Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section
Investigated parallel algorithm for solving the problem of high-precision diffraction of elastic waves by a system of rigid inclusions non-circular shape. The problem is reduced to solving a system of singular integral equations which is solved numerically. Parallel algorithm allowed us to investiga...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | rus |
| Опубліковано: |
Інститут програмних систем НАН України
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/698 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Problems in programming |
Репозитарії
Problems in programming| id |
pp_isofts_kiev_ua-article-698 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| resource_txt_mv |
ppisoftskievua/5d/90fd0f46c60c4694537d9db48008615d.pdf |
| spelling |
pp_isofts_kiev_ua-article-6982025-04-09T22:22:32Z Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section Кластерное решение задачи о дифракции упругих волн на системе жестких цилиндрических включений произвольного поперечного сечения Panchenko, B.E. Sayko, I.N. UDC 004.652, 539.3 УДК 004.652, 539.3 Investigated parallel algorithm for solving the problem of high-precision diffraction of elastic waves by a system of rigid inclusions non-circular shape. The problem is reduced to solving a system of singular integral equations which is solved numerically. Parallel algorithm allowed us to investigate the situation with a lot of hard inclusions. Shows the dependence of the stress on the boundary irregularities on the dynamic and geometric characteristics. New results are obtained.Prombles in programming 2014; 2-3: 88-92 Исследован параллельный алгоритм высокоточного решения задачи дифракции упругих волн на системе жестких включений не-круговой формы. Задача сведена к решению системы сингулярных интегральных уравнений, которая решается численно. Параллельный алгоритм позволил исследовать ситуацию с большим количеством жестких включений. Приведены зависимости напряжений на границе неоднородностей от динамических и геометрических характеристик. Получены новые результаты.Prombles in programming 2014; 2-3: 88-92 Інститут програмних систем НАН України 2025-04-09 Article Article application/pdf https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/698 PROBLEMS IN PROGRAMMING; No 2-3 (2014); 88-92 ПРОБЛЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ; No 2-3 (2014); 88-92 ПРОБЛЕМИ ПРОГРАМУВАННЯ; No 2-3 (2014); 88-92 1727-4907 rus https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/698/750 Copyright (c) 2025 PROBLEMS IN PROGRAMMING |
| institution |
Problems in programming |
| baseUrl_str |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/oai |
| datestamp_date |
2025-04-09T22:22:32Z |
| collection |
OJS |
| language |
rus |
| topic |
UDC 004.652 539.3 |
| spellingShingle |
UDC 004.652 539.3 Panchenko, B.E. Sayko, I.N. Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section |
| topic_facet |
UDC 004.652 539.3 УДК 004.652 539.3 |
| format |
Article |
| author |
Panchenko, B.E. Sayko, I.N. |
| author_facet |
Panchenko, B.E. Sayko, I.N. |
| author_sort |
Panchenko, B.E. |
| title |
Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section |
| title_short |
Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section |
| title_full |
Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section |
| title_fullStr |
Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section |
| title_full_unstemmed |
Cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section |
| title_sort |
cluster solution the problem of the diffraction elastic waves by a system of rigid cylindrical inclusions of arbitrary cross section |
| title_alt |
Кластерное решение задачи о дифракции упругих волн на системе жестких цилиндрических включений произвольного поперечного сечения |
| description |
Investigated parallel algorithm for solving the problem of high-precision diffraction of elastic waves by a system of rigid inclusions non-circular shape. The problem is reduced to solving a system of singular integral equations which is solved numerically. Parallel algorithm allowed us to investigate the situation with a lot of hard inclusions. Shows the dependence of the stress on the boundary irregularities on the dynamic and geometric characteristics. New results are obtained.Prombles in programming 2014; 2-3: 88-92 |
| publisher |
Інститут програмних систем НАН України |
| publishDate |
2025 |
| url |
https://pp.isofts.kiev.ua/index.php/ojs1/article/view/698 |
| work_keys_str_mv |
AT panchenkobe clustersolutiontheproblemofthediffractionelasticwavesbyasystemofrigidcylindricalinclusionsofarbitrarycrosssection AT saykoin clustersolutiontheproblemofthediffractionelasticwavesbyasystemofrigidcylindricalinclusionsofarbitrarycrosssection AT panchenkobe klasternoerešeniezadačiodifrakciiuprugihvolnnasistemežestkihcilindričeskihvklûčenijproizvolʹnogopoperečnogosečeniâ AT saykoin klasternoerešeniezadačiodifrakciiuprugihvolnnasistemežestkihcilindričeskihvklûčenijproizvolʹnogopoperečnogosečeniâ |
| first_indexed |
2025-07-17T09:37:16Z |
| last_indexed |
2025-07-17T09:37:16Z |
| _version_ |
1838499744132890624 |
| fulltext |
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
© Б.Е. Панченко, И.Н. Сайко, 2014
88 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2014. № 2–3. Спеціальний випуск
УДК 004.652, 539.3
КЛАСТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН
НА СИСТЕМЕ ЖЕСТКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Б.Е. Панченко, И.Н. Сайко
Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Киев, проспект Академика Глушкова, 40.
Тел.: (044) 526 3603, e-mail: Igor_Sayko@mail.ru
Исследован параллельный алгоритм высокоточного решения задачи дифракции упругих волн на системе жестких включений не-
круговой формы. Задача сведена к решению системы сингулярных интегральных уравнений, которая решается численно. Парал-
лельный алгоритм позволил исследовать ситуацию с большим количеством жестких включений. Приведены зависимости напря-
жений на границе неоднородностей от динамических и геометрических характеристик. Получены новые результаты.
Investigated parallel algorithm for solving the problem of high-precision diffraction of elastic waves by a system of rigid inclusions non-
circular shape. The problem is reduced to solving a system of singular integral equations which is solved numerically. Parallel algorithm al-
lowed us to investigate the situation with a lot of hard inclusions. Shows the dependence of the stress on the boundary irregularities on the
dynamic and geometric characteristics. New results are obtained.
Введение
Задачи о динамической концентрации напряжений на системах жестких включениях некруговой цилин-
дрической формы исследованы мало. В этой сфере было исследовано несколько схожих задач [1, 2]. В случае
неоднородностей сложной геометрической формы эффективно работает метод интегральных уравнений [3]. В
[4] этим методом исследуется плоская задача о колебаниях изотропной среды с упругим включением. В данной
работе метод интегральных уравнений распространяется на случай системы жестких цилиндрических включе-
ний произвольного поперечного сечения.
Постановка задачи
Рассмотрим в неограниченной изотропной среде, с коэффициентами Ламе , и плотностью m, ци-
линдров, растянутых вдоль оси Ox3, поперечное сечение каждого из которых ограничено замкнутым контуром
mjL j ,1, типа Ляпунова. Предполагается, что внутренняя часть цилиндров представляет собой абсолютно
жесткое тело с плотностью 0 . В среде, перпендикулярно оси цилиндра, распространяется гармоническая (за-
висимость от времени выражается множителем tie ) волна расширения-сжатия (P-случай):
constc
c
eUU
xi
11
1
11
)0(
2
)0(
1 ,
2
,,,0 21
(1)
или волна сдвига (SV-случай):
,,,,0, 22
2
2
)0(
22
)0(
1
22 constc
c
UeU
xi
(2)
где 1c и 2c – скорости продольной и поперечной волн в матрице, ω – частота колебаний, .12 i
Взаимодействуя с включениями, падающая волна порождает отраженные продольные и поперечные
волны. Их совокупность определяет напряженно-деформированное состояние среды, которое требуется опре-
делить. Следуя принципу суперпозиции, общее поле амплитуд перемещений и компонент тензора напряжений
будем искать в виде:
,, )1()0()1()0(
mnmnmnnnn UUU
2,1,,,,2,21,1 nmUUUU mnnmmnmn . (3)
Здесь )0(
nU , )0(
mn и )1(
nU , )1(
mn – амплитуды компонент вектора перемещений, тензора напряжений падающего и
отраженного волновых полей соответственно, mn – символ Кронекера.
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
89
Отраженное поле перемещений должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности, а также
уравнениям движения [1]. Кроме того, на поверхности жесткого включения должны выполняться граничные
условия:
LiBUBU ,, 020011 , (4)
где 1B , 2B и 0 – амплитуды поступательного движения и жесткого поворота включения.
Метод решения
Представления амплитуд перемещений отраженного волнового поля будем искать в виде потенциалов
типа простого слоя [4] (суммирование по n=1,2):
,2,1,,)()1(
kdsspPMVMU
L
n
k
nk (5)
где spn – неизвестные плотности; )(k
nV – компоненты матрицы Грина, представляющие собой амплитуды
перемещений в точке M при действии гармонической силы, приложенной в точке LP и направленной вдоль
оси O 1x (k=1) или вдоль оси O 2x (k=2).
Амплитуды перемещений )(k
nV и соответствующих компонент тензора напряжений )(k
mn определяются
из соотношений (k, m, n=1,2):
)()(,)1( )(
,
)(
,
)(
2,2
)(
1,1
)()( k
mn
k
nm
kk
mn
k
mnnk
knk
n VVVVGLV ,
)2(
1
),,())(( 21
2
2
2
1
cxxcG ,
.
4
,
2
1
2
2
2
)1(
01
)1(
0
rHrH
i
c
PMG (6)
Здесь xH j
)1( – функция Ханкеля первого рода j-го порядка, ∆ – оператор Лапласа.
Используя фундаментальное решение G(M,P), для комбинаций перемещений )(k
nV получаем следующие
выражения:
,5,0
4
00
2
220
)2(
2
)1(
1
diVV
)1(
2
)2(
1 VV ,
,
4
22 22
)2(
2
)2(
1
)1(
1
2)2(
2
)2(
1
)1(
1
2 d
ViVVeViVVe ii ,
)1(4
i
d
(1) (1)
1 1 2 2
1 22 2
1 2
, , ,
l l
j j i
l j
H r H r
z re z x ix
43 , .
)(2
(7)
Анализ формул (7) показывает, что функции )2(
2
)2(
1
)1(
1 2 ViVV и
)2(
2
)2(
1
)1(
1 2 ViVV непрерывны в нуле,
а функция
)2(
2
)1(
1 iVV обладает логарифмической особенностью. Это означает, что удовлетворение граничных
условий (4) сводит краевую задачу к системе интегральных уравнений с логарифмическими ядрами, численная
реализация которых затруднительна. Поэтому, для получения сингулярных интегральных уравнений с ядрами
типа Коши, граничные условия (4) дифференцировались по дуговой координате s0 и записывались в виде:
,,
)(
,
)(
0
0000
0
0
0
21
0
0
21
z
ii
L
i
L
i
L
e
zd
W
e
dz
W
ds
dW
ei
ds
iUUd
ei
ds
iUUd
(8)
где 0 – угол положительной касательной к L в точке Li 000 с осью Ox1, 21 ixxz .
Удовлетворяя граничные условия (8), приходим к системе сингулярных интегральных уравнений перво-
го рода с ядрами типа Коши (суммирование по 2,1n ):
;2,1),()(, 0000 msNsMdssfssB mm
L
nmn
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
90
000
33
000
31
0
000
12
3
2
2
8
i
eF
i
eF
i
e
i
e
i
d
B ,
,
3
2
2
8
000
33
000
31
0
000
21
i
eF
i
eF
i
e
i
e
i
d
B
0 0 0 2 0
11 22 31 2 11 0 0
0
cos
0,5 cos ,
2 4
B B d F
i r
,, 212211 sipspsfsipspsf ,, 1201
0 MMeiM
i
,, 0
002
2
2
1
02
)1(
201
)1(
10
ij
l
j
l
jl er
rHrH
0 0
31 31
0
2
,
i
F
r
0 0
33 33
0
2
,
i
F
r
01121 sin01 i
eNN
в P-случае,
02221 sin02
i
eNN
- в SV-случае. (9)
Анализ ядер системы уравнений (9) показывает, что ядра 11B и 22B – сингулярны, а 12B и 21B – непре-
рывны.
Необходимые для замыкания алгоритма три дополнительных условия вытекают из законов поступатель-
ного и вращательного движения абсолютно жесткого тела. Для поступательного движения, исходя из второго
закона Ньютона, получаем:
,, 200
2
2100
2
1 BSdsSBSdsS
LL
(10)
а уравнение, описывающее вращательное движение, запишем в виде
,)()( 0
2
1221 A
L
JdsaSaS (11)
где 1S и 2S – амплитуды компонент вектора напряжения на контуре L ; 0S – площадь включения, ограничен-
ного контуром L ; AJ – момент инерции включения относительно точки ),( 21 aaA ; постоянные 1B и 2B опре-
деляются согласно (4).
Результаты численных исследований
При численной реализации алгоритма использовался метод механических квадратур [5]. В качестве при-
мера рассматривалась среда, содержащая систему цилиндрических жестких включений эллиптического попе-
речного сечения [6]
.20,cos,sin ba (12)
На границе включения проводилось вычисление безразмерных напряжений
,/,/,/
000
PPP snnsnn o
(13)
где n и sn – амплитуды нормального и тангенциального напряжений на L; s определяется из соотношения
2211 ns ; P – максимальное напряжение в падающей волне, равное 211 в случае набегания на
цилиндр Р-волны (1) и 22 – в случае SV-волны (2).
На рис. 1–4 показаны графики распределения нормальных напряжений n на контуре центрального и
крайнего (рис. 1, 2 – случай P-волны, рис. 3, 4 – SV-волны) включений эллиптической формы, при
5,2/;1/ abba . Кривые 1, 2 и 3 соответствуют значениям 0,25,1;7,02,1 иa . Расчеты показывают, что
существует принципиальное различие в распределении контурных напряжений при набегании на систему
жестких включений волны расширения-сжатия (1) или волны сдвига (2).
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
91
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
92
Рис. 4
Выводы
Для задачи дифракции волн сдвига на системе жестких включений некруговых формы параллельные ал-
горитмы позволяют значительно сократить время вычислений и более детально проанализировать характери-
стики волнового поля. Это очень важно, так как можно получить точные величины резонансных максимумов
контурных напряжений, а также точных координат дислокации резонансных максимумов позволит избежать
разрушений конструкций, работающих в условиях динамических нагрузок. Все это требует использования уве-
личенного числа вариантов исходных данных. Сочетание же метода интегральных уравнений, позволяет на
единицу снизить размерность задачи, а также значительная экономия времени вычислений за счет распаралле-
ливания вычислительных процедур, приводит к существенному увеличению эффективности предложенного
алгоритма.
1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – К., 1978. – 307с.
2. Волобуева Т.В., Сторожев В.И. Рассеяние плоских гармонических волн на цилиндрической полости эллиптического сечения в орто-
тропной среде // Теорет. и прикладная механика. – 1999. – Вып. 29. – С. 66–79.
3. Фильштинский Л.А. Дифракция упругих волн на трещинах, отверстиях, включениях в изотропной среде // Механика твердого тела. –
1991. – № 4. – С. 119–127.
4. Назаренко А.М. Дифракция гармонических волн на цилиндрическом упругом включении в условиях плоской деформации // Динами-
ческие системы. – 2005. – Вып. 19. – С. 54–60.
5. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. – К., 1984. –
344 с.
6. Панченко Б.Е., Назаренко А.М., Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для
изотропных сред с произвольными неоднородностями // Кибернетика и системный анализ . – 2013. – № 1. – C. 172–187.
|