New methods of descriptions for uncertain variables

In the article are examined the various ways to describe the uncertain variable, namely: probabilistic presented by random variable; possibilistic presented by fuzzy variable and mixed presented by fuzzy random variables. Also here are proposed some examples of problems in which you can see the basi...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Provotar, O.I., Lapko, O.V.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут програмних систем НАН України 2015
Теми:	Fuzzy Probabilities
Онлайн доступ:	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/105
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Problems in programming

Репозитарії

Problems in programming

id	pp_isofts_kiev_ua-article-105
record_format	ojs
resource_txt_mv	ppisoftskievua/01/2b045c98ed4381b015e904b51de48401.pdf
spelling	pp_isofts_kiev_ua-article-1052018-07-19T21:35:29Z New methods of descriptions for uncertain variables О способах описания неопределённых величин Про нові методи опису невизначених величин Provotar, O.I. Lapko, O.V. Fuzzy Probabilities Неопределенность Невизначеність In the article are examined the various ways to describe the uncertain variable, namely: probabilistic presented by random variable; possibilistic presented by fuzzy variable and mixed presented by fuzzy random variables. Also here are proposed some examples of problems in which you can see the basic similarities and differences ways of description. Рассматриваются разные способы описания неопределенных величин, а именно: вероятностный , с помощью случайной величины; возможностный, с помощью нечеткой величины; и смешанный, с помощью нечеткой случайной величины. А также приводятся примеры задач, в каких можно увидеть основные сходства и различия способов описания. Розглядаються різні способи описання невизначеної величини, а саме: ймовірнісний, через випадкову величину; можливістний, через нечітку величину, та змішаний, через нечітку випадкову величину. А також наводяться приклади задач, в яких можна побачити основні схожості та розбіжності способів опису. Інститут програмних систем НАН України 2015-09-22 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/105 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 4 (2012) ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 4 (2012) ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 4 (2012) 1727-4907 uk https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/105/105 Copyright (c) 2015 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ
institution	Problems in programming
baseUrl_str	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai
datestamp_date	2018-07-19T21:35:29Z
collection	OJS
language	Ukrainian
topic	Fuzzy Probabilities
spellingShingle	Fuzzy Probabilities Provotar, O.I. Lapko, O.V. New methods of descriptions for uncertain variables
topic_facet	Fuzzy Probabilities Неопределенность Невизначеність
format	Article
author	Provotar, O.I. Lapko, O.V.
author_facet	Provotar, O.I. Lapko, O.V.
author_sort	Provotar, O.I.
title	New methods of descriptions for uncertain variables
title_short	New methods of descriptions for uncertain variables
title_full	New methods of descriptions for uncertain variables
title_fullStr	New methods of descriptions for uncertain variables
title_full_unstemmed	New methods of descriptions for uncertain variables
title_sort	new methods of descriptions for uncertain variables
title_alt	О способах описания неопределённых величин Про нові методи опису невизначених величин
description	In the article are examined the various ways to describe the uncertain variable, namely: probabilistic presented by random variable; possibilistic presented by fuzzy variable and mixed presented by fuzzy random variables. Also here are proposed some examples of problems in which you can see the basic similarities and differences ways of description.
publisher	Інститут програмних систем НАН України
publishDate	2015
url	https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/105
work_keys_str_mv	AT provotaroi newmethodsofdescriptionsforuncertainvariables AT lapkoov newmethodsofdescriptionsforuncertainvariables AT provotaroi osposobahopisaniâneopredelënnyhveličin AT lapkoov osposobahopisaniâneopredelënnyhveličin AT provotaroi pronovímetodiopisuneviznačenihveličin AT lapkoov pronovímetodiopisuneviznačenihveličin
first_indexed	2025-07-17T09:43:34Z
last_indexed	2025-07-17T09:43:34Z
_version_	1838409223219707904
fulltext	Теоретичні та методологічні основи програмування УДК 681.3 О.І. Провотар, О.В. Лапко ПРО НОВІ МЕТОДИ ОПИСУ НЕВИЗНАЧЕНИХ ВЕЛИЧИН Розглядаються різні способи описання невизначеної величини, а саме: ймовірнісний, через випадкову ве- личину; можливістний, через нечітку величину, та змішаний, через нечітку випадкову величину. А також наводяться приклади задач, в яких можна побачити основні схожості та розбіжності способів опису. Вступ У роботі [1] розглядалися експери- менти, результати яких є невизначеними подіями. Проте часто виникає необхідність кількісного представлення результатів ек- сперименту у вигляді деякої величини, яка називається невизначеною величиною. Невизначена величина є другим (після не- визначеної події) основним об'єктом ви- вчення теорії невизначеності та забезпечує більш загальний спосіб опису досвіду з невизначеним результатом, чим сукупність невизначених подій. Розглядаючи експерименти з неви- значеним результатом, маємо справу з не- визначеними величинами. Так, число успі- хів у серії з n випробувань – приклад неви- значеної величини. Іншими прикладами невизначених величин є: число викликів на телефонній станції за одиницю часу, час очікування чергового виклику; число час- тинок із заданою енергією у системах час- тинок, що розглядаються в статистичній фізиці; середня добова температура в даній місцевості й т. д. © О.І. Провотар, О.В. Лапко, 2012 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2012. № 4 35 Невизначена величина характерна тим, що неможливо точно передбачити її значення, яке вона прийме, але з іншого боку, множина її можливих значень зазви- чай відома. Так для числа успіхів у послі- довності з випробувань ця множина скін- чена, оскільки число успіхів може прийма- ти значення з множини {1, …, n} . Множи- на значень невизначеної величини, може збігатися з дійсною піввіссю, як у випадку часу очікування і т. д. Класична випадкова величина Спочатку розглянемо класичний ймовірнісний апарат підрахунку нечіткості. Нехай маємо ймовірнісний простір ( , , )U PΩ , де Ω – це простір елементарних подій, U – σ -алгебра на просторі елемен- тарних подій, а Р – це класична міра ймо- вірності, тобто 0 ≤ P(A) ≤ 1, P( ) = 1, Ω P( A ∞ = ∪ 1i i) = P(A ∞ = Σ 1i i), для будь-яких i ≠ j, Ai∩Aj = ∅. Числову функцію ( )wξ від елемен- тарної події w∈Ω будемо називати випа- дковою величиною, якщо для будь-якого дійсного x { } { : ( ) }x w w x Uξ ξ≤ = ≤ ∈ } , тобто { xξ ≤ є подією. Іншими словами випадкова величи- на – це числова функція Ω → R, яка вимір- на щодо σ - алгебри U. Функцію F(x) = Fξ(x) = P{ξ ≤ x}, бу- демо називати функцією розподілу випа- дкової величини ξ. Функція розподілу має такі властивості: 1 2 2{ } (P x x F x x1)ξ< ≤ = − ; { } ( 0P x F x )ξ < = − ; { } ( ) ( 0P x F x F x )ξ = = − − ; ( )F x – неспадна; ( )F x – неперервна справа; (F )+∞ = 1; (F )−∞ = 0. Якщо { }k kP x pξ = = , 1k k p =∑ , то випадкова величина ξ називається випад- ковою величиною, що має дискретний розподіл. Розподіл такої випадкової вели- чини визначається його законом, парою елементів ( , )k kx p для всіх k. Найпошире- Теоретичні та методологічні основи програмування нішими прикладами дискретних розподілів є вироджений, біноміальний розподіл, ге- ометри я щільності для цього розпо- ділу, тобто: чний розподіл та розподіл Пуасона. Випадкова величина ξ має абсолю- тно неперервний розподіл Fξ(x), якщо існує функці ( ) 0 : ( ) ( ) x f u F x f uξ ξ ξ du∃ ≥ = ∫ . Властивості щільнос −∞ ті: '( ) ( )f x F xξ ξ= ; =∫ . , рівномірний та показниковий розпод с ої величини є матем ни в кожному елеме- нті простору, тобто: ( ) 1f u duξ +∞ −∞ Найпоширенішими прикладами є нормальний іли. Важливими числовими властиво - тями розподілів випадков атичне сподівання. В дискретному випадку математич- не сподівання випадкової величини дорів- нює сумі добутку ймовірностей на значен- ня випадкової величи ( )* ( ) w M p w wξ ξ= ∑ . (1) на значення випад- кової величини, тобто: ∈Ω А для абсолютно неперервного роз- поділу математичне сподівання дорівнює інтегралу по всьому простору від функції щільності помноженої ( ) . x M xf x dxξ ∈Ω = ∫ х чисел, іншими словами це множина пар Нечітка величина Виходячи з [1, 2], нечіткою вели- чиною А будемо називати нечітку множи- ну визначену на множині дійсни {( , ( )), }AA w w w Rμ= ∈ , де Aμ : [0,1]→ – нкція н ежності н жини. Тобто функція : [0,1]A R R фу ал м онечіткої μ → може бути визначена, як розподіл можливостей для нечіткої вели- чини А ичина може бути дискретною та неп - почка розжарювання перегорить за x днів. Нехай така нечітка величина має вигляд . Так само, як і випадкова величина нечітка вел ерервною в залежності від міри на- лежності. Розглянемо нечітку величину А, що описує можливість того, що звичайна лам {( , ( )), [0, ]}AA x x xμ= ∈ ∞ , де 2 ( ), 0 ( ) 50 ;xarctg x xμ π ⎧ ≥⎪= али неперервну нечіт- у величину, що описується функцією арктангенса рис. 1. 0, 0. A x ⎨ ⎪ <⎩ У такому разі отрим к Рис. 1. Функція Aμ Знайдемо можливість події, що «лампочка розжарювання перегорить за 100 д ів», позначимо таку подію через А н дорівнює максимум 100. Як відомо з [1], можливість об’єднання подій в дискретному випадку у можливостей, тобто: ( ) max ( ),i ii i A Aμ μ∪ = для всіх неперетина- ючих подій Аі, в неперервному випадку можливість об’єднання подій буде дорів- у можливостей, тобто: ( ) sup ( )i ii i нювати супремум A Aμ μ∪ = . Виходячи з цього мо- жливість того, що лампочка перегорить за 100 днів буде дорівнювати супремуму мо- жливостей за весь цей час, тобто: 100 x [0,100] [0,100] 50x x 2( ) sup ( ) supAA x arctgμ μ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ , а, то супремум буде саме на 100- ий день: π∈ ∈ ⎝ ⎠ а оскільки функція арктангенс монотонно зростаюч 100 [0,100] 2 2 100( ) sup 0.7 50 50x xA arctg arctgμ π π∈ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .≈ 36 Теоретичні та методологічні основи програмування Отже, можливість того, що лампочка пере- горить за 100 днів, виходячи з розподілу нечіткої величини буде дорівнювати 0.7. Цю ж ситуацію опишемо за допо- могою випадкової величини ξ . Нехай ймовірність того, що лампочка розжарю- вання перегорить за t днів буде визначати- ся за законом: ( ) –0.02 t t 0.02 e fξ = . Функція є функцією щіль- ності випадкової величини ( ) t fξ ξ . Знайдемо тепер ймовірність події «лампочка перего- рить за 100 днів», позначимо таку подію 100B . Ймовірність події 100B буде дорівню- вати інтегралу функції щільності за межа- ми від 0 до 100, тобто 100 100 0.02 100 0 0 2 ( ) ( ) 0.02 1 1 0.135 0.865. tp B f t dt e dt e ξ − − = = = − = − = ∫ ∫ = Отже ймовірність того, що лампочка пере- горить за 100 днів дорівнює 0.865. Таким чином ми описали одну й ту ж саму подію різними способами. Для ана- лізу якості та адекватності результату обох способів необхідне більш докладне ви- вчення їх на різних типах задач. Але те, що обчислення для нечіткої величини є наба- гато простішими ніж для випадкової вели- чини є очевидним. Математичне сподівання дискре- тної нечіткої величини будемо визнача- ти, як сума добутку значення елементу на його можливість поділена на потужність величини (сума всіх можливостей нечіткої величини), а саме: * ( )A w A A w w w M μ μ ∈Ω ∈Ω = ∑ ∑ . (2) Наприклад, припустимо, що Мико- ла їсть кекси один за одним, всього він за один раз може з’їсти 10 штук, цей процес можна описати простором елементарних подій . Побудуємо випадкову величину {1,...,10}Ω = ξ та нечітку величину A, що будуть описувати відповідно ймовірність та можливість «гарног самопочуття Миколи після певної кількості з’їдених кексів». Опишемо ці величини вказавши їх розподіли в табличному вигляді (табл. 1). Таблиця 1 x - кількість з’їдених кексів 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( )p xξ – ймовірніс- ний роз- поділ 0.1 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0 0 0 ( )A xμ – розподіл можливос- тей 0.9 1.0 1.0 0.7 0.5 0.2 0.1 0 0 0 Отже ймовірність та можливість то- го, що Микола матиме гарне самопочуття після того як з’їсть три кекси буде: (3) 0,3; (3) 1.A pξ μ = = Підрахуємо для випадкової ξ та нечіткої A величин математичне сподіван- ня, використовуючи співвідношення (1) та (2) відповідно: ( )* ( ) 0.11 0.42 0.33 0.24 0.15 3.1; w M p w wξ ξ ∈Ω = = + + + + = +∑ ( ( ) 0.91 12 13 A w A A w w w M μ μ ∈Ω ∈Ω ∑ = = + + ∑ + ) (0.74 0.55 0.26 0.17 0 0.9+ + + + + + ) 13.11 1 0.7 0.5 0.2 0.1 2.98. 4.4 + + + + + + + = = Як бачимо ми отримали дуже бли- зькі значення математичного сподівання для обох величин. Це й не дивно, адже ми намагалися описати одну й ту саму події різними способами підрахунку невизначе- ності. Такий результат можна інтерпрету- вати як те, що найкраще самопочуття буде у Миколи, якщо він з’їсть три кекси, адже обидва значення математичного сподіван- ня близько 3-х. о 37 Теоретичні та методологічні основи програмування Математичне сподівання непере- рвної нечіткої величини знаходиться за допомогою співвідношення (2), але замість суми використовується інтегрування, тоб- то: ( ) . ( ) A w A A w w w dw M w dw μ μ ∈Ω ∈Ω ∫ = ∫ Припустимо маємо нечітку величи- ну N з наступним розподілом можливос- тей: 0, 1; 1, [1,2]; ( ) 0.5 2, [2, 4]; 0, 4. N x x x x x x x μ <⎧ ⎪ − ∈⎪= ⎨− + ∈⎪ ⎪ >⎩ Рис. 2. Функція ( )N xμ Знайдемо математичне сподівання для нечіткої величини N : * ( ) ( ) N x N N x w x dx M x dx μ μ ∈Ω ∈Ω = = ∫ ∫ 2 2 [1,2] [2,4] [1,2] [2,4] ( ) (2 0.5 ) ( 1) (2 0.5 ) x x x x x x dx x x dx x dx x dx ∈ ∈ ∈ ∈ − + − = = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ 8 4 1 1 32 64 8 8 3 2 3 2 2 6 2 6 2.33.4 1 16 42 1 2 4 2 2 2 2 4 4 − − + + − − + = = − − + + ⋅ − − ⋅ + Отже математичне сподівання неперервної нечіткої величини N дорівнює 2,33. Нечітка випадкова величина Розглянемо випадкову величину з біноміальним розподілом, що зазвичай позначається як , де – кількість незалежних експериментів, а ( , )b m p m p це ймові- рність вдалого виконання експерименту. Такий розподіл дозволяє визначати, яка ймовірність виконання – вдалих експе- риментів. За формулою: k (1 ) .k k m k k mP С p p −= − Але на практиці не завжди можна визначити точно p ймовірність вдалого виконання одного окремого експерименту, наприклад, якщо це значення буде визна- чатися рядом експертів. Пропонується ви- значати таку ймовірність не числом, а не- чітким числом p , для того щоб врахувати розбіжності думок експертів. Виходячи з [5], нечітке число А – це випукла нечітка множина висотою одиниця, визначена на множині дійсних чисел : [0,А R 1]μ → . Унімодальними нази- ваються нечіткі числа, в яких міра належ- ності дорівнює 1 лише в одній точці. А толерантними називаються ті нечіткі числа, в яких міра належності дорівнює одиниці на проміжку точок. Для зручності унімодальні нечіткі числа будемо познача- ти трійкою чисел (a/c/b), де (a,b) – інтер- вал, на якому міра належності нечіткого числа не дорівнює нулю, а c точка в якій міра належності дорівнює одиниці. Схожим чином будемо позначати й толерантні нечіткі числа але вже четвір- кою чисел (a/c/d/b), де (a,b) – так само ін- тервал, на якому міра належності нечітко- го числа не дорівнює нулю, а (c,d) – інтер- вал, на якому міра належності дорівнює одиниці. Для зручності нечіткі множини бу- демо описувати за допомогою α - перерізів. Відповідно до [2] α-перерізом нечіткої множини M називається звичайна множина вигляду M [α] = {x,μM (x)≥α}. α -перерізом нечіткого числа А є закритий обмежений інтервал [ ]А α для всіх вигляду [0,1]α ∈ . Будемо позначати нечіткі числа через α -переріз таким чи- ном: 1 2[ ] [ ( ), ( )]А А Аα α α= , для всіх [0,1]α ∈ , 38 Теоретичні та методологічні основи програмування де 1( )А α ( 2 ( )А α ) монотонно зростаюча (спадаюча) функція від α при чому . 1 2(1) (1)А А≤ Замінивши ймовірність окремого експерименту в випадковій величині X з біноміальним розподілом на нечітке число А отримаємо в результаті, що закон роз- поділу теж буде описуватись нечітким чи- слом. Тобто ймовірність станів випадкової величини буде визначатися таким чином: [ ] { (1 ) \| [ ]}k k m k k mP С t t t Аα α−= − ∈ , для всіх [0,1]α ∈ , де [ ]А α – α -перерізом нечіткого числа А , що описує ймовірність вдалого експе- рименту. Випадкову величину, параметрами якої будуть нечіткі числа, будемо називати нечіткою випадковою величину. Розпо- діл ймовірностей такої випадкової величи- ни теж є нечітким числом. Для кращого розуміння, розглянемо приклад. Нехай маємо випадкову величину X з біноміальним розподілом b(3,0.7), тоб- то маємо серію з трьох експериментів з ймовірність вдалого результату окремо взятого експерименту 0.7. Такий розподіл буде визначатися чотирма станами, в за- лежності від кількості вдалих експеримен- тів, та ймовірностями кожного стану, що визначається за законом 3 3 (1 ) , 0,3k k k kP С p p k−= − = . Зобразимо розподіл випадкової ве- личини в табличному вигляді (табл. 2). Таблиця 2 K – кількість вдалих екс- периментів Pk – ймовірність k вдалих експериментів 0 0 0 3 3 3 (1 ) (0.3)С p p− = 1 1 1 2 2 3 (1 ) 3 (0.7) (0.3)С p p− = ⋅ ⋅ 2 1 1 2 2 3 (1 ) 3 (0.7) (0.3)С p p− = ⋅ ⋅ 3 3 3 0 3 3 (1 ) (0.7)С p p− = Припустимо, що ймовірність вдало- го виконання експерименту визначається неоднозначно. Наприклад, нехай p =(0.6/0.7/0.8) – унімодальне нечітке чи- сло, тобто його міра належності має вигляд 10 6, [0.6,0.7]; ( ) 8 10 , [0.7,0.8]; 0, (0.6,0.8). p x x x x x x μ − ∈⎧ ⎪= − ∈⎨ ⎪ ∉⎩ Знайдемо α -перерізи для нечіткого числа p =(0.6/0.7/0.8). Оскільки p [0] це множина значень, для яких міра належнос- ті більша за нуль, вона матиме вигляд відрізка [0.6,0.8], а множина p [1] буде складатись з однієї точки 0.7, бо міра на- лежності дорівнює одиниці лише в цій то- чці. А для всіх інших значень α [ ]p α бу- де відрізок 1 2[ ( ), ( )]p pα α , де функція 1( )p α є монотонно зростаючою, і визнача- ється, як обернена функція до монотонно зростаючою частини функції міри належ- ності ( 10 6, при [0.6, 0.7]y x x= − ∈ ), а функція 2 ( )p α – монотонно спадаючою, що визначається, як обернена до спадаю- чої частини функції міри належності ( 8 10 , при [0.7,0.8]y x x= − ∈ ). Отже число p можна описати на- ступним чином 1 2[ ] [ ( ), ( )] [0.1 0.6,0.8 0.1 ], [0,1]. p p pα α α α α α = = = + − ∈ Знайдемо тепер розподіл випадко- вої величини X з нечіткою ймовірністю вдалого експерименту p = (0.6/0.7/0.8). Ймовірність нульового стану, тобто без жодного вдалого експерименту, буде нечіткою множиною 0 0 0[ ] [ ( ), ( )]l rP P Pα α α= , для всіх [0,1]α ∈ , де функції мають вигляд 3 0 ( ) inf{(1 ) \| [ ]}lP t t pα α= − ∈ , 3 0 ( ) sup{(1 ) \| [ ]}rP t t pα α= − ∈ . Оскільки функція монотонно зростаюча при 3(1 )t− [0] [0.6,0.8]t p∈ = , то інфі- нум та супремум будуть досягатися3(1 )t− 39 Теоретичні та методологічні основи програмування відповідно на лівому та правому кінці від- різку [ ]p α . Отже ймовірність нульового стану можемо написати простіше 3 3 0 1 2 3 3 [ ] [(1 ( )) , (1 ( )) ] [(0.4 0.1 ) , (0.2 0.1 ) ], P p pα α α α α = − − = = − + для всіх [0,1]α ∈ . Аналогічним чином обчислимо ймовірність і для інших станів: 2 2 1 1 1 2 2 2 2 [ ] [3( ( ))(1 ( )) ,3( ( ))(1 ( )) ] [3(0.1 0.6)(0.4 0.1 ) ,3(0.8 0.1 )(0.2 0.1 ) ], P p p p pα α α α α α α α α = − − = = + − − + 2 2 2 1 1 2 2 2 2 [ ] [3( ( )) (1 ( )),3( ( )) (1 ( ))] [3(0.1 0.6) (0.4 0.1 ),3(0.8 0.1 ) (0.2 0.1 )], P p p p pα α α α α α α α = − − = + − − + α = 3 3 3 1 2 3 3 [ ] [( ( )) , ( ( )) ] [(0.1 0.6) , (0.8 0.1 ) ], P p pα α α α α = = + − = для всіх [0,1]α ∈ . Зобразимо в результаті отриманий розподіл нечіткої випадкової величини в табличному вигляді (табл. 3). Таблиця 3 K – кількість вдалих екс- периментів Pk [α] – ймовірність k вда- лих експериментів 0 3 3 [(0.4 0.1 ) , (0.2 0.1 ) ] α α − + 1 2 2 [3(0.1 0.6)(0.4 0.1 ) , 3(0.8 0.1 )(0.2 0.1 ) ] α α α α + − − + 2 2 2 [3(0.1 0.6) (0.4 0.1 ), 3(0.8 0.1 ) (0.2 0.1 )] α α α α + − − + 3 3 3 [(0.1 0.6) , (0.8 0.1 ) ] α α + − До цього ми розглядали лише дис- кретні нечіткі випадкові величини, але існують ще й неперервні. Побудуємо для прикладу неперервну нечітку випадкову величину. Нехай маємо випадкову величину X з рівномірним розподілом U(a,b), де a<b. Такий розподіл матиме наступну фу- нкцію щільності: 1 , для [ , ]; ( ; , ) 0, для [ , ]. x a b f x a b b a x a b ⎧ ∈⎪= −⎨ ⎪ ∉⎩ Знайдемо для такої випадкової ве- личини ймовірність того, що значення цієї випадкової величини потрапляє до інтер- валу [c,d] . З теорії ймовірності знаємо, що це дорівнює інтегралу від функції щільно- сті за межами від c до d, тобто: ([ , ]) ( ; , ) ( , ; , ) / ( ), d X c P c d f x a b dx L c d a b b a= = −∫ де – довжина інтервалу ( , ; , )L c d a b [ , ] [ , ]а b c d∩ . Отже якщо взяти випадкову вели- чину X з розподілом U ( )1,5 . То ймовір- ність того, що ця випадкова величина на- буде значення з відрізку [4, 6] буде дорів- нювати 0.25, тому, що 6 4 ([4,6]) ( ;1,5) (4,6;1,5) / (5 1) 1/ 4. XP f x L dx= = = − ∫ = Замінимо чіткі числа a та b на нечі- ткі числа, тим саме утворивши зі звичайної випадкової величини нечітку випадкову величину. Нехай a = (0/1/2) та b = (3/4/5). Знайдемо ймовірність потрапляння зна- чень нечіткої випадкової величини U( a ,b ) у відрізок [c,d] = [1,4]. Така ймові- рність теж буде нечітким числом, будемо позначати її ([ , ] та)P c d , α -перерізи ([ , ])[ ]P c d α = 1 2[ ( ), ( )]p pα α= , інтервал якого визначають функції від α . Обчислимо таку ймовірність через знаходження меж інтервалу α -перерізів. Знаходитимемо функції 1 2( ), ( )p pα α ана- логічним чином, як і для дискретних нечі- тких величин, а саме: 1( ) inf{ (1,4; , ) / ( ) \| [ ], [ ]},p L s t t s s a t bα α α= − ∈ ∈ 2 ( ) sup{ (1, 4; , ) / ( ) \| [ ], [ ]}.p L s t t s s a t bα α α= − ∈ ∈ Легко помітити, що 2 ( ) 1p α = . Щоб знайти інфімум необхідно розглянути чо- тири варіанти. Для початку запишемо не- чіткі числа a = (0/1/2) та b = (3/4/5) через 40 Теоретичні та методологічні основи програмування їх α -перерізи, а саме: [ ] [ , 2 ]a α α α= − та [ ] [3 ;5 ]b α α α= + − . Тепер розглянемо ви- падки: 1,3 4;s tα α≤ ≤ + ≤ ≤ 1,4 5 ;s tα α≤ ≤ ≤ ≤ − 1 2 ,3s t 4;α α≤ ≤ − + ≤ ≤ 1 2 ,4 5s t .α α≤ ≤ − ≤ ≤ − Проаналізувавши всі варіанти помі- чаємо, що інфімум дорівнює 3 / (5 2 )α− . Таким чином ми знайшли функції, що ви- значають ймовірність потрапляння значень нечіткої випадкової величини U( a ,b ) у відрізок [c,d] = [1,4], і саму ймовірність: 1 2([1, 4])[ ] [ ( ), ( )] [3 / (5 2 ),1],P p pα α α α= = − для всіх [0,1]α ∈ . Математичне сподівання нечіткої випадкової величини знаходиться таким же самим способом, як і звичайної, але воно як і ймовірність теж буде нечіт- ким числом. Продемонструємо це на прикладі. Знайдемо математичне сподівання нечіткої випадкової величини ( , )X U a b розгля- нутої вище. Математичне сподівання для неперервної випадкової величини дорів- нює інтегралу по всьому простору від функції щільності помноженої на значення випадкової величини, а оскільки для нечіт- кої випадкової величини математичне сподівання буде нечітким числом, шукатимемо відразу α -перерізи цього числа { }[ ] ( / ( ) \| [ ], [ ], , t X s M x t s dx s a t b s tα α= − ∈ ∈ <∫ α для всіх [0,1]α ∈ . Помітивши, що інтеграл буде завжди дорі- внювати ( ) / 2s t+ , отримуємо, що матема- тичне сподівання дорівнює середньому арифметичному двох нечітких чисел, а саме: [ ] ( ) / 2XM a bα = + , для всіх [ ] [ ]1 20 ,a s s= та [ 1 2,b t t= Приклади На АТС кожну хвилину надходить певна кількість викликів. Ці виклики обро- бляються і комутуються. Знайти ймовір- ність (можливість) того, що за секунду апаратура АТС прийме менше 5 викликів. Позначимо цю подію X. А. Припустимо, що інтенсивність надходження викликів за одну секунду становить 2. Застосуємо для цієї задачі випадкову величину розподілену за зако- ном Пуассона з параметром 2. Як відомо у розподілі Пуассона ймовірність станів ви- значається наступним чином: . ! a m m e m aP −= Тоді ймовірність надходження на АТС менше 5 викликів буде дорівнювати сумі ймовірностей обробити від 0 до 4-х викликів, тобто: 5 1 5 1 2 0 0 2 2( ) ! 4 8 16(1 2 ) 0.95. 2 6 24 k k k k P X P e k e − − − = = − = = = = + + + + = ∑ ∑ Б. Припустимо, що надходження викликів за одну секунду записується не- чіткою множиною А з такою мірою нале- жності елементів: μ A(0) = 0.3, μ A(1) = 0.4, μ A(2) = 0.5, μA(3) = 0.6, μA(4) = 0.6, μA(5) = 0.7, μA(6) = 0.6, μA(7) = 0.4, μA(8) = 0.3, μA(9) = 0.2, μA(10) = 0.1. Застосуємо для цієї задачі нечітку величину V, визначену від 0 до 10 та роз- поділом можливостей таким, як міра на- лежності множини А. Щоб знайти можли- вість надходження на АТС менше 5 викли- ків необхідно знайти максимум можливос- тей перших п’яти станів, тобто: ( )Xμ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }max 0 , 1 , 2 , 3 , 4 0.6.A A A A Am m m m m= = В. Припустимо, що інтенсивність надходження викликів за одну секунду неможливо визначити однозначно, але можна записати це значення у вигляді не- чіткого числа (1/ 2 / 3)а = . Застосуємо для цієї задачі нечітку випадкову величину ] та- ких, що . 2 1s t< 41 Теоретичні та методологічні основи програмування розподілену за законом Пуассона з пара- метром (1/ 2 / 3)а = . Як відомо у розподілі Пуассона ймовірність станів визначається наступним чином: . ! m a m aP e m −= Тоді ймовірність надходження на АТС менше 5 викликів буде дорівнювати сумі ймовірностей обробити від 0 до 4-х викликів, тобто: 5 1 5 1 0 0 ( ) . ! k а k k k аP X P e k − − − = = = =∑ ∑ Але оскільки це нечітка випадкова величина, то ймовірність станів буде нечі- тким числом, будемо знаходити його через α -перерізи, тобто: 5 1 0 ( )[ ] \| [ ] , ! k t k tP X e t a k α α − − = ⎧ ⎫ = ∈⎨ ⎬ ⎩ ∑ ⎭ для всіх [0,1]α ∈ . Запишемо нечітке число а = через (1/ 2 / 3= ) α -перерізи [ ]а α = [ ]1 ;3α α= + − . Отже шукана ймовірність буде до- рівнювати 5 1 0 ( )[ ] \| [1 ;3 ] ! k t k tP X e t k α α − − = ⎧⎪= ∈ + −⎨ ⎪⎩ ∑ α ⎫⎪ =⎬ ⎪⎭ 5 1 5 1 (3 ) (1 ) 0 0 (3 ) (1 ); , ! ! k k k k e e k k α αα α− − − − − + = = ⎡ − + = ⎢ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ⎤ ⎥ для всіх [0,1]α ∈ . Висновок Розглядаються різні способи опи- сання невизначеної величини, а саме: ймо- вірнісний, через випадкову величину; мо- жливістний, через нечітку величину та змішаний нечітка випадкова величина. Зручність способів описання невизначених величин досягається, в першу чергу, за допомогою використання апарата нечітких множин, який дозволяє виконувати обчис- лення ймовірності та можливості одних і тих же подій. Крім того, наводяться нові постановки задач і пропонуються відпові- дні моделі обчислення невизначеностей за допомогою невизначених величин. Розв’я- зок наведених у статті прикладів викорис- товує як дискретний, так і неперервний підходи в теорії нечіткості. Передбачається, що запропоновані підходи в майбутньому можуть бути уза- гальнені і досліджені на предмет оптима- льності для певного класу задач. Плану- ється також, розробити програмну систе- му, для обчислення різних типів невизна- ченостей. 1. Провотар А.И., Лапко А.В. О некоторых подходах к вычислению неопре- делённостей. // Проблеми програмування. – 2010. – № 2 – 3. – С. 22–28. 2. Мациевский C. Нечеткие множества. – Калининград: Издательство калинин- градского государственного университета, 2004. – 176 с. 3. Leski J. Systemy neuronowo-rozmyte. Warszawa: Naukowo-Techniczne, 2008. – 690 c. 4. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets ana Systems. – 1978. – N 1. – p. 3–28. 5. James J. Buckley Fuzzy Probabilities. New approach and aplplications, Birmingham: Springer, 2005. – 166 p. 6. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутков- ский Л.. Нейронные сети, генетические ал- горитмы и нечеткие системы. – М.: Теле- ком, 2006. – 382 с. Одержано 19.07.2011 Про авторів: Провотар Олександр Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, Лапко Олександр Вікторович, аспірант. Місце роботи авторів: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Університет міста Жешув (Польща), тел. 259 0511, e-mail: aprowata@unicyb.kiev.ua, mrolapko@gmail.com 42 mailto:aprowata@unicyb.kiev.ua

New methods of descriptions for uncertain variables

Репозитарії

Схожі ресурси