Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system
The work is devoted to the development of the structure of the algorithm for modeling the optimal movement of complex dynamic systems (SDS) along a branched trajectory. Complex systems are called systems consisting of separate subsystems, the flight trajectories of which differ and are called branch...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут програмних систем НАН України
2024
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/621 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Problems in programming |
Institution
Problems in programming| id |
pp_isofts_kiev_ua-article-621 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| resource_txt_mv |
ppisoftskievua/ae/2c670aa36afb29a2ff4045ac06a372ae.pdf |
| spelling |
pp_isofts_kiev_ua-article-6212025-02-14T11:13:30Z Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system Структура алгоритму моделювання оптимального руху складеної динамічної системи Lysenko, O.I. Shevchenko, V.L. Tachynina, O.M. Ponomarenko, S.O. Guida, O.H. optimal control; complex dynamic systems; branched trajectories; mathematical modeling; algorithmic support UDC 681.3 оптимальне керування; складена динамічна системи; розгалужені траєкторії; математичне моделювання; алгоритмічне забезпечення УДК 681.3 The work is devoted to the development of the structure of the algorithm for modeling the optimal movement of complex dynamic systems (SDS) along a branched trajectory. Complex systems are called systems consisting of separate subsystems, the flight trajectories of which differ and are called branched. Branched trajectories should consist of trajectory segments, the first of which will be common to the entire SDS, and the other trajectory branches will be different, as each subsystem moves to its goal along its own trajectory segment. The proposed algorithm makes it possible to optimize such trajectories in real time and to carry out operational correction of SDS trajectories in the event of the occurrence of unpredictable influencing factors. It is known that the effectiveness of the SDS functioning between structural transformations depends on the coordinates of the mutual location and speed of each subsystem and the choice of optimal moments of time for structural transformations. The efficiency of determining these parameters during the flight is fundamentally important. The necessary conditions for the optimality of the trajectory of the SDS movement are found, which are universal for problems with any finite number of trajectory branches. The implementation of the proposed conditions will allow to reduce the number of computational procedures in the control calculations in conditions of uncertainty of the initial conditions. These conditions are the methodological basis for the development of computational algorithms for modeling the optimal trajectories of the SDS movement. The necessary optimality conditions have a clear physical meaning and are technological and user-friendly. The results of the research presented in the article are important and relevant for the construction of the laws of trajectory control of existing and prospective SDS.Prombles in programming 2024; 2-3: 69-77 Робота присвячена розробці структури алгоритму моделювання оптимального руху складеної динамічної систем (СДС) по розгалуженій траєкторії. Складеними називають системи, що складаються з окремих підсистем, траєкторії польоту яких відрізняються та отримали назву розгалужених. Розгалужені траєкторії мають складаються із ділянок траєкторії, перші з яких будуть спільними для всієї СДС, а інші гілки траєкторії будуть відрізнятись, оскільки кожна підсистема рухається до своєї цілі по своїй ділянці траєкторії. Запропонований алгоритм дозволяє в реальному часі оптимізувати такі траєкторії та здійснювати оперативну корекцію траєкторій СДС при виникненні непередбачуваних факторів впливу. Відомо, що ефективність функціонування СДС між структурними перетвореннями залежить від координат взаємного розташування і швидкості кожної підсистеми та вибору оптимальних моментів часу для структурних перетворень. Принципово важливим є оперативність визначення цих параметрів в процесі польоту. Знайдено необхідні умови оптимальності траєкторії руху СДС, які є універсальними для задач з будь-яким кінцевим числом гілок траєкторії. Реалізація запропонованих умов дозволить зменшити кількість обчислювальних процедур при розрахунках керування в умовах невизначеності початкових умов. Ці умови є методологічною основою для розроблення обчислювальних алгоритмів моделювання оптимальних траєкторій руху СДС. Необхідні умови оптимальності мають чіткий фізичний зміст і є технологічними та зручними для використання. Результати досліджень, що представлені в статті, є важливими і актуальними для побудови законів траєкторного керування існуючими і перспективними СДС.Prombles in programming 2024; 2-3: 69-77 Інститут програмних систем НАН України 2024-12-17 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/621 10.15407/pp2024.02-03.069 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 2-3 (2024); 69-77 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 2-3 (2024); 69-77 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 2-3 (2024); 69-77 1727-4907 10.15407/pp2024.02-03 uk https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/621/673 Copyright (c) 2024 PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| institution |
Problems in programming |
| baseUrl_str |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| datestamp_date |
2025-02-14T11:13:30Z |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| topic |
optimal control complex dynamic systems branched trajectories mathematical modeling algorithmic support UDC 681.3 |
| spellingShingle |
optimal control complex dynamic systems branched trajectories mathematical modeling algorithmic support UDC 681.3 Lysenko, O.I. Shevchenko, V.L. Tachynina, O.M. Ponomarenko, S.O. Guida, O.H. Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system |
| topic_facet |
optimal control complex dynamic systems branched trajectories mathematical modeling algorithmic support UDC 681.3 оптимальне керування складена динамічна системи розгалужені траєкторії математичне моделювання алгоритмічне забезпечення УДК 681.3 |
| format |
Article |
| author |
Lysenko, O.I. Shevchenko, V.L. Tachynina, O.M. Ponomarenko, S.O. Guida, O.H. |
| author_facet |
Lysenko, O.I. Shevchenko, V.L. Tachynina, O.M. Ponomarenko, S.O. Guida, O.H. |
| author_sort |
Lysenko, O.I. |
| title |
Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system |
| title_short |
Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system |
| title_full |
Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system |
| title_fullStr |
Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system |
| title_full_unstemmed |
Structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system |
| title_sort |
structure of the algorithm for modeling optimal movement of a compound dynamic system |
| title_alt |
Структура алгоритму моделювання оптимального руху складеної динамічної системи |
| description |
The work is devoted to the development of the structure of the algorithm for modeling the optimal movement of complex dynamic systems (SDS) along a branched trajectory. Complex systems are called systems consisting of separate subsystems, the flight trajectories of which differ and are called branched. Branched trajectories should consist of trajectory segments, the first of which will be common to the entire SDS, and the other trajectory branches will be different, as each subsystem moves to its goal along its own trajectory segment. The proposed algorithm makes it possible to optimize such trajectories in real time and to carry out operational correction of SDS trajectories in the event of the occurrence of unpredictable influencing factors. It is known that the effectiveness of the SDS functioning between structural transformations depends on the coordinates of the mutual location and speed of each subsystem and the choice of optimal moments of time for structural transformations. The efficiency of determining these parameters during the flight is fundamentally important. The necessary conditions for the optimality of the trajectory of the SDS movement are found, which are universal for problems with any finite number of trajectory branches. The implementation of the proposed conditions will allow to reduce the number of computational procedures in the control calculations in conditions of uncertainty of the initial conditions. These conditions are the methodological basis for the development of computational algorithms for modeling the optimal trajectories of the SDS movement. The necessary optimality conditions have a clear physical meaning and are technological and user-friendly. The results of the research presented in the article are important and relevant for the construction of the laws of trajectory control of existing and prospective SDS.Prombles in programming 2024; 2-3: 69-77 |
| publisher |
Інститут програмних систем НАН України |
| publishDate |
2024 |
| url |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/621 |
| work_keys_str_mv |
AT lysenkooi structureofthealgorithmformodelingoptimalmovementofacompounddynamicsystem AT shevchenkovl structureofthealgorithmformodelingoptimalmovementofacompounddynamicsystem AT tachyninaom structureofthealgorithmformodelingoptimalmovementofacompounddynamicsystem AT ponomarenkoso structureofthealgorithmformodelingoptimalmovementofacompounddynamicsystem AT guidaoh structureofthealgorithmformodelingoptimalmovementofacompounddynamicsystem AT lysenkooi strukturaalgoritmumodelûvannâoptimalʹnogoruhuskladenoídinamíčnoísistemi AT shevchenkovl strukturaalgoritmumodelûvannâoptimalʹnogoruhuskladenoídinamíčnoísistemi AT tachyninaom strukturaalgoritmumodelûvannâoptimalʹnogoruhuskladenoídinamíčnoísistemi AT ponomarenkoso strukturaalgoritmumodelûvannâoptimalʹnogoruhuskladenoídinamíčnoísistemi AT guidaoh strukturaalgoritmumodelûvannâoptimalʹnogoruhuskladenoídinamíčnoísistemi |
| first_indexed |
2025-07-17T09:52:28Z |
| last_indexed |
2025-07-17T09:52:28Z |
| _version_ |
1838409764110860288 |
| fulltext |
Комп’ютерне моделювання
69
УДК 681.3 http://doi.org/10.15407/pp2024.02-03.069
О.І. Лисенко, В.Л. Шевченко, О.М. Тачиніна, С.О. Пономаренко, О.Г. Гуйда
СТРУКТУРА АЛГОРИТМУ МОДЕЛЮВАННЯ
ОПТИМАЛЬНОГО РУХУ СКЛАДЕНОЇ ДИНАМІЧНОЇ
СИСТЕМИ
Робота присвячена розробці структури алгоритму моделювання оптимального руху складеної дина-
мічної систем (СДС) по розгалуженій траєкторії. Складеними називають системи, що складаються з
окремих підсистем, траєкторії польоту яких відрізняються та отримали назву розгалужених. Розга-
лужені траєкторії мають складаються із ділянок траєкторії, перші з яких будуть спільними для всієї
СДС, а інші гілки траєкторії будуть відрізнятись, оскільки кожна підсистема рухається до своєї цілі
по своїй ділянці траєкторії. Запропонований алгоритм дозволяє в реальному часі оптимізувати такі
траєкторії та здійснювати оперативну корекцію траєкторій СДС при виникненні непередбачуваних
факторів впливу. Відомо, що ефективність функціонування СДС між структурними перетвореннями
залежить від координат взаємного розташування і швидкості кожної підсистеми та вибору оптималь-
них моментів часу для структурних перетворень. Принципово важливим є оперативність визначення
цих параметрів в процесі польоту. Знайдено необхідні умови оптимальності траєкторії руху СДС, які
є універсальними для задач з будь-яким кінцевим числом гілок траєкторії. Реалізація запропонованих
умов дозволить зменшити кількість обчислювальних процедур при розрахунках керування в умовах
невизначеності початкових умов. Ці умови є методологічною основою для розроблення обчислюва-
льних алгоритмів моделювання оптимальних траєкторій руху СДС. Необхідні умови оптимальності
мають чіткий фізичний зміст і є технологічними та зручними для використання. Результати дослі-
джень, що представлені в статті, є важливими і актуальними для побудови законів траєкторного ке-
рування існуючими і перспективними СДС.
Ключові слова: оптимальне керування, складена динамічна системи, розгалужені траєкторії, матема-
тичне моделювання, алгоритмічне забезпечення.
O. I. Lysenko, V. L. Shevchenko, O. M. Tachynina, S. O. Ponomarenko, O. H. Guida
STRUCTURE OF THE ALGORITHM FOR MODELING
OPTIMAL MOVEMENT OF A COMPOUND DYNAMIC SYSTEM
The work is devoted to the development of the structure of the algorithm for modeling the optimal move-
ment of complex dynamic systems (SDS) along a branched trajectory. Complex systems are called systems
consisting of separate subsystems, the flight trajectories of which differ and are called branched. Branched
trajectories should consist of trajectory segments, the first of which will be common to the entire SDS, and
the other trajectory branches will be different, as each subsystem moves to its goal along its own trajectory
segment. The proposed algorithm makes it possible to optimize such trajectories in real time and to carry out
operational correction of SDS trajectories in the event of the occurrence of unpredictable influencing fac-
tors. It is known that the effectiveness of the SDS functioning between structural transformations depends
on the coordinates of the mutual location and speed of each subsystem and the choice of optimal moments
of time for structural transformations. The efficiency of determining these parameters during the flight is
fundamentally important. The necessary conditions for the optimality of the trajectory of the SDS movement
are found, which are universal for problems with any finite number of trajectory branches. The implementa-
tion of the proposed conditions will allow to reduce the number of computational procedures in the control
calculations in conditions of uncertainty of the initial conditions. These conditions are the methodological
basis for the development of computational algorithms for modeling the optimal trajectories of the SDS
movement. The necessary optimality conditions have a clear physical meaning and are technological and us-
er-friendly. The results of the research presented in the article are important and relevant for the construction
of the laws of trajectory control of existing and prospective SDS.
Keywords: optimal control, complex dynamic systems, branched trajectories, mathematical modeling,
algorithmic support.
© О.І. Лисенко, В.Л. Шевченко, О.М. Тачиніна, С.О. Пономаренко, О.Г. Гуйда, 2024
ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2024. №2-3
Комп’ютерне моделювання
70
Вступ
Актуальність теми. Сучасні досяг-
нення у створенні складних механічних
об’єктів, систем зв’язку і передачі даних та
високопродуктивних бортових обчислю-
вачів відкривають шлях до проєктування
складних технічних систем нового поко-
ління, здатних вирішувати єдину технічну
задачу без механічного зв'язку та лише на
основі інформаційного обміну між окре-
мими підсистемами таких об'єктів.
Прикладами таких систем є складені
динамічні системи (СДС). До них відно-
сяться динамічні системи, що складаються
із окремих підсистем (сукупності об’єктів),
які взаємодіють між собою у польоті, а син-
тез керування рухом кожної підсистеми ві-
дбувається скоординовано. При цьому під-
системи можуть функціонувати спільно або
окремо. Їхнє розділення відбувається за ок-
ремими командами, що подаються у строго
визначеному просторовому положенні ко-
жної підсистеми і в задані мементи часу.
Прикладами сучасних СДС є багатора-
зові авіаційно-космічні системи (АКС) ти-
пу «повітряний старт» та групи безпілот-
них літальних апаратів (БПЛА), які утво-
рюють «літаючі сенсорні мережі», або рої
(роботизовані сенсорні мережі) на основі
бездротових телекомунікаційних систем.
У науковій літературі прийнято нази-
вати траєкторії складених динамічних сис-
тем розгалуженими, оскільки вони скла-
даються із початкової ділянки спільного
руху всієї системи та ділянок індивідуаль-
ного руху окремих підсистем СДС окре-
мими гілками траєкторії.
Встановлено [1, 2], що ефективність
функціонування СДС між структурними
перетвореннями залежить від координат
взаємного розташування і швидкості кож-
ної підсистеми та вибору оптимальних
моментів часу для структурних перетво-
рень. Принципово важливим є оператив-
ність визначення цих параметрів у польоті.
Тому задача оперативної побудови оп-
тимальної розгалуженої траєкторії руху
СДС у польоті є ключовою та визнається у
світі актуальною як з наукової, так і прак-
тичної точок зору [1, 2, 5].
Аналіз стану питання.
Для розв’язку задачі оптимального ке-
рування СДС на розгалужених траєкторіях
використовується математична теорія імпу-
льсних диференціальних рівнянь із розрив-
ною правою частиною [4]. Поняття «розри-
вної системи» є узагальнюючим і охоплює
значний клас динамічних об’єктів: із імпу-
льсним впливом, із розривами, багатоступе-
невих, із релейним керуванням, із проміж-
ними умовами, складених та ін. Математич-
ні моделі розривних систем в основному
описують диференціальними рівняннями з
розривними (кусково-неперервними) пра-
вими частинами. Теорія розривних динаміч-
них систем та методи пошуку оптимальних
рішень для таких систем розроблені такими
дослідниками, як Л. С. Понтрягін, В. Г. Бол-
тянский, Р. В. Гамкрелідзе, М. М. Красов-
ський. В. А. Троїцький, В. І. Уткін. Для кон-
кретних різновидів розривних систем теоре-
тичні і прикладні результати отримані в ро-
ботах В. А. Боднера, Л. Т. Ащепкова,
Б. Ф. Кротова, Брайсона Хою Ши, А. М. Са-
мойленка, Н. А. Перестюка, А. А. Асланяна,
О. І. Лисенка та інших авторів.
Особливістю теоретичних результатів
цих авторів є те, що вони в термінах роз-
ривних систем сформулювали постановки
задач оптимального керування і запропо-
нували оптимальні рішення для конкрет-
них динамічних системам із наявністю го-
ловного елемента (головної підсистеми)
СДС. У цих роботах для створення мате-
матичних моделей розривних систем ви-
користовувався метод довизначення, або
метод лінійних часових перетворень. У та-
кій постановці задача керування СДС фо-
рмулювалася як задача керування розрив-
ною системою із виділеним пріоритетним
елементом, відносно якого відбувалось за-
стосування теорії розривних систем для
окремих складових. Наслідком такої пос-
тановки задачі було збільшення розмірів
вектора стану і вектора керування розрив-
ної системи. Їхня кількість збільшувалась
пропорційно кількості гілок траєкторії
СДС. А постановка задачі пошуку оптима-
льної розгалуженої траєкторії для всієї
Комп’ютерне моделювання
71
СДС (цілісна, узагальнена постановка за-
дачі) не розглядалася.
На сьогоднішній день теоретичні рі-
шення, отримані попередніми дослідни-
ками, не доведені до прикладного засто-
сування, а проєктні рішення для синтезу
траєкторій руху СДС у реальному масш-
табі часу відсутні. Це пояснюється склад-
ністю самих математичних моделей і ме-
тодів їхнього численного розв’язку, оскі-
льки використання абстрактно-
формального опису задач оптимізації роз-
галужених траєкторій СДС призводить до
збільшення розмірності вектора стану та
розмірності вектора керування розривною
системою. І ця розмірність збільшується
пропорційно кількості гілок траєкторії,
що призводить до неможливості практич-
ної реалізації алгоритму оперативної оп-
тимізації розгалужених траєкторій у бор-
товому комп’ютері.
Також не були проведені прикладні
дослідження, які б ґрунтувались на адеква-
тному фізичному уявленні про характер –
«схему» руху СДС гілками траєкторії і по-
яснили б механізм побудови оптимальних
розгалужених траєкторій за довільною
схемою з можливістю організації обчис-
лювальних процедур.
Як результат, на практиці вже реально
існують СДС типу «повітряний старт» та
«літаючі сенсорні мережі», але для керу-
вання ними застосовуються методи, що не
дозволяють повністю реалізувати увесь
потенціал і технічні можливості діючих
СДС. Вирішення цієї проблеми вимагає
побудови достатніх умов оптимальності
розгалужених траєкторій руху СДС. При-
чому ці вимоги мають бути сформульовані
у зручній для реалізації в реальному масш-
табі часу формі (для оперативного синтезу
траєкторій).
У зв’язку з цим вирішення проблеми
оперативного синтезу оптимальних розга-
лужених траєкторій руху та оперативної
оптимізації процесу керування рухом СДС
на існуючих бортових обчислювальних за-
собах є нагальною науково-технічною по-
требою. А дослідження, що виконані в да-
ній статті, є актуальними для систем трає-
кторного керування сучасними та перспек-
тивними СДС [3, 5, 6].
Викладення основного матеріалу.
СДС являє собою сукупність динаміч-
них підсистем, які в процесі руху можуть
об'єднуватися в групи для спільного руху,
розділятися з метою самостійного манев-
рування, здійснювати взаємний вплив на
динаміку руху [1, 3].
Розглянемо приклад руху гіпотетичної
СДС за схемою, зображеною на рис. 1.
Рис. 1. Схема розгалуженої траєкторії
В момент часу t1 чотири підсистеми
в єдиному блоці починають рух, в процесі
якого в момент часу t3 відбуваються відді-
лення від вихідного блоку двох допоміж-
них підсистем, які закінчують свій рух у
моменти часу t4 і t5. У момент часу t6 відо-
кремлюється третя допоміжна підсистема,
закінчується рух у момент часу t8. У мо-
мент часу t7 відбувається з'єднання четвер-
тої підсистеми з підсистемою, що почала
рух в момент часу t2. Після закінчення спі-
льного руху на момент часу t9 підсистеми
розстиковуються і здійснюють самостійне
маневрування, що закінчується в моменти
часу t10 і t11. Траєкторія аналізованої СДС
належить до класу розгалужених. Задамо
критерій ефективності з урахуванням ха-
рактеру руху підсистем вздовж усіх гілок
траєкторії. Необхідно змоделювати опти-
мальну траєкторію руху СДС відповідно
до заданого критерію. У вирішенні таких
завдань можливі розгалужені траєкторії рі-
зної складності. Наразі сформульовані
умови оптимальності тільки часткових
схем розгалужених траєкторій.
Сформулюємо в термінах теорії опти-
мального керування достатні умови існу-
вання оптимального керування СДС дові-
льної схеми. Розглянемо найпростіші роз-
Комп’ютерне моделювання
72
галужені траєкторії, часові діаграми яких
представлені на рис.2.
Рівняння, що описують рух СДС за
траєкторією з розділенням (рис. 2, а), ма-
ють вигляд [3, 5]:
Рис. 2. Часова діаграма найпростішої роз-
галуженої траєкторії (а – з розділенням; 2 –
з групуванням)
( )1 1 1 1, ,x f x u= 0 1, ;t t t
( )
( )
12
11 11 11 12 12 1 12
11
1 11 11 12 11
, ; , , , ;
, , , ;
f x u x u t t t
x
f x u t t t
=
(1)
( )11 12 12 12 11 11, ; , ,x f x u x u= 0 12, ;t t t
(2)
де ( )1 ,nx t R ( )1 ,lmu t R
( ) ( 1, 1 1, 1 2 ).l l lu t = векторний
критерій якості функціонування СДС за-
пишемо в адаптивній формі:
1 0 0 1 1 1 11 12 12 12 12
11 11 11 1 11 12
( ( ), ; ( ), ; ( ), ( ), ;
( ), ) ;
I S x t t x t t x t x t t
x t t I I I
=
+ + +
( )
1
1 1 1 10
, ,I x u dt=
( )
12
12 12 12 12 11 111
, ; , ;I x u x u dt=
( )
( )
12 12
11 11 12 12 11 111
11
11 11 1112
, ; ,
, .
I x u x u dt
x u dt
= +
+
Критерії оптимальності відповідає фо-
рмі Більця, згідно з якою функція S() за
фізичним змістом відображає вимоги до
параметрів руху окремих підсистем. Таки-
ми параметрами є значення координат на
початку і в кінці кожної гілки траєкторії, а
також значення самих моментів часу стру-
ктурних перетворень СДС. Інтегральні
члени критерію ставлять вимоги до харак-
теру руху підсистеми вздовж відповідних
гілок траєкторії. Взаємний вплив підсис-
теми в інтервалі часу 1 12,t t · відображено
у рівнянні (1) і (2) та в часткових інтегра-
льних умовах 11I , 12I . Рівняння, що опи-
сують критерій і динаміку руху підсистем,
які групуються (рис. 2, б), мають той же
вигляд, як і для системи з поділом, і відрі-
зняються лише тим, що 11 12 1 0t t t t .
Опускаючи доказ [1], сформуємо тео-
рему з урахуванням двох систем, зображе-
них на рис. 2. Рівняння ( ) 1 0 1, ,u t t t t
( ) 11 1 11, ,u t t t t ( ) 12 1 12, ,u t t t t вектори
фазових координат 1 0( ),x t 1 1( ),x t 11 12( ),x t
12 12( ),x t 11 11( )x t і момент часу 0t , 1t , 11t , 12t
слід вибирати такими, щоб функціонал I
приймав найменше можливе значення.
Теорема. Нехай 1 ( ),x t ( )1u t
0 1, ;t t t ( )11 ,u t 12 ( ),x t ( )12u t 1 12, ;t t t
11 11( )x t , ( )11u t 12 11,t t t - допустимі про-
цеси.
Для оптимальності процесів потрібне
існування рішень ( )1 t 0 1, ,t t t ( )12
11 ,t
( )12 t 1 12, ,t t t ( ) 11 12 11,t t t t , зв'яза-
них векторних рівнянь.
1 1 1/ 0,H x + =
11 11 11
12 12
12 11/ / 0,H x H x + + =
11 12
12
12 12 12/ / 0,H x H x + + =
11 11 11/ 0H x + =
таких, що справедливі умови:
трансверсальності для пов'язаних фун-
кцій і гамільтоніанів
1 0 1 0̂/ ( ) ( 1) ( ) 0,S x t t
− − =
0 1/ ( 1) 0,S t H
+ − =
1 1 1̂/ ( ) ( 1 ( 1) ( , 2),) 0i i i iS x t it
= = − −
11 11/ ( 1) 0;S t H
− − =
стрибка для сполучених функцій та
гамільтоніанів
Комп’ютерне моделювання
73
12
1 1 1 1 11 1 12 1
ˆ ˆ ˆ/ ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 0,S x t t t t
+ − − − =
( )11
12
1 1 12/ ( 1) 0,S t H H H
− − − − =
12
11 12 11 12 11 12
ˆ ˆ/ ( ) ( 1) ( ) ( ) 0,S x t t t
+ − − =
( )12
12 11 12 11/ ( 1) 0;S t H H H
− − − − =
Мінімум гамільтоніанів у момент часу
1,ht t t для рівняння ( ) l lu t
( )1 .
min ( 1, 0; 11, 12);u tllH H l h l h
= = = = =
Мінімум лінійної комбінації гамільто-
ніанів у моменти часу 1 12,t t t для уп-
равління ( ) l lu t (l=11,12)
( )( ), ( ) ( ), ( )11 12 11 12
12 12
11 12 11 12. .
min u t u t u t u tH H H H
+ = +
Тут знак означає оптимальність
змінних та параметрів; символ
.
озна-
чає, що вираз визначається за умови опти-
мальних величинах змінних та параметрів,
крім ; параметр β приймає значення 1
або 2 відповідно: 1 - для схеми з поділом; 2
– для схеми з групуванням ( рис. 2);
Рис. 3. Часова діаграма розгалуженої трає-
кторії
( ) ( ) ( )T
l l l lH f = + ( 1, 11, 2) 1l = ,
12 12 12 12
11 11 11 11( ) ( ).TH f = +
Зазначимо, що для механічних систем
умова стрибка по n-й фазовій координаті,
що позначає масу, має вигляд [4-6]
11 0, 12 0, 11 12 1. + =
Доказ теореми можна провести за ме-
тодом, викладеним у роботі [1] якщо розг-
лядати СДС як систему зі змінною струк-
турою та розміром вектора стану.
Відповідно до викладеної теореми, ро-
зглядаючи складну розгалужену траєкто-
рію як сукупність простих, сформулюємо
структуру алгоритму моделювання опти-
мального руху СДС.
Для оптимальності розгалуженої трає-
кторії довільної схеми необхідне існування
в інтервалах часу між моментами tN (поча-
ток руху), tR (розділення), tG (групування),
tK (кінця руху підсистеми) розв'язання
пов’язаних векторних рівнянь
/ / 0,
M
L l L q L
q
H x H x + + = (3)
де L – індекс ділянки розгалуженої
траєкторії;
M, q— відповідно число підсистем,
динамічні властивості яких залежать від
фазових координат L-ї ділянки, і індекси
ділянок розгалуженої траєкторії, якими
переміщуються ці підсистеми. Для таких
рівнянь справедливі умови:
1) трансверсальності в моменти
1
ˆ ˆNt = і 2
ˆ ˆKt =
ˆ/ ( ) ( 1) ( ) 0i
L i L iS x
− − = ( 1,2),i =
(4)
( )ˆ ˆ, 0 , 0
/ ( 1)
0,
i i
i
i L
P
S H
H H
− +
+ − +
+ − =
(5)
де Р - кількість підсистем, динамічні
властивості яких змінюються в момент по-
чатку або закінчення руху підсистеми, що
переміщається по L-тій ділянці траєкторії;
v - індекси ділянок розгалуженої трає-
кторії, якими переміщуються ці підсисте-
ми;
2) стрибка в моменти 1
ˆ ˆRt = і 2
ˆ ˆGt =
пов'язані з поділом підсистеми, що пере-
міщається по L-тій ділянці, на r підсистем,
або групуванням r-підсистем в підсистему,
яка переміщується по L-тій ділянці розга-
луженої траєкторії,
ˆ/ ( ) ( 1) ( )
ˆ( 1) ( ) 0
i
L i i L j i
R
i
q j i
q
S x
− − −
− − =
( 1, 1; 1,2),j n i= − =
ˆ/ ( ) ( 1) ( )
ˆ( 1) ( ) 0,
i
L n i L n i
R
i
q q n i
q
S x
+ − −
− − =
(6)
Комп’ютерне моделювання
74
0,q 1
R
q
q
= ( 1,2);i =
( )ˆ ˆ, 0 , 0
/ ( 1) ( 1)
0,
i i
r
i i
i L q
q
P
S H H
H H
− +
− − + − +
+ − =
де q індекси ділянок розгалуженої тра-
єкторії, по яких переміщаються підсистеми
після поділу або перед групуванням;
Р— кількість підсистем, що не бе-
руть участь у поділі або угрупованні, але
змінюють динамічні властивості в момен-
ти часу tR і tG;
- індекси ділянок розгалуженої тра-
єкторії, якими переміщуються зазначені
підсистеми. Фазова координата ( )L nx t , яка
описує зміну маси.
Умова стрибка на μ-ій ділянці розга-
луженої траєкторії в момент часу ˆ ,St який
співпадає з моментом часу структурних
перетворень у СДС, що не належать до
μ-тої ділянки, але впливають на нього, має
вигляд
ˆ ˆ/ ( ) ( 0) ( 0) 0;S S SS x t t t
− − + + = (8)
3) мінімуму лінійної комбінації гаміль-
тоніанів у моменти часу між N̂t , R̂t , Ĝt , K̂t
qq q
L L
q qL L, uuÎWq q
H = min H ,
(9)
де — кількість підсистем, які мають
взаємовпливове керування у вказаних ін-
тервалах часу;
q — індекси ділянок розгалуженої
траєкторії, за якими ці підсистеми перемі-
щуються.
Сформульоване правило є методологі-
чною основою для синтезу обчислюваль-
них алгоритмів, які дозволяють моделюва-
ти оптимальні траєкторії руху різноманіт-
них СДС. Програма моделювання оптима-
льних розгалужених траєкторій може ста-
ти частиною математичного забезпечення
системи автоматизованого проєктування
перспективних СДС.
Приклад складання структури ал-
горитму моделювання оптимального
руху складової динамічної системи за
гілкою траєкторії.
За заданою схемою розгалуженої трає-
кторії (рис. 1) складемо її часову діаграму
(рис. 3), на якій в послідовному порядку
розташовані моменти часу структурних
перетворень на схемі руху СДС із зазна-
ченням їхньої належності до відповідного
моментам часу: Nt , Rt , Gt , Kt . Перекрес-
леною стрілкою відмічені ділянки траєк-
торії, пересуваючись уздовж яких підсис-
теми взаємодіють.
Адитивний критерій оптимальності
визначається термінальною частиною ( )S ,
яка залежить від координат підсистем в
моменти часу it ( 1,11)i = та цих моментів
часу, а також сумою часткових інтеграль-
них критеріїв ( )
b
a
t
i i
t
I dt= ( 1,15)i = ; ,a b
1,11a = ; 1,11)b = , записаних для кожної
ділянки гілки траєкторії (див. рис. 3). який
закладений між розташованими на ній су-
сідніми точками. Рух підсистем гілками
траєкторії описується рівняннями ( )x f= ,
де ( )f — функція, що залежить від керу-
вань і координат підсистеми, а також від
керувань і координат взаємодіючої підсис-
теми. (На ділянках з перекресленими стрі-
лками). Згідно з правилом для оптималь-
ності траєкторії (див. рис. 3) необхідно ви-
рішити 15 сполучених векторних рівнянь
типу (3), складених за даними табл. 1, що
задовольняють 39 умов типу (4)-(9), які за-
даються табл. 2 і 3. Як індекс гілки або її
ділянки використовується послідовність
цифр, відповідних початку і кінцю гілки
або її ділянки (див. рис. 3).
Таблиця 1
Умова мінімізації (3)
L M q
1, 2′ 0 —
2′, 3 1 2, 3′
2′, 3’ 1 2′, 3
3, 4 0 —
3, 6 0 —
3′, 5′ 1 3, 5
3, 5 1 3′, 5′
5′, 7 0 —
6, 7 0 —
6, 7′ 0 —
Комп’ютерне моделювання
75
7′, 8 1 7, 8′
7, 8’ 1 7′, 8
8′, 9 0 —
9, 10 0 —
9, 11 0 —
Таблиця 2
Умова мінімізації (9)
Інтервал q
[t1, t2] 1 1, 2′
[t2, t3] 2 2′, 3; 2, 3′
[t3, t4] 1 3, 4
[t3, t5] 2 3, 5; 3′, 5′
[t3, t6] 1 3, 6
[t5, t7] 1 5′, 7
[t6, t7] 1 6, 7
[t6, t7] 1 6, 7′
[t7, t8] 2 7′, 8; 7, 8′
[t8, t9] 1 8′, 9
[t9, t10] 1 9, 10
[t9, t11] 1 9, 11
Для завершення розв'язання задачі
моделювання оптимальної розгалуженої
траєкторії необхідно доповнити перера-
ховані диференціальні рівняння і алгебра-
їчні диференціальні рівняння руху підсис-
тем гілками траєкторії. Дані таблиці 1-3 є
вихідною інформацією, яка дозволяє пе-
рейти до застосування стандартних підп-
рограм вирішення звичайних диференціа-
льних рівнянь і алгебраїчних рівнянь і
тим самим практично завершити рішення
задачі моделювання оптимальної траєкто-
рії СДС.
Зазначимо, що послідовність моме-
нтів часу 1 2 11...t t t у задачі з вільним
часом задається, виходячи з фізичних мір-
кувань, і є наближеною. Якщо в результаті
розв'язання задачі вона порушується (зміна
послідовності розгалужень траєкторії до-
пустимо фізичним змістом завдання), не-
обхідно повторити розрахунки для нової
уточненої послідовності моментів часу.
Таблиця 3
Умова трансверсальності стрибка в момент часу ti
Рівняння t1 t2 t3 t4 t5
(4) L=1, 2′; i=1 L=2, 3′; i=1 — L=3, 4; i=2 L=3, 5; i=2
(5) L=1, 2′; i=1;
P=0
L=2, 3′; i=1;
P=1; v=1, 3
— L=3, 4; i=2;
P=0
L=3, 5; i=2;
P=1; v=3′, 7
(6) — — L=2, 3′; i=1;
r=3; q′=3,6;
3,4; 3, 5
— —
(7) — — L=2′, 3; i=1;
r=3; q′=3, 6;
3, 5; 3, 4;
P′=1; v′=2, 5′
— —
(8) — =1, 3 =2, 5′ — =3′, 7
t6 t7 t8 t9 t10 t11
— — L=7′, 8; i=2 — L=9, 10; i=2 L=9, 11; i=2
— — L=7′, 8; P=1
v=7, 9
— L=9, 10; i=2 L=9, 11; i=2
L=3, 6; i=1;
r=2; q′=6, 7′;
6, 7
L=7, 8′; i=2;
r=2; q′=6, 7;
5′, 7
— L=8′, 9; i=1;
r=2;
q`=9, 10;
9, 11
— —
L=3, 6; i=1;
r=2; q′=6, 7′;
6, 7
L=7, 8′; i=2;
r=2; q′=6, 7;
5′, 7; P′=1;
v=6, 8
— L=8′, 9; i=1;
r=2; q′=9, 10;
9, 11; P′=0
— —
— =6, 8 =7, 9 — — —
Комп’ютерне моделювання
76
На закінчення зазначимо, що завдання
оптимізації розгалуженої траєкторії з різ-
ними формами обмежень за допомогою ві-
домих методів [3] може бути приведене до
виду, розглянутого в даній статті.
Висновки
1. Розроблена структура алгоритму
моделювання оптимального руху складе-
ної динамічної систем розгалуженою трає-
кторією. Алгоритм дозволяє в реальному
часі оптимізувати розгалужені траєкторії
руху для реалізації цільового призначення
СДС та виконувати оперативну корекцію
траєкторій руху підсистем при виникненні
непередбачуваних на попередньому етапі
критичних факторів впливу.
2. Розроблені достатні умови оптима-
льності є універсальними для планування
траєкторій із будь-яким обмеженим чис-
лом гілок траєкторії та різноманітними ма-
тематичними моделями складених систем.
Це дозволяє суттєво знизити обчислюва-
льні затрати під час розрахунків оптима-
льного керування в умовах невизначеності
початкових умов для структурних пере-
творень СДС і зшивання траєкторій.
3. Необхідні умови оптимальності ма-
ють чіткий фізичний зміст і є технологіч-
ними та зручними для використання.
4. Результати досліджень є важливими
і актуальними для побудови законів траєк-
торного керування існуючими і перспекти-
вними СДС.
Література
1. Теорія оптимальних розгалужених
траєкторій: монографія / О. І. Лисенко, О.
М. Тачиніна, С. О. Пономаренко, О. Г.
Гуйда. Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського,
2023. 260 с. URI:
https://ela.kpi.ua/handle/123456789/52094.
2. Tachinina O., Lysenko O. Methods for the
Synthesis of Optimal Control of Deterministic
Compound Dynamical Systems With Branch.
Handbook of Research on Artificial Intelli-
gence Applications in the Aviation and Aero-
space Industries. 2020. P. 323–351. URL:
https://doi.org/10.4018/978-1-7998-1415-
3.ch014
3. Using Krotov’s Functions for the Prompt Syn-
thesis Trajectory of Intelligent Info-
communication Robot / O. Tachinina et al.
Studies in Systems, Decision and Control.
Cham, 2023. P. 255–283. URL:
https://doi.org/10.1007/978-3-031-43579-9_6
4. Імпульсні диференціальні рівняння з бага-
тозначною та розривною правою части-
ною: монографія / Н.А. Перестюк, В.А.
Плотніков, А.М. Самойленка, Н.В. Скрип-
ник. - К., 2007. - 427 с.
5. Alekseeva I. V., Lysenko O. I., Tachinina O.
M. Necessary optimality conditions of control
of stochastic compound dynamic system in
case of full in-formation about state vector.
Mathematical machines and systems. 2020.
Vol. 4. P. 136–147. URL:
https://doi.org/10.34121/1028-9763-2020-4-
136-147
6. Lysenko O. I., Tachinina O. M., Alekseeva I.
V. ALGORITHM OF OPTIMAL CONTROL
OF UAV GROUP. Electronics and Control
Systems. 2018. Vol. 2, no. 56. URL:
https://doi.org/10.18372/1990-5548.56.12945
7. GIUNTI M., MAZZOLA C. DYNAMICAL
SYSTEMS ON MONOIDS: TOWARD A
GENERAL THEORY OF DETERMINISTIC
SYSTEMS AND MOTION. Methods, Mod-
els, Simulations And Approaches Towards A
General Theory Of Change. 2012. P. 173–
185. URL:
https://doi.org/10.1142/9789814383332_0012
.
References
1. Lysenko O. I., Tachynina O. M., Ponomaren-
ko S. O. & Guida O. G. (2023) Theory of op-
timal branched trajectories: monograph. Kyiv:
KPI Igor Sikorskyi, 2023. 260 p. URI:
https://ela.kpi.ua/handle/123456789/52094 [in
Ukrainian]
2. Tachinina, O. & Lysenko, O., (2020). Meth-
ods for the Synthesis of Optimal Control of
Deterministic Compound Dynamical Systems
With Branch. У: Handbook of Research on
Artificial Intelligence Applications in the
Aviation and Aerospace Industries. IGI Glob-
al. p. 323–351. URI: doi.org/10.4018/978-1-
7998-1415-3.ch014
3. Tachinina, O., Lysenko, O., Romanchenko, I.,
Novikov, V. & Sushyn, I., (2023). Using
Krotov’s Functions for the Prompt Synthesis
Trajectory of Intelligent Info-communication
Robot. У: Studies in Systems, Decision and
Control. Cham: Springer Nature Switzerland.
p. 255–283. URI: doi.org/10.1007/978-3-031-
43579-9_6
4. Impulse differential equations with multi-
valued and discontinuous right-hand side:
Комп’ютерне моделювання
77
Monograph / N.A. Perestyuk, V.A. Plotnikov,
A.M. Samoilenko, N.V. Violinist - K., 2007. -
427 p.
5. Alekseeva, I. V., Lysenko, O. I. & Tachinina,
O. M., (2020). Necessary optimality condi-
tions of control of stochastic compound dy-
namic system in case of full in-formation
about state vector. Mathematical machines
and systems. 4, 136–147. URI:
doi.org/10.34121/1028-9763-2020-4-136-147
6. Lysenko, O. I., Tachinina, O. M. & Ale-
kseeva, I. V., (2018). Algorithm of Optimal
Control of UAV Group. Electronics and Con-
trol Systems. 2(56). URI:
doi.org/10.18372/1990-5548.56.12945
7. GiuntI, M. & Mazzola, C., (2012). Dynamical
Systems on Monoids: Toward a General The-
ory of Deterministic Systems and Motion:
Methods, Models, Simulations And Ap-
proaches Towards A General Theory of
Change.World Scientific. p. 173-185.
URI: doi.org/10.1142/9789814383332_0012
Одержано: 10.04.2024
Внутрішня рецензія отримана: 16.04.2024
Зовнішня рецензія отримана: 25.04.2024
Про авторів:
1Лисенко Олександр Іванович,
Доктор технічних наук, професор.
https://orcid.org/0000-0002-7276-9279.
2Шевченко Віктор Леонідович,
доктор технічних наук, професор.
https://orcid.org/0000-0002-9457-7454.
3Тачиніна Олена Миколаївна,
Доктор технічних наук, професор.
https://orcid.org/0000-0001-7081-0576.
1Пономаренко Сергій Олексійович,
Кандидат технічних наук,
старший науковий співробітник.
https://orcid.org/0000-0001-5512-3778
4Гуйда Олександр Григорович,
кандидат наук з державного управління,
доцент.
https://orcid.org/0000-0002-2019-2615
Місце роботи авторів:
1Національний технічний університет Ук-
раїни «Київський політехнічний інститут
імені Ігоря Сікорського»,
Тел.: +38-044-204-94-94
E-mail: mail@kpi.ua
https://kpi.ua/
2Інститут програмних систем
НАН України,
тел. +38-044-522-62-42
E-mail: iss@isofts.kiev.ua
https://iss.nas.gov.ua/
3Національний авіаційний університет
Тел: +38-044-406-79-01
E-mail: post@nau.edu.ua
https://nau.edu.ua/
4Таврійський національний університет
імені В.І.Вернадського,
Тел.: +38-044-529-05-16
E-mail: crimea.tnu@gmail.com
http://tnu.edu.ua/
|