte:
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99859
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 20-29. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-99859
record_format dspace
spelling irk-123456789-998592016-05-08T03:02:10Z Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Математика Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием. Знайдено достатнi умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна лiнiйної нетерової крайової задачi для виродженої диференцiально-алгебраїчної системи з iмпульсним впливом. We find sufficient conditions for the solvability and the construction of generalized Green’s operator for the linear Noether boundary-value problem for a degenerate linear differential-algebraic system with pulse influence. 2016 Article Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 20-29. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99859 517.9 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Чуйко, С.М.
Чуйко, Е.В.
Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
Доповіді НАН України
description Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием.
format Article
author Чуйко, С.М.
Чуйко, Е.В.
author_facet Чуйко, С.М.
Чуйко, Е.В.
author_sort Чуйко, С.М.
title Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
title_short Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
title_full Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
title_fullStr Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
title_full_unstemmed Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
title_sort линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2016
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99859
citation_txt Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 4. — С. 20-29. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT čujkosm linejnyeneterovykraevyezadačidlâvyroždennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihsistemsimpulʹsnymvozdejstviem
AT čujkoev linejnyeneterovykraevyezadačidlâvyroždennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihsistemsimpulʹsnymvozdejstviem
first_indexed 2025-07-07T10:00:53Z
last_indexed 2025-07-07T10:00:53Z
_version_ 1836981895675510784
fulltext УДК 517.9 http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.04.020 С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко Донбасский государственный педагогический университет, Славянск E-mail: chujko-slav@inbox.ru Линейные нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с импульсным воздействием (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Бойчуком) Найдены достаточные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного опе- ратора Грина линейной нетеровой краевой задачи для вырожденной дифференциально- алгебраической системы с импульсным воздействием. Ключевые слова: дифференциально-алгебраическая система, нетерова краевая задача, обобщенный оператор Грина, вырожденное импульсное воздействие. 1. Постановка задачи. Исследуем задачу о построении решений [1–5] z(t) ∈ C1{[a; b]\ \{τi}I} вырожденной (k ̸= n) дифференциально-алгебраической системы [6] A(t)z′ = B(t)z + f(t), t ̸= τi, A(t), B(t) ∈ Rk×n, A(t), B(t), f(t) ∈ C[a, b], (1) с импульсным воздействием [1, 2] ∆z(τi) = Siz(τi − 0) + ai, Si ∈ Rn×n, τi ∈ [a, b], ai ∈ Rn, i = 1, 2, . . . , p, (2) подчиненной краевому условию [1, 7] ℓz(·) = α, ℓz(·) : C[a, b] → Rm, α ∈ Rm. (3) Достаточные условия однозначной разрешимости и структура гладкого решения z(t) ∈ ∈ C[a, b] двухточечной краевой задачи для системы (1) были получены в [8]. Условия су- ществования и структура решений аналогичной нетеровой краевой задачи (1), (3) в общем случае (k ̸= n) были получены в [6] с использованием понятия совершенных троек матриц. Конструктивные условия разрешимости и структура решения дифференциально-алгебраи- ческих систем (1) в случае k = n найдены в [9, 10] с использованием центральной канониче- ской формы. Более современные условия разрешимости и техника приведения системы (1) к центральной канонической форме были получены в [11]. Целью данной работы является нахождение конструктивных достаточных условий разрешимости задачи Коши и линейной нетеровой краевой задачи (1), (2), (3) с импульсным воздействием в общем случае k ̸= n, в частности, для переопределенных k > n и недоопределенных k 6 n вырожденных диф- ференциально-алгебраических систем. При условии PA∗(t)B(t) = 0, PA∗(t)f(t) = 0 (4) © С.М. Чуйко, Е. В. Чуйко, 2016 20 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4 однородная часть системы (1) по меньшей мере одним способом разрешима относительно производной z′ = A+(t)B(t)z. 2. Достаточные условия в случае разрешимости относительно производной. Предположим, что псевдообратная матрица A+(t) непрерывна; обозначим X0(t) нормаль- ную фундаментальную матрицу X ′ 0(t) = A+(t)B(t)X0(t), X0(a) = In полученной системы обыкновенных (A+(t)B(t) ∈ Rn×n) дифференциальных уравнений. При условии (4) систе- ма (1) имеет непрерывное решение вида z(t, c) = X0(t)c+K[f(s)](t), K[f(s)](t) := X0(t) t∫ a X−1 0 (s)A+(s)f(s) ds, c ∈ Rn. При условии PA∗(t)B(t) = 0 фундаментальную матрицу нетривиальных решений задачи z′ = A+(t)B(t)z, t ̸= τi, ∆z(τi) = Siz(τi − 0) ищем в виде X(t) =  X0(t)W0, t ∈ [a; τ1[, X0(t)W1, t ∈ [τ1; τ2[, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X0(t)Wp, t ∈ [τp; b], (5) где W1, . . . ,Wp — неизвестные постоянные (n× n)-матрицы; W0 := In. В силу невырожден- ности матриц X0(τi) имеем Wi+1 = X−1 0 (τi)(In + Si)X0(τi)Wi, i = 1, 2, . . . , p− 1. Найденная нормальная фундаментальная матрица X(t) является обобщением нормальной (X(a) = In) фундаментальной матрицы X(t) задачи о нахождении непрерывных решений однородной части системы (1) с импульсным воздействием ∆z(τi) = Siz(τi−0). В зависимости от выро- жденности или невырожденности матриц In+Si, i = 1, 2, . . . , p, нормальная фундаменталь- ная матрица X(t) определяет решение z(t, c) = X(t)c, c ∈ Rn, однородной части системы (1) с вырожденным или невырожденным [12, 13] импульсным воздействием ∆z(τi) = Siz(τi−0), при этом, в отличие от задач с невырожденным импульсным воздействием [1, 2], ранг най- денной нормальной фундаментальной матрицы X(t) становится меньше n на одном из про- межутков [τ1; τ2[, . . . , [τp; b] ⊂ [a; b]. При условии (4) частное решение неоднородной диффе- ренциально-алгебраической задачи (1), (2) ищем в виде K[A+(s)f(s);Si](t) =  K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [a; τ1[, X0(t)γ1 +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τ1; τ2[, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X0(t)γp +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τp; b], (6) где K[A+(s)f(s)](t) := X0(t) t∫ a X−1 0 (s)A+(s)f(s) ds — оператор Грина задачи Коши для системы (1), γ1, γ2, . . ., γp — неизвестные постоянные, для нахождения которых используем условие (2). В силу невырожденности матриц X0(τi) ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 21 имеем γi = X−1 0 (τi)SiK[A+(s)f(s)](τi) ∈ Rn. Таким образом, при условии (4) общее решение неоднородной задачи (1), (2) имеет вид z(t, c) = X(t)c+K[A+(s)f(s);Si](t), c ∈ Rn, где K[A+(s)f(s);Si](t) := X0(t) t∫ a X−1 0 (s)A+(s)f(s) ds, i = 1, 2, . . . , p, — оператор Грина задачи Коши для дифференциально-алгебраической системы (1) с импуль- сным воздействием (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) при условии (4) и PQ∗ d {α− ℓK[A+(s)f(s)](·)} = 0 (7) краевая задача (1)–(3) имеет семейство решений [1] z(t, cr) = Xr(t)cr +G[A+(s)f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr, где G[A+(s)f(s);α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[A+(s)f(s)](·)}+K[A+(s)f(s)](t). Здесь Q := ℓX(·) — (m × n)-матрица, rankQ = n1, r := n − n1, d := m − n1, PQ∗ — матри- ца-ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), Xr(t) := X(t)PQr , PQr — (n× r)-матрица, составленная из r линейно независимых столбцов матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q); (d×m) — мер- ная матрица PQ∗ d составлена из d линейно независимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ , Q+ — псевдообратная матрица по Муру–Пенроузу [1], In — единичная (n×n)-матрица. Та- ким образом, доказано следующее достаточное условие разрешимости [14, 15] вырожденной дифференциально-алгебраической задачи с импульсным воздействием (1)–(3). Лемма. При условии (4) для непрерывной матрицы A+(t) однородная часть вырожден- ной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (1), (2) имеет решение z(t) ∈ C1{[a; b] \ {τi}I} вида z(t, c) = X(t)c, c ∈ Rn, где X(t) — нормальная фун- даментальная матрица X(t) =  X0(t), t ∈ [a; τ1[, X0(t)X −1 0 (τ1)(In + S1)X0(τ1), t ∈ [τ1; τ2[, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X0(t)X −1 0 (τp)(In + Sp)X0(τp), t ∈ [τp; b]. При условии (4) задача Коши z(a) = c для неоднородной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (1), (2) при любом c ∈ Rn имеет решение вида z(t, c) = X(t)c + K[A+(s)f(s)](t), c ∈ Rn, где K[A+(s)f(s);Si](t) = =  K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [a; τ1[, X0(t)X −1 0 (τ1)S1K[A+(s)f(s)](τ1) +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τ1; τ2[, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X0(t)X −1 0 (τp)SpK[A+(s)f(s)](τp) +K[A+(s)f(s)](t), t ∈ [τp; b] — 22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4 обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = 0 для дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (1), (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) при усло- виях (4) и (7) для любого вектора f(t) ∈ C[a, b] краевая задача (1)–(3) имеет семейство решений z(t, cr) = Xr(t)cr +G[A+(s)f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr, где G[A+(s)f(s);Si;α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[A+(s)f(s);Si](·)}+K[A+(s)f(s);Si](t) — обобщенный оператор Грина краевой задачи (1)–(3). Заметим, что условие (4) может выполняться как для недоопределенных, так и для пере- определенных систем вида (1). В частности, условие (4) выполняется для недоопределенной дифференциально-алгебраической системы (1) с матрицей A(t) полного ранга. Для недо- определенной дифференциально-алгебраической системы (1) без импульсного воздействия с матрицей A(t) полного ранга утверждение доказанной леммы эквивалентно теоремам 3.1.1 и 3.2.1, доказанным в [8]. 3. Достаточные условия в случае неразрешимости дифференциально-алге- браической системы относительно производной. Предположим, что псевдообратная матрица B+(t) непрерывна, а условие PA∗(t)B(t) = 0 не выполнено; при этом однородная часть системы (1) не разрешима относительно производной. В случае PA∗(t)B(t) ̸= 0, PB∗(t)A(t) = 0, PB∗(t)f(t) = 0 (8) однородная часть системы (1) по меньшей мере одним способом разрешима относитель- но неизвестной z = B+(t)A(t)z′. Предположим, что матрица B+(t)A(t) постоянного ранга rankB+(t)A(t) = δ, n − δ := ω и не имеет среди собственных чисел нулей геометрической кратности, отличной от алгебраической; при этом неособенным (detS(t) ̸= 0) преобразова- нием подобия B+(t)A(t) = S(t)J(t)S−1(t) она приводится к жордановой форме J(t) = ( Jδ(t) O O Oω ) , Jδ(t) ∈ Rδ×δ, det Jδ(t) ̸= 0, Oω ∈ Rω×ω. При условии (8) однородная часть системы (1) J(t)y′ = (In − J(t)S−1(t)S′(t))y, y(t) := S−1(t)z(t) := col(u(t), v(t)), u(t) ∈ Rδ приводится к виду( Jδ(t) O O Oω )( u′ v′ ) = (In − J(t)S−1(t)S′(t)) ( u v ) , v(t) ∈ Rω. (9) Отметим, что уравнение (9), вообще говоря, не разрешимо относительно производных. Дей- ствительно, условие разрешимости уравнения (9) при произвольных функциях u(t) и v(t) не выполнено: PJ∗(t)(In − J(t)S−1(t)S′(t)) = PJ∗(t) ̸= 0; здесь ортопроектор PJ∗(t) : Rn → → N(J∗(t)) и матрица S−1(t)S′(t) = ( Sδδ(t) Sδω(t) Sωδ(t) Sωω(t) ) , Sδδ(t) ∈ Rδ×δ, Sωω(t) ∈ Rω×ω. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 23 С другой стороны, уравнение (9) разрешимо при условии v(t) ≡ 0. Для нахождения первой из компонент u(t) ∈ Rδ вектора y(t) используем систему обыкновенных дифференциальных уравнений u′ = (J−1 δ (t)−Sδδ(t))u. Предположим, что матрица J−1 δ (t)−Sδδ(t) непрерывна; обозначим Yδ(t) нормальную фундаментальную матрицу: Y ′ δ (t) = (J−1 δ (t) − Sδδ(t))Yδ(t), Yδ(a) = Iδ. Однородная часть системы (1) имеет решение y(t, cδ) = Y (t)cδ, cδ ∈ Rδ, Y (t) := ( Yδ(t) O ) . Таким образом, при условии (8) однородная часть системы (1) в случае непрерывности матрицы J−1 δ (t) − Sδδ(t) имеет решение вида z(t, cδ) = X0(t)cδ, X0(t) = S(t)Y (t) ∈ Rn×δ, cδ ∈ Rδ, при этом задача Коши z(a) = c для однородной части вырожденной дифференциально-ал- гебраической системы (1) разрешима для любого вектора c ∈ R(X0(t)), Rn = R(X0(t))⊕ N(X∗ 0 (t)), Rδ = N(X0(t))⊕ R(X∗ 0 (t)). При условии (8) фундаментальную матрицу нетривиальных решений задачи с импульсным воздействием A(t)z′ = B(t)z, t ̸= τi, ∆z(τi) = Siz(τi − 0) ищем в виде (5), где W1, . . . ,Wp — неизвестные постоянные (δ× δ)-матрицы, W0 := In. Для прямоугольных (n × δ)-матриц X0(τi) уравнения X0(τi)Wi+1 = (In + Si)X0(τi)Wi, i = 1, 2, . . . , p− 1, разрешимы по меньшей мере одним способом Wi+1 = X+ 0 (τi)(In + Si)X0(τi)Wi, i = 1, 2, . . . , p− 1, тогда и только тогда, когда PX∗ 0 (τi) (In + Si)X0(τi) = 0, i = 1, 2, . . . , p− 1. (10) Таким образом, при условии (8) и (10) однородная часть системы с импульсным воздействи- ем (1), (2) в случае непрерывности матрицы J−1 δ (t) −Sδδ(t) имеет решение вида z(t, cδ) = = X(t)cδ, cδ ∈ Rδ, при этом задача Коши z(a) = c для однородной части вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (1), (2) разрешима для любого вектора c ∈ R(X0(t)), Rn = R(X0(t))⊕ N(X∗ 0 (t)), Rδ = N(X0(t))⊕ R(X∗ 0 (t)). Существенным отличием однородной части вырожденной дифференциально-алгебраиче- ской системы (1) в случае ω ̸= 0 является прямоугольность матрицы X0(t), не позволяющая для решения неоднородной дифференциально-алгебраической системы (1) непосредствен- но использовать конструкцию традиционного оператора Грина задачи Коши K[f(s)](t). 24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4 Кроме того, для однородной части вырожденной дифференциально-алгебраической систе- мы (1) в случае ω ̸= 0 в силу прямоугольности матрицы X0(t) не существенно разделение импульсного воздействия (2) на невырожденное и вырожденное [12, 13], поскольку прямо- угольность матрицы X0(t) не позволяет для решения неоднородной дифференциально-ал- гебраической системы (1) с импульсным воздействием (2) непосредственно использовать конструкцию традиционного оператора Грина задачи Коши [1, 2]. При условии (8) неодно- родная система (1) приводится к виду J(t)y′ = (In − J(t)S−1(t)S′(t))y + S−1(t)B+(t)f(t), S−1(t)B+(t)f(t) = col(φ(t), ψ(t)), (11) где φ(t) = (IδO)S−1(t)B+(t)f(t) ∈ Rδ, ψ(t) = (OIn−δ)S −1(t)B+(t)f(t) ∈ Rω. Система (11) расщепляется на обыкновенное дифференциальное и функциональное урав- нения u′ = (J−1 δ (t)−Sδδ(t))u+ J−1 δ (t)φ(t) + ψ(t), v + ψ(t) = 0. При условии φ(t) ∈ C[a, b], Sδω(t)ψ(t) ∈ C1[a, b] система (11) имеет решение вида y(t, c) = Y (t)cδ +K[φ(s), ψ(s)](t), cδ ∈ Rδ, где K[φ(s), ψ(s)](t) = Yδ(t) t∫ a Y −1 δ (s)(J−1 δ (s)φ(s) +Sδω(s)ψ(s)) ds −ψ(t)  . Таким образом, при условии (8) для непрерывной матрицы (J−1 δ (t) − Sδδ(t)) система (1) имеет решение вида z(t, cδ) = X0(t)cδ + K[f(s)](t), cδ ∈ Rδ, где K[f(s)](t) = S(t)K[φ(s), ψ(s)](t) — обобщенный оператор Грина задачи Коши для системы (1) в случае неразрешимости диф- ференциально-алгебраической системы (1) относительно производной. При условии (8) и (10) в случае непрерывности матрицы J−1 δ (t)−Sδδ(t) частное решение неоднородной диф- ференциально-алгебраической задачи с импульсным воздействием (1), (2) ищем в виде K[f(s);Si](t) =  K[f(s)](t), t ∈ [a; τ1[, X0(t)γ1 +K[f(s)](t), t ∈ [τ1; τ2[, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X0(t)γp +K[f(s)](t), t ∈ [τp; b]. При условии (8) и (10) для прямоугольных (n × δ)-матриц X0(τi) уравнения X0(τi)γi = SiK[f(s)](τi) + ai, i = 2, 3, . . . , p, ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 25 разрешимы по меньшей мере одним способом γi = X+ 0 (τi){SiK[f(s)](τi) + ai}, i = 2, 3, . . . , p, тогда и только тогда, когда PX∗ 0 (τi) {SiK[f(s)](τi) + ai}. (12) Таким образом, для непрерывной матрицы J−1 δ (t) − Sδδ(t) при условии (8), (10) и (12) неоднородная дифференциально-алгебраическая задача с импульсным воздействием (1), (2) имеет решение вида z(t, cδ) = X(t)cδ +K[f(s);Si](t), cδ ∈ Rδ, где K[f(s);Si](t) — обобщенный оператор Грина задачи Коши дифференциально-алгебраи- ческой системы с импульсным воздействием (1), (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) при условии (8), (10) и (12) для непрерывной матрицы J−1 δ (t) − Sδδ(t) и PQ∗ d {α− ℓK[f(s);Si](·)} = 0 (13) краевая задача (1), (3) имеет семейство решений z(t, cr) = Xr(t)cr +G[f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr, где G[f(s);Si;α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[f(s);Si](·)}+K[f(s);Si](t). Таким образом, доказано следующее достаточное условие разрешимости [14, 15] вырожден- ной дифференциально-алгебраической задачи с импульсным воздействием (1)–(3). Теорема. При условии непрерывности матрицы B+(t) и условиях (8), (10) однородная часть вырожденной дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействи- ем (1), (2) имеет решение z(t) ∈ C[a; b] вида z(t, cδ) = X0(t)cδ, X0(t) = S(t)Y (t) ∈ Rn×δ, cδ ∈ Rδ, где X0(t) — фундаментальная матрица. При условии c ∈ R(X0(t)), Rn = R(X0(t))⊕ N(X0(t)), R(X0(t)) = (In − PX0(t))R n, в случае (8), (10) и (12) для непрерывной матрицы J−1 δ (t)−Sδδ(t) неоднородная дифферен- циально-алгебраическая задача с импульсным воздействием (1), (2) имеет решение вида z(t, c) = X(t)cδ +K[f(s);Si](t) ∈ C1{[a; b] \ {τi}I}, cδ ∈ Rδ, где K[f(s);Si](t) — обобщенный оператор Грина задачи Коши для дифференциально-алге- браической системы с импульсным воздействием (1), (2). В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) при условии (13) для любого вектора f(t) ∈ C[a, b] краевая задача (1)–(3) имеет семейство решений z(t, cr) = Xr(t)cr +G[A+(s)f(s);Si;α](t), cr ∈ Rr, 26 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4 где G[f(s);Si;α](t) := X(t)Q+{α− ℓK[f(s);Si](·)}+K[f(s);Si](t) — обобщенный оператор Грина краевой задачи (1)–(3). Пример. Требованиям доказанной теоремы удовлетворяет задача о построении реше- ний задачи Коши для системы с импульсным воздействием A(t)z′ = B(t)z + f(t), t ̸= τ1, ∆z(τ1) = S1z(τ1 − 0) + a1, z(0) = α, (14) где A(t) := ( sin 2t− 1 cos 2t − cos 2t sin 2t+ 1 ) , B(t) := ( 2 0 0 −2 ) , f(t) := 4 √ 2 ( sin t cos t ) , τ1 = π, S1 := −2I2, a1 = ( −4 √ 2 0 ) , α = (√ 2− 1√ 2 + 1 ) . Действительно, матрица B(t) невырождена, следовательно, PB∗(t) = 0, при этом усло- вие (8) выполнено. Матрица J−1 δ (t)−Sδδ(t) = − 2 cos t cos t− sin t определяет решение z(t, cδ) = X0(t)cδ однородной части вырожденной дифференциаль- но-алгебраической системы (14); здесь X0(t) = ( e−t(sin t− cos t) e−t(sin t+ cos t) ) , cδ ∈ R2. Поскольку условие (10) выполнено, то обобщенный оператор Грина задачи Коши для сис- темы (14) имеет вид K[f(s)](t) = √ 2 5 ( cos t+ 2 cos 3t− 8 sin t− sin 3t+ 2e−t(cos t− sin t) 8 cos t− cos 3t+ sin t− 2 sin 3t− 2e−t(sin t+ cos t) ) . Поскольку условие (12) выполнено, то обобщенный оператор Грина задачи Коши для диф- ференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (14) имеет вид K[f(s);S1](t) = { K[f(s)](t), t ∈ [0; 2π[, X0(t)γ1 +K[f(s)](t), t ∈ [π; 2π], γ1 = −2 √ 2 5 (7eπ − 2). Задача Коши для дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействи- ем (14) представляет критический случай: PQ∗ ̸= 0, при этом условие (13) ее разрешимости выполнено, таким образом, согласно доказанной теореме, решение неоднородной задачи Ко- ши для дифференциально-алгебраической системы с импульсным воздействием (14) един- ственно PQ = 0 и имеет вид z(t, c) = X(t)cδ +K[f(s);Si](t), cδ = 1. Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных ис- следований № 0109U000381. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 27 Цитированная литература 1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317 p. 2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища шк., 1987. – 287 с. 3. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравне- ния. – 2001. – 37, № 8. – С. 1132–1135. 4. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Докл. РАН. – 2001. – 379, № 2. – С. 170–172. 5. Бойчук А.А., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключени- ями // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 1. – С. 51–65. 6. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и иссле- дования. – Новосибирск: Наука, 1998. – 224 с. 7. Бойчук A.A., Шегда Л.М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 3. – С. 303–312. 8. Campbell S. L. Singular systems of differential equations. – San Francisco: Pitman, 1980. – 178 p. 9. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. – Новосибирск: Наука, 1996. – 280 с. 10. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. – Но- восибирск: Наука, 2003. – 317 с. 11. Самойленко А.М., Шкiль М. I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродже- нням. – Київ: Вища шк., 2000. – 296 с. 12. Бойчук А.А., Чуйко Е.В., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным импульсным воздействием // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 5. – С. 588–594. 13. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием // Докл. НАН Украины. – 1999. – № 6. – С. 43–47. 14. Chuiko S.M. A generalized matrix differential-algebraic equation // J. Math. Sci. – 2015. – 210, No 1. – P. 9–21. 15. Chuiko S.M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value problem // Siberian Math. J. – 2015. – 56, No 4. – P. 752–760. References 1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, Utrecht: VSP, 2004. 2. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Impulsive Differential Equations, Kiev: Vyshcha Shkola, 1987 (in Rus- sian). 3. Chuiko S.M. Different. Equations, 2001, 37: 1189–1193. 4. Chuiko S.M. Dokl. AN, 2001, 379, No 2: 170–172 (in Russian). 5. Boichuk A.A., Chuiko S.M. Nonlinear Oscillations, 2007, 10, Iss. 1: 46–61. 6. Boyarintsev J. E., Chistyakov V. F. Differential-algebraic system. Methods of solutions and research, Novosi- birsk: Nauka, 1998 (in Russian). 7. Boichuk A.A., Shegda L.M. Nonlinear Oscillations, 2007, 10, Iss. 3: 306–314. 8. Campbell S. L. Singular Systems of differential equations, San Francisco: Pitman, 1980. 9. Chistyakov V. F. Algebraic-differential operators with finite-dimensional kernel, Novosibirsk: Nauka, 1996 (in Russian). 10. Chistyakov V. F., Shcheglova A.A. Selected chapters of the theory of algebraic-differential systems, Novosi- birsk: Nauka, 2003 (in Russian). 11. Samoilenko A.M., Shkil’ M. I., Yakovets’ V. P. Linear Systems of Degenerate Differential Equations, Kiev: Vyshcha Shkola, 2000 (in Ukrainian). 12. Boichuk A.A., Chuiko E.V., Chuiko S.M. Ukr. Math. J., 1996, 48: 652–660. 13. Chuiko S.M., Chuiko E.V. Dop. NAN Ukraine, 1999, No 6: 43–47 (in Russian). 28 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №4 14. Chuiko S.M. J. Math. Sci., 2015, 210, No 1: 9–21. 15. Chuiko S.M. Siberian Math. J., 2015, 56, No 4: 752–760. Поступило в редакцию 30.06.2015 С.М. Чуйко, О. В. Чуйко Донбаський державний педагогiчний унiверситет, Слов’янськ E-mail: chujko-slav@inbox.ru Лiнiйнi нетеровi крайовi задачi для вироджених диференцiально-алгебраїчних систем з iмпульсним впливом Знайдено достатнi умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грi- на лiнiйної нетерової крайової задачi для виродженої диференцiально-алгебраїчної системи з iмпульсним впливом. Ключовi слова: диференцiально-алгебраїчна система, нетерова крайова задача, узагальне- ний оператор Грiна, вироджений iмпульсний вплив. S.M. Chuiko, E. V. Chuiko Donbass State Pedagogical University, Slovyansk E-mail: chujko-slav@inbox.ru Linear Noether boundary-value problems for degenerate differential-algebraic systems with pulse influence We find sufficient conditions for the solvability and the construction of generalized Green’s operator for the linear Noether boundary-value problem for a degenerate linear differential-algebraic system with pulse influence. Keywords: differential-algebraic system, Noether boundary-value problem, generalized Green’s operator, degenerate pulse influence. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №4 29