О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем
Рассмотрены два процесса, заданные с помощью связанных импульсных динамических систем, которые в совокупности являются аналогом авторегрессионной модели с GARCH остатками и марковским процессом вместо «белого шума», а также с переключениями в случайные моменты времени — пуассоновским потоком. При ан...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13886 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем / О.И. Павленко, Й.Я. Голдштейне // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-13886 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-138862013-02-13T02:37:53Z О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем Павленко, О.И. Голдштейне, Й.Я. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Рассмотрены два процесса, заданные с помощью связанных импульсных динамических систем, которые в совокупности являются аналогом авторегрессионной модели с GARCH остатками и марковским процессом вместо «белого шума», а также с переключениями в случайные моменты времени — пуассоновским потоком. При анализе поведения этих процессов комбинируется моделирование решений импульсных динамических систем в пакете MATLAB, усреднение исходных систем, диффузионная аппроксимация нормированных уклонений процессов от решений соответствующих усредненных уравнений, а также моделирование решений диффузионных уравнений в пакете MATHEMATICA. Two processes described by related impulse dynamical systems are considered. When combined, they are an analogue of the autoregressive model with GARCH errors and Markov process instead of «white noise» as well as with switching moments, which are random, that is, with Poisson’s flow. In the analysis of the behavior of these processes, modeling of the solutions of impulse dynamic systems in MATLAB, averaging of the initial systems, diffusive approximation of normalized deviations of the initial processes from the solutions of the corresponding averaged equations and modeling of the solutions for the obtained diffusion equations with the program MATHEMATICA are combined. Розглянуто два процеси, які визначаються за допомогою зв’язаних імпульсних динамічних систем. У сукупності вони є аналогом авторегресійної моделі з GARCH остачами та марковським процесом замість «білого шуму», а також із переключеннями у випадкові моменти часу — пуассонівським потоком. Під час аналізу поведінки цих процесів комбінується моделювання рішень імпульсних динамічних систем у пакеті MATLAB, усереднення вихідних систем, дифузійна апроксимація нормованих відхилень процесів від розв’язків відповідних усереднених рівнянь та моделювання рішень дифузійних рівнянь у пакеті MATHEMATICA. 2007 Article О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем / О.И. Павленко, Й.Я. Голдштейне // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13886 519.21 ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| spellingShingle |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Павленко, О.И. Голдштейне, Й.Я. О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем |
| description |
Рассмотрены два процесса, заданные с помощью связанных импульсных динамических систем, которые в совокупности являются аналогом авторегрессионной модели с GARCH остатками и марковским процессом вместо «белого шума», а также с переключениями в случайные моменты времени — пуассоновским потоком. При анализе поведения этих процессов комбинируется моделирование решений импульсных динамических систем в пакете MATLAB, усреднение исходных систем, диффузионная аппроксимация нормированных уклонений процессов от решений соответствующих усредненных уравнений, а также моделирование решений диффузионных уравнений в пакете MATHEMATICA. |
| format |
Article |
| author |
Павленко, О.И. Голдштейне, Й.Я. |
| author_facet |
Павленко, О.И. Голдштейне, Й.Я. |
| author_sort |
Павленко, О.И. |
| title |
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем |
| title_short |
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем |
| title_full |
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем |
| title_fullStr |
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем |
| title_full_unstemmed |
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем |
| title_sort |
о стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13886 |
| citation_txt |
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем / О.И. Павленко, Й.Я. Голдштейне // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pavlenkooi ostohastičeskihregressionnyhmodelâhsnepreryvnymvremenem AT goldštejnejâ ostohastičeskihregressionnyhmodelâhsnepreryvnymvremenem |
| first_indexed |
2025-07-02T15:41:46Z |
| last_indexed |
2025-07-02T15:41:46Z |
| _version_ |
1836550357549842432 |
| fulltext |
О.И.Павленко, Й.Я.Голдштейне, 2007
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 1 99
УДК 519.21
О СТОХАСТИЧЕСКИХ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЯХ С
НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
О.И. ПАВЛЕНКО, Й.Я. ГОЛДШТЕЙНЕ
Рассмотрены два процесса, заданные с помощью связанных импульсных ди-
намических систем, которые в совокупности являются аналогом авторегресси-
онной модели с GARCH остатками и марковским процессом вместо «белого
шума», а также с переключениями в случайные моменты времени — пуассо-
новским потоком. При анализе поведения этих процессов комбинируется мо-
делирование решений импульсных динамических систем в пакете MATLAB,
усреднение исходных систем, диффузионная аппроксимация нормированных
уклонений процессов от решений соответствующих усредненных урав-
нений, а также моделирование решений диффузионных уравнений в пакете
MATHEMATICA.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время многие эконометрические и финансовые процессы опи-
сываются авторегрессионными, ARМА и другими моделями, в которых ус-
ловная дисперсия ошибок не постоянна и оценивается с помощью GARCH-
моделей, предложенных Engle и Bollersley. Методика выбора и оценивания
таких моделей хорошо описана, например, в работе [1]. Однако в GARCH-
моделях изменения происходят только в детерминированные моменты вре-
мени. Простейшие примеры: ежедневные изменения курса валют и различ-
ных финансовых индексов (RIGIBID, RIGIBOR, EURIBOR, LIBOR и др.).
Хотя очевидно, что во многих случаях временную шкалу удобнее считать
непрерывной, а моменты изменений случайными. Логично ввести такое
предположение о характере этих случайностей: моменты переключений об-
разуют пуассоновский поток (например, время поступления заявок на вы-
платы в страховую компанию обычно распределено экспоненциально).
При некоторых дополнительных ограничениях модель можно описать
импульсными динамическими системами с марковскими переключениями.
Аппарат анализа таких систем достаточно хорошо разработан профессором
Е.Ф. Царьковым [2–4] и его учениками [5–7], а также украинскими матема-
тиками [4]. Следует упомянуть усреднение, получение условий устойчиво-
сти, а также диффузионную аппроксимацию решений импульсных динами-
ческих систем и их нормированных уклонений. Используя эту методику,
можно получить диффузионные уравнения, к решениям которых сходятся
решения исходных импульсных систем.
Специализированные компьютерные программы позволяют получать
реализации некоторых диффузионных процессов, а также процессов, опи-
сываемых при помощи регрессионных моделей с остатками типа GARCH
для проведения дальнейшего анализа их поведения.
О.И.Павленко, Й.Я.Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1 100
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Рассмотрим два кусочно-постоянных процесса )(tx , )(ty со скачками в слу-
чайные моменты времени, одни и те же для обоих процессов. Они образуют
пуассоновский поток. Процесс )(tx описывается авторегрессионным урав-
нением первого порядка, причем )(ty — условная дисперсия ошибки в
уравнении для )(tx — описывается уравнением с одним авторегрессионным
слагаемым и слагаемым скользящего среднего первого порядка, т.е. моде-
лью типа GARCH с некоторыми дополнительными ограничениями. В отли-
чие от обычных ARMA и GARCH-процессов моменты переключений слу-
чайны. Как и в ARMA и GARCH-моделях, предположим, что в интервалах
между переключениями Ν∈∈ − jt jj ),,[ 1 ττ оба процесса ( )(tx и )(ty ) по-
стоянны, т.е. модель задается с помощью двух динамических систем
+−=
=
,)()(
,0)(
ttxAtx
dt
tdx
σ
)2(
)1(
−++=
=
− ,)()(
,0)(
2
10 tbyaaty
dt
tdy
tσ
)4(
)3(
связанных соотношением
ttt yνσ = . (5)
По аналогии с обычной GARCH-моделью, где tv —— белый шум со
средним 0 и дисперсией, равной 1, примем, что ,0=tEν 12 =tEν . Тогда
безусловное и условное среднее ошибки уравнения (2) равно нулю.
0== − ttt EE σσ .
Условная дисперсия tttt yEtxD == −−
2)( σ не постоянна, а является
процессом GARCH(1,1), заданным формулой (4). Согласно условию стацио-
нарности все коэффициенты уравнения (4) должны быть положительны и
11 <+ ba . Уравнение (4) перепишем в виде
( ) )()( 2
10 −++= − tybaaty tν .
Введем дополнительное ограничение: tv может принимать только два
значения. В дальнейшем результаты нетрудно будет обобщить на конечное
число значений.
Будем считать tv марковским процессом. Пусть его инфинитезималь-
ная матрица имеет вид
−
−
=
22
11
qq
qq
Q .
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 1 101
Тогда нетрудно найти инвариантную меру
{ }
++
==
21
1
21
2
21 ;,
qq
q
qq
q
µµµ
и значения самого процесса выразить через параметры инфинитезимальной
матрицы
+
−
+=
. ьювероятностc/
, ьювероятностc/
21
1
12
21
2
21
qq
q
qq
qq
q
qq
tν
Чтобы представить случайные решения процессов )(tx , )(ty , смодели-
руем их в пакете МАТLAB для следующих значений параметров (рис. 1
и 2):
9,0;3,0;6,0;75,0;1,0;1,0 2110 ====== Aqqaab .
ПЕРЕХОД К СИСТЕМЕ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
Добавим малый положительный параметр ε в уравнения (1)–(4). Перейдем
к процессу )()( txtz ε= . Пусть A имеет форму 11 AA ε+= . Необходимо по-
требовать 01 <A , чтобы в уравнении (2) не было единичного корня. Предпо-
ложим, что коэффициенты 0a , 1a малы, а b близко к 1 (однако меньше 1,
чтобы не было единичного корня), т.е. 00 αε=a , 11 αε=a , βε=−1b
( 0<β ).
Со всеми этими предположениями наша система перепишется в виде
Рис. 1. Пять случайных реализаций процесса )(ty и решение усредненного урав-
нения для )(ty
t
y(t)
0 20 40 60 80 100
5
10
О.И.Павленко, Й.Я.Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1 102
( ) ( ) ( )( )
( )( )
−+−=
=
−−+−=
=
)9(,,)()(
)8(,0)(
)7(,)(,)(
)6(,0)(
2
1
ttygtyty
dt
tdy
ttytzgtztz
dt
tzd
νε
νε
где
( ) ( )( ) )()()()(,, 11 tyttzAttytzg νν +−=−− ,
( )( ) ( ) )()(, 2
102 −++=− − tyttyg t βνααν .
Мы видим, что система уравнений (8) , (9) явно не зависит от z . Зна-
чит, сначала будем анализировать решение (8) , (9), а затем (6) , (7).
УСРЕДНЕНИЕ
Для обеих систем справедлив принцип усреднения [2], т.е. можем выписать
усредненные уравнения, к решениям которых стремятся решения систем
(6), (7) и (8) , (9) при 0→ε . Усредненное уравнение для (8) , (9) имеет
вид
( )
( ) ( ) ( ),,)(
,)(
22
2
νµνν dygayF
yF
dt
tyd
Υ
∫=
=
(10)
Рис. 2. Четыре случайных реализации процесса )(tx и решение усредненного
уравнения для )(tx
t
x(t)
0 20 40 60 80 100
0
x(t)
x(t)
mean
x(t)
x(t)
-1
3
2
-3
-4
1
-2
-5
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 1 103
где ( ) { }21, qqa =ν — интенсивности перехода для марковского процесса
tv , принимающего два значения; Y — область определения tv ,
−=
1
2
2
1 ,
q
q
q
qΥ .
После интегрирования получаем
+
++
+
= y
qq
qq
y
qq
qq
yF
21
2
2
2
1
10
21
21
2 22)( αβα .
Тогда решение уравнения (10) имеет вид
( ) kekyty at −+= 0)( ,
где 0y — начальное значение ( )00 yy = ;
21
21
21
2
2
2
1
12
qq
qq
qq
qqa
+
+
+= αβ ; (11)
1
21
2
2
2
1
10 22
−
+
+=
qq
qqk αβα . (12)
А теперь сравним решение усредненного уравнения, построенное в па-
кете MATLAB со смоделированными случайными решениями исходного
процесса.
Мы видим, что оно только приближенно описывает динамику поведе-
ния процессов. Необходим дальнейший анализ.
Аналогично может быть получено усредненное уравнение системы
(6), (7).
( )
( ) ( ) ( ) ( ).~,~,,)(
,)(
11
1
νµννννν ddPygazF
zF
dt
tzd
Υ Υ
∫ ∫=
=
(13)
После интегрирования получаем
−
−
+
=
21
21
1
21
21
1 2),(
qq
qqyzA
qq
qqyzF .
Уравнение (13) тоже может быть решено, хотя решение будет более
сложным образом зависеть от значений параметров. Логично предположить,
что в начальный момент условная дисперсия ошибки равна нулю. Тогда по-
лучаем следующее решение уравнения (13):
−+−
−
+= 1arctg1
2
)(
121
21
0
atatatat eee
A
k
qq
qq
eztz ,
где 0z — начальное значение ( )00 zz = ; a и k заданы формулами
(11), (12). Действительное решение существует только при положительных
значениях a . Для выбранных ранее значений параметров это выполнено.
(
О.И.Павленко, Й.Я.Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1 104
ДИФФУЗИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
Диффузионная аппроксимация для систем вида (8), (9) (импульсная система
с марковскими переключениями) доказана в работах Е.Ф. Царькова. Для
системы с упреждающими марковскими переключениями (системы вида (6),
(7)) диффузионная аппроксимация получена в работе [7].
Теорема (о диффузионной аппроксимации) Если выполнены все
описанные выше предположения, в том числе правая часть усредненного
уравнения тождественно равна нулю, тогда решение системы (6), (7) )(tz
слабо сходится, когда 0→ε , к диффузионному процессу )(~ tZ , являюще-
муся решением уравнения
( ) ( ) ( )tdwZdtZbtZd 111
~~)(~ σ+= ,
( )[ ]{ } ( )νµν dYZFDGZb
Υ
Z∫ Π= ,,)( 111 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )νµννµνννννσ dYZFGddPYZgaZ
ΥΥ Υ
∫∫ ∫ Π+= ,,~,~,,,
22
1
11
2
1
2
1 ,
где
( ) ( ) ( ) ( )∫=
Υ
dPYZgaYZF ννννν ~,~,,,,1 ; Π — потенциал;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫=
Υ
dPYZuYZgaYZuG νννννννν ~,~,,,~,,,,,1 .
Так как правые части наших усредненных уравнений в общем случае
тождественно не равны нулю, то мы не можем прямо использовать диффу-
зионную аппроксимацию.
Перейдем к нормированным уклонениям решений систем (6), (7) и (8),
(9) от решений соответствующих усредненных уравнений.
εε
)()()(~,)()()(~ tztztztytyty −
=
−
= .
Применим диффузионную аппроксимацию к импульсной системе
уравнений, описывающей нормированные уклонения процесса )(ty . Полу-
чим диффузионное уравнение вида
( ) ( ) ( )tdwyYdtYbtYd 222 ,~~)(~ σ+= ,
где
+
−+
++
+
++
= 1)(
2
1
10
1
2
1
21
2
21
21
2 yy
q
q
q
q
qq
q
qq
qq
yb βααβα
−+
++
+
+
+ 1
1
2
10
2
1
1
21
1 yy
q
q
q
q
qq
q
βααβα ,
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 1 105
( ) ×
+
++
+
= y
qq
qq
y
qq
qqy
21
2
2
2
1
10
21
21
2
2 22
22
)(
αβα
σ
+
++
+
−
+
++× y
qq
qq
y
qq
qq
y
qq
qq
y
21
2
2
2
1
10
21
21
21
2
2
2
1
10 22
2
22 αβααβα ,
где y — решение усредненного уравнения (10) (функция от t ).
Конечно, бóльший интерес представляет диффузионная аппроксимация
самой импульсной системы, а не нормированных уклонений. Приведем
диффузионную аппроксимацую частного вида импульсных систем, для ко-
торых это возможно. Правые части дифференциальных уравнений этих сис-
тем не равны нулю, а подобраны так, чтобы в усредненных уравнениях они
были тождественно равны нулю.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
−+−=
−=
−−+−=
−=
)17(.,)()(
)16(,)()(
)15(,)(,,)(
)14(,),()(
2
2
1
1
ttygtyty
yF
dt
tdy
ttytzgtztz
yzF
dt
tdz
νε
νε
Тогда решение системы (14), (15) сходится к решению следующего од-
нородного диффузионного уравнения:
( ) ( ) ( )tdwYdtYbtYd 222
~~)(~ σ+= ,
где
yBByb 212 )( += ,
( )
( )
++++
+
+
+
−
+
=
1
2
2
2
2
1
121
21
2
2
2
1
1
21
21
2
21
021
1 22
q
q
q
qqq
qq
qq
qq
qq
qq
qqB αβαβ
α ,
( )
+
+
+
−
+
+
+
=
2
21
2
2
2
1
1
21
21
1
2
1
2
1
12
21
21
2 22
qq
qq
qq
qq
q
q
q
q
qq
qqB αββαβα ;
ySSy 212 )( +=σ ,
( )
+
−
+
= 2
21
21
21
21
01
212
qq
qq
qq
qqS α ,
( )
+
−
+
+
+= 2
21
21
21
21
21
2
2
2
1
12
212
qq
qq
qq
qq
qq
qqS αβ .
Теперь возможны моделирование решения уравнения (18) в пакете
MATHEMATICA и анализ поведения решения при разных значениях пара-
метров.
(
О.И.Павленко, Й.Я.Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1 106
Реализации диффузионного процесса, к которому сходится решение
измененной системы (16), (17), где )(ty может принимать отрицательные
значения, показаны на рис. 3.
Диффузионное уравнение для процесса )(~ tZ , к которому сходится ре-
шение системы (14), (15), получается неоднородным, его коэффициенты за-
висят не только от )(~ tZ , но и от )(~ tY (диффузионного процесса, удовле-
творяющего уравнению (18)).
( ) ( ) ( )tdwYZdtYZbtZd 222
~,~~,~)(~ σ+= ,
zByByzb 212 )(),( += ,
( )( )
( )
y
qq
Aqqqqqq
yB 3
21
1
2
2
2
12121
1 )(
+
+−
= ;
( )
( )321
2
1
2
2121
2
qq
AqqqqB
+
−
= ,
zSySyz 212 )(),( +=σ ,
( )
( )321
2
2
2
121
21
21
1 )(
qq
qqqq
qq
qqyyS
+
+−
= ,
( )
( )321
2
2
2
121
12 2
qq
qqqqAS
+
+
= .
К сожалению, пакет MATHEMATICA не позволяет моделировать ре-
шения неоднородных диффузионных уравнений.
Рис. 3. Три случайных реализации решения диффузионного уравнения (18) для
процесса )(ty
20 40 60 80 100
t
0,3
0,2
0
-0,1
0,1
-0,3
0,4
y
t
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 1 107
ПРИМЕР
Интересный пример может быть получен, если предположить, что парамет-
ры инфинитезимальной матрицы равны, т.е. qqq == 21 :
−
−
=
qq
qq
Q .
Тогда диффузионные уравнения значительно упрощаются. Они теряют не-
однородность и становятся независимыми.
( )tdwqZAtZd 11
~)(~
= ,
( ) ( ) ( )( ) ( )tdwYqqdtYqtYd 210
2
1
~~1
2
1)(~ βααβα +++−+= .
Их решения могут быть проанализированы с помощью пакета
MATHEMATICA. На рис. 4 и 5 показано по пять симуляций диффузионных
процессов ( Z~ и Y~ ) при 4,0=q ; 1,01 −=A ; 9,0−=β .
Рис. 5. Пять симуляций диффузионного процесса )(~ tY
t
–1,00
20 40 60 80
0,25
y
0,75
0,50
–0,75
–0,25
–0,50
0
t 0 20 40 60 80
0,005
z
0,015
0,01
Рис. 4. Пять симуляций диффузионного процесса )(~ tZ
О.И.Павленко, Й.Я.Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1 108
Анализируя большое количество реализаций процессов Z~ и Y~ на зна-
чительно большем интервале времени, приходим к выводу, что при данных
параметрах процесс Y~ имеет тенденцию к незначительному возрастанию, а
значения процесса Z~ со временем убывают.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, перейдя к системе уравнений с малым параметром (6), (9),
мы свели анализ решений полученной системы к анализу решений диффу-
зионных уравнений, к которым сходятся нормированные уклонения реше-
ний систем (6)–(9) от решений усредненных уравнений (10), (13).
Кроме того, рассмотрен случай, когда возможна диффузионная аппрок-
симация самой импульсной системы, а не ее нормированных уклонений.
Смоделировать реализации в этом случае удалось только при дополнитель-
ных предположениях (см. пример).
В общем же случае диффузионное уравнение для процесса )(tz не яв-
ляется однородным. Используемая для получения реализаций диффузион-
ных уравнений программа MATHEMATICA и дополнительные пакеты к
ней, созданные для диффузионного анализа, не позволяют это сделать для
процесса )(tz . Необходим переход к совершенно другому специализиро-
ванному программному обеспечению, которое пока не найдено.
Анализировать решения полученных диффузионных уравнений намно-
го легче, чем случайные решения исходных импульсных систем, получен-
ные в MATLAB. Как дальнейшее направление работы можно рассматривать
анализ введенных ограничений и отказ от некоторых из них. Например, от-
каз от ограничения, когда марковский процесс может принимать только два
значения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Enders Walter. RATS Handbook for Econometric Time Series. — USA: John Wiley
& Sons, Inc. 1996. — 204 p.
2. Tsarkov Ye. Asymptotic methods for stability analysis of Markov impulse dynamical
systems // Advances of Stability Theory of the End of XXth Century. Stability
and Control: Theory, Methods and Applications // Gordon and Breach Science
Publishers, London. — 2000. — № 13. — Р. 251–264.
3. Tsarkov Ye. Asymptotic methods for stability analysis Markov impulse dynamical
systems // Nonlinear dynamics and system theory. — 2002. — 2, № 1. —
Р. 103–115.
4. Swerdan M., Tsarkov Ye. Stability of Stochastic Impulse Systems. — Riga: RTU,
1994. — 300 p.
5. Carkovs J., Pola A. A simple proof of averaging principle for random dynamical
systems // Proceedings of 1th
6. Matvejevs An., Pavlenko O. Diffusion approximation of normalised deviations of an
impulse system describing the dynamics of insurance company capital // Pro-
ceedings if the Latvian academy of sciences. Part B: Natural sciences. —
2000. — 54, № 3. — Р. 53–57.
International Conference APLIMAT 2002. —
Slovak University of Technology, Bratislava, Slovakia. — Р. 109–114.
7. Pavlenko O. Limit Theorems and Stability of Impulse System with Look-Ahead
Markov Switching. — Riga: Doctor Thesis, 2001. — 108 р.
Поступила 20.07.2006
О стохастических регрессионных моделях с непрерывным временем
О.И. Павленко, Й.Я. Голдштейне
Введение
Описание модели
Переход к системе с малым параметром
Усреднение
Диффузионная аппроксимация
Пример
Заключение
Рис. 1. Пять случайных реализаций процесса и решение усредненного уравнения для
Рис. 2. Четыре случайных реализации процесса и решение усредненного уравнения для
Рис. 3. Три случайных реализации решения диффузионного уравнения (18) для процесса
Рис. 4. Пять симуляций диффузионного процесса
Рис. 5. Пять симуляций диффузионного процесса
|