Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням
На підставі, розробленої методики для чисельного дослідження явищ детермінованого хаосу в динамічних системах проведений великий обсяг комп’ютерних обчислень з метою виявлення нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу....
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Series: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162209 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням / О.Ю. Швець, В.О. Сіренко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 154-161. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-162209 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1622092020-01-06T01:25:42Z Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням Швець, О.Ю. Сіренко, В.О. На підставі, розробленої методики для чисельного дослідження явищ детермінованого хаосу в динамічних системах проведений великий обсяг комп’ютерних обчислень з метою виявлення нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу. Based on the developed numerical technics for the study of phenomena of deterministic chaos in dynamic systems a large complex of computer calculations for describing new scenarios of transition to chaos was carry out. 2018 Article Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням / О.Ю. Швець, В.О. Сіренко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 154-161. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162209 534.1 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На підставі, розробленої методики для чисельного дослідження явищ детермінованого хаосу в динамічних системах проведений великий обсяг комп’ютерних обчислень з метою виявлення нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу. |
| format |
Article |
| author |
Швець, О.Ю. Сіренко, В.О. |
| spellingShingle |
Швець, О.Ю. Сіренко, В.О. Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Швець, О.Ю. Сіренко, В.О. |
| author_sort |
Швець, О.Ю. |
| title |
Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням |
| title_short |
Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням |
| title_full |
Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням |
| title_fullStr |
Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням |
| title_full_unstemmed |
Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням |
| title_sort |
cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/162209 |
| citation_txt |
Cиметричні сценарії переходу до детермінованого хаосу в системах з обмеженим збудженням / О.Ю. Швець, В.О. Сіренко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 154-161. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT švecʹoû cimetričníscenarííperehodudodetermínovanogohaosuvsistemahzobmeženimzbudžennâm AT sírenkovo cimetričníscenarííperehodudodetermínovanogohaosuvsistemahzobmeženimzbudžennâm |
| first_indexed |
2025-07-14T14:44:14Z |
| last_indexed |
2025-07-14T14:44:14Z |
| _version_ |
1837633901469630464 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
154
work we have shown a method for studying T-periodic solutions to a
boundary-value T-periodic problem for a more general differential equation
in partial derivatives 2u /t2 – a22u /x2 = f (x, t, u, ut, ux). The following
simple assertion has been used: the function K (x, t) defined by an integral
with limits from t – b to t + b for each T-periodic in τ function g (x, τ), that
is g (x, τ+Т) = g (x, τ), is also T-periodic in t. The found formula automati-
cally satisfies the boundary and T-periodic conditions: u (0, t) = u (π, t) = 0,
u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t R. The obtained in this paper results can
be used to study many classes of differential equations in partial deriva-
tives of hyperbolic type.
Key words: T-periodic solution, boundary-value T-periodic problem,
operator, hyperbolic the second order equation.
Отримано: 31.05.2018
УДК 534.1
О. Ю. Швець, д-р фіз.-мат. наук,
В. О. Сіренко, канд. техн. наук
Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут ім. І. Сікорського», м. Київ
CИМЕТРИЧНІ СЦЕНАРІЇ ПЕРЕХОДУ ДО ДЕТЕРМІНОВАНОГО
ХАОСУ В СИСТЕМАХ З ОБМЕЖЕНИМ ЗБУДЖЕННЯМ
Розглянуто п’ятивимірну детерміновану динамічну систему,
яка використовується для опису динамічної поведінки маятни-
кових систем, баків з рідиною, оболонок, тощо. Принциповою
особливістю є неідеальність розглянутої динамічної системи за
Зоммерфельдом-Кононенком. У таких динамічних системах
завжди враховується взаємодія між деякою коливальною підси-
стемою та джерелом збудження коливань. Головна увага приді-
ляється пошуку та опису нових сценаріїв переходу від регуляр-
них режимів до хаотичних.
На підставі, розробленої методики для чисельного дослі-
дження явищ детермінованого хаосу в динамічних системах
проведений великий обсяг комп’ютерних обчислень з метою
виявлення нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу.
Був описаний сценарій переходу до хаосу, який починається як
симетричний каскад біфуркацій подвоєння періоду граничних
циклів та закінчується виникненням симетричного хаотичного
атрактора через переміжність. Тобто виявлений сценарій поєд-
нує у собі характерні особливості притаманні класичним сцена-
ріям Фейгенбаума та Помо-Манневілля. Також був описаний
сценарій переходу до хаосу через переміжність у якому рух тра-
© О. Ю. Швець, В. О. Сіренко, 2018
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17
155
єкторій по хаотичному атрактору включає у себе не одну, як
сценарії Помо-Манневілля, а дві симетричні ламінарні фази.
Причому відбуваються непередбачувані переходи між двома
ламінарними фазами руху та турбулентною фазою. Проведений
ретельний аналіз різноманітних характеристик регулярних та
хаотичних атракторів розглянутої динамічної системи (проекцій
фазових портретів, часових реалізацій фазових змінних, розпо-
ділів природних інваріантних мір) на підставі якого було обґру-
нтоване існування виявлених симетричних сценаріїв.
Ключові слова: неідеальна система, сценарій переходу до
хаосу, хаотичний атрактор.
Вступ. При дослідженні детермінованого хаосу в динамічних
системах важливим є вивчення сценаріїв переходів від регулярних
режимів до хаотичних. Незважаючи на величезну кількість матема-
тичних моделей динамічних систем, найчастіше зустрічаються сце-
нарії переходу до хаосу двох типів. До першого типу належить сце-
нарій Фейгенбаума, при реалізації якого відбувається перехід до хао-
су через нескінченний каскад біфуркацій подвоєння періодів гранич-
них циклів [1, 2]. До другого типу належить сценарій переходу до
хаосу через переміжність за Помо-Маневіллем [3, 4].
Останнім часом були описані сценарії переходів до хаосу, які пред-
ставляють собою різні узагальнення сценаріїв Помо-Манневілля [5–7], а
також сценарії, яким притаманні як каскади біфуркацій подвоєння пері-
одів, так і різні типи переміжності [8–10]. Однак багато питань, що сто-
суються сценаріїв переходів до хаосу, залишаються не з'ясованими.
Математична модель коливальної динамічної системи. Розг-
лянемо циліндричний бак, частково заповнений рідиною, платформа
якого збуджується деяким джерелом енергії обмеженої потужності.
Математична модель такої системи може бути записана у вигляді
наступної системи диференціальних рівнянь:
2 2 2 21
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
2 2 2 21
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
3 1 1 1
2 2 2 22
1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1
2 22
1 2 1 1
= [ ( )] ( ) ;
2
= [ ( )] ( ) 1;
2
= ;
= [ ( )] ( ) ;
2
= [ (
2
dp Ap p q p q q B p q p q p
d
dq Aq p q p q p B p q p q q
d
d N N q
d
dp Ap p q p q q B p q p q p
d
dq Aq p q
d
2 2
2 2 2 1 2 2 1 1)] ( ) ,p q p B p q p q q
(1)
Математичне та комп’ютерне моделювання
156
де фазові змінні 1 1 2 2, , ,p q p q — амплітуди коливань вільної поверхні
рідини по першій та другій домінантним модам, фазова змінна
описує функціонування джерела збудження коливань, — час,
1 3 1, , , , ,A B N N — деякі параметри. Система (1) вперше отримана у
роботах [11, 12] у яких детально описаний фізичний зміст фазових
координат та параметрів. Ця система належить до класу неідальних
за Зоммерфельдом-Кононенком динамічних систем [13]. У системах
такого типу принципово враховується нелінійний взаємозв’язок між
коливальною підсистемою та джерелом збудження коливань [13].
Зауважимо, що нехтування таким взаємозв’язком може призвести до
грубих помилок у описі динамічної поведінки системи. Зокрема, мо-
же бути втрачена інформація про реально існуючі усталені хаотичні
режими коливань [11, 12].
У великій оглядовій монографії [14] висвітлено, що система рів-
нянь (1) також використовується для моделювання коливань тонкос-
тінних оболонок, для вивчення різноманітних маятникових систем з
вібруючою точкою опори, для моделювання серцево-судинної систе-
ми і ряду інших актуальних задач сучасної нелінійної динаміки. В
залежності від розглянутої прикладної задачі фазові змінні та параме-
три мають різний фізичний або геометричний сенс.
Дослідження сценаріїв переходу до хаосу. Метою роботи є
опис нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу, які володі-
ють властивостями симетрії та узагальнюють класичні сценарії Фей-
генбаума та Помо-Маневілля.
Так як система рівнянь є нелінійною, то в загальному випад-
ку, детальне та всебічне дослідження її динаміки може бути про-
ведено тільки з використанням різних чисельних та комп’ютерних
методів. Методика проведення таких досліджень розроблена та
описана в [5, 6, 9, 15–17].
Нехай параметри системи приймають наступні значення: 1,12;A
1 11,531; 1; 0,3; 0,5B N . Проаналізуємо сценарії перехо-
дів до хаосу при зміні параметра 3N . При кожному значенні параметра
з проміжку 30,65269 0,6369N у системі одночасно існують два
однотактних стійких граничних цикла. Проекції фазових портретів
таких граничних циклів, побудовані при 3 0,64N зображені на
рис. 1 (а)–(б). При збільшенні параметра 3 0,6368N відбувається
подвоєння періодів існуючих симетричних граничних циклів з
рис. 1 (а)–(б). Проекції фазових портретів циклів подвоєних періодів
зображені на рис. 1 (в)–(г).
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17
157
а
б
в
г
Рис. 1. Проекції фазових портретів граничних циклів
при N3 = –0,64 (а)–(б), N3 = –0,6368 (в)–(г)
Рис. 2. Проекція фазового портрету хаотичного атрактора при N3 = –0,6295
Подальше збільшення значення параметра 3N призводить до ви-
никнення симетричних циклів учетвереного періоду і т.д. Такий нескін-
ченний процес подвоєння періодів кожного з існуючих граничних циклів
закінчується виникненням хаотичного атрактора при N3 = –0,6295
Математичне та комп’ютерне моделювання
158
(рис. 2). Виниклий хаотичний атрактор має складну структуру фазового
портрета, його проекція складається із двох симетричних щодо горизон-
тальної осі частин.
Амплітуди часових реалізацій даного хаотичного атрактора більш
ніж у два рази перевищують амплітуди часових реалізацій граничних
циклів каскаду біфуркацій подвоєння. Рух типової траєкторії по хаоти-
чному атрактору можна умовно розбити на дві фази. У першій із цих
фаз траєкторія робить хаотичні блукання вздовж витків верхньої (ниж-
ньої) частини атрактора. У непередбачений момент часу траєкторія
переходить із верхньої (нижньої) частини атрактора в його нижню
(верхню) частину й починає робити хаотичні блукання уздовж витків
нижньої (верхньої) частини. Потім, у непередбачений момент часу,
знову відбувається перехід траєкторії з нижньої (верхньої) частини
атрактора в його верхню (нижню) частину. Такий процес повторюється
нескінченно число разів. Таким чином перехід до хаосу має особливос-
ті характерні як для сценарію Фейгенбаума (нескінченний каскад бі-
фуркацій подвоєння симетричних граничних циклів), так і для перемі-
жності (непередбачувана переміжність між верхньою та нижньою час-
тинами виниклого хаотичного атрактора).
Розглянемо ще один тип переходу до хаосу. При кожному зна-
ченні параметру 31,2105 1,1829N в системі існують, симетри-
чні відносно горизонтальної осі, граничні цикли (рис. 3 (а)–(б)). Зміна
параметра N3, яка супроводжується виходом його значення, як через
ліву, так і через праву границі інтервалу 31,2105 1,1829N при-
зводить до зникнення обох граничних циклів і виникнення хаотично-
го атрактора. Проекція фазового портрета хаотичного атрактора тако-
го типу зображена на рис. 3 (в).
На рис. 3 (г) наведений розподіл інваріантної міри для фазового
портрета хаотичного атрактора при N3 = –1,182. Отриманий розподіл
проясняє механізм виникнення даного хаотичного атрактора. Контури
чітко прорисованої області на рис. 3 (г) за своєю формою нагадують
два «склеєних», симетричних граничних цикла. Виникнення хаосу має
багато характерних для переміжності особливостей. Однак у цьому
випадку рух траєкторії по атрактору включає три фази, дві ламінарні й
турбулентну. У першій ламінарній фазі траєкторія здійснює квазіпері-
одичні рухи в малому околі одного з «склеєних», циклів, або «верхньо-
го», або «нижнього». У непередбачений момент часу відбувається тур-
булентний сплеск і траєкторія виходить у віддалені, від околу зниклого
циклу, області фазового простору. Такій турбулентній фазі руху відпо-
відають більш світлі ділянки розподілу інваріантної міри на рис. 3 (г).
Потім траєкторія знову робить квазіперіодичні рухи в малому околі
одного зі зниклих граничних циклів. Причому, після завершення тур-
булентної фази, траєкторія може як повернутися в першу ламінарну
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17
159
фазу руху, так і перейти в другу ламінарну фазу, який відповідають
квазіперіодичні рухи в малому околі другого зі зниклих граничних ци-
клів. Такий процес руху траєкторії по атрактору типу «одна з ламінар-
них фаз — турбулентна фаза — одна з ламінарних фаз», повторюється
нескінченну кількість разів. Причому, непередбаченими є як моменти
часу «зриву», траєкторії в турбулентну фазу, так і «переключення»,
між двома ламінарними фазами. Таким чином перехід до хаосу нагадує
класичний сценарій Помо-Манневілля. Однак, на відміну від класично-
го сценарію, ми маємо не одну, а дві ламінарні фази.
а
б
в
г
Рис. 3. Проекції фазових портретів граничних циклів
при N3 = –1,183 (а)–(б); проекції фазового портрета й розподілу
інваріантної міри хаотичного атрактора при N3 = –1,182 (в)–(г)
Зауважимо, що у проведених чисельних дослідженнях вдалося
виявити й описати подібні симетричні сценарії переходу не тільки до
хаотичних, а також і до гіперхаотичних атракторів. Гіперхаотичний
атрактор відрізняється від хаотичного наявністю у спектрі ляпунов-
ських хаотичних показників щонайменше двох додатних показників,
у той час як хаотичний атрактор має лише один додатний ляпуновсь-
кий показник. Але не дивлячись на появу у гіперхаотичних атракто-
Математичне та комп’ютерне моделювання
160
рів системи додаткового напряму розбігання близьких фазових трає-
кторій описані вище симетричні сценарії переходу до хаосу залиша-
ються незмінними й при переходах до гіперхаосу.
Висновки. Таким чином у роботі вдалося виявити та описати
два нових сценарії переходу від регулярних усталених режимів до
хаотичних. Описаним сценаріям притаманна явно виражена симетрія
біфуркацій фазових портретів. В першому з цих сценаріїв спостеріга-
ється симетричне поєднання каскаду біфуркацій подвоєння періоду
та переміжності. У другому описаних сценаріїв спостерігається нети-
повий для класичної переміжності перехід до хаосу не з одною, а з
двома ламінарними фазами. Такі сценарії являють собою узагальнен-
ня класичних сценаріїв Фейгенбаума та Помо-Маневілля.
Список використаних джерел:
1. Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of nonlinear transformations /
M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. — 1978 — Vol. 19, № 1. — P. 25–52.
2. Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations /
M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. — 1979. — Vol. 21, № 6. — P. 669–706.
3. Manneville P. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems /
P. Manneville, Y. Pomeau // Physica D.: Nonlinear Phenomena. — 1980. —
Vol. 1, № 2. — P. 219–226.
4. Pomeau Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical sys-
tems / Y. Pomeau, P. Manneville // Comm. Math. Phys. — 1980. — Vol. 74,
№ 2. — P. 189–197.
5. Krasnopolskaya T. S. Dynamical chaos for a limited power supply for fluid
oscillations in cylindrical tanks / T. S. Krasnopolskaya, А. Yu. Shvets // Jour-
nal of Sound and Vibration. — 2009. — Vol. 322 (3). — P. 532–553.
6. Швец А. Ю. Особенности перехода к детерминированному хаосу в не-
идеальной гидродинамической системе «бак с жидкостью-электродвига-
тель» / А. Ю. Швец, В. А. Сиренко // Динамические системы. — 2011. —
Вып. 1 (29). — С. 113–131.
7. Shvets A. Yu. Peculiarities of transition to chaos in nonideal hydrodynamics
systems / A. Yu. Shvets, V. O. Sirenko // Chaotic Modeling and Simulation. —
2012. — Vol. 2. — P. 303–310.
8. Швець О. Ю. Різноманітність динамічних режимів неідеальних гідроди-
намічних систем при обмеженому збудженні / О. Ю. Швець, В. О. Сірен-
ко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія 1. — 2010 —
Вип. 3. — С. 200–212.
9. Швец А. Ю. Единство и разнообразие сценариев перехода к хаосу при колеба-
ниях жидкости в цилиндрических баках / А. Ю. Швец, В. А. Сиренко // Збір-
ник праць Інституту математики НАН України «Математичні проблеми ме-
ханіки та обчислювальної математики». — 2014. — Вип. 11 (4). — С. 386–398.
10. Shvets A. Yu. Complicated Scenarios of Transitions to Deterministic Chaos in
Non-Ideal Dynamic Systems / A. Yu. Shvets, V. Sirenko // Nonlinear Dynam-
ics-2016 (ND-KhPI2016) : proceedings of 5th International Conference, Sep-
tember 27–30, 2016. — Kharkov : NTU «KhPI», 2016. — P. 222–229.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17
161
11. Krasnopolskaya T. S. Regular and chaotic surface waves in a liquid in a cylin-
drical tank / T. S. Krasnopolskaya, A. Yu. Shvets // Soviet Applied
Mechanics. — 1990. — Vol. 26 (8). — P. 787–794.
12. Krasnopolskaya T. S. Chaotic surface waves in limited power–supply cylindri-
cal tank vibrations / T. S. Krasnopolskaya, А. Yu. Shvets // J. of Fluids &
Structures. — 1994. — Vol. 8 (1). — P. 1–18.
13. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением /
В. О. Кононенко. — М. : Наука, 1964. — 254 с.
14. Ibrahim R. A. Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications /
R. A. Ibrahim. — Cambridge University Press, 2005. — 970 p.
15. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах / В. С. Анищен-
ко. — М. : Наука, 2006. — 312 c.
16. Кузнецов С. П. Динамический хаос / С. П. Кузнецов. — М. : Физматлит,
2006. — 356 c.
17. Shvets A. Yu. Deterministic chaos of a spherical pendulum under limited exci-
tation / A. Yu. Shvets // Ukrainian Mathematical Journal. — 2007. —
Vol. 59 (4). — P. 602–614.
SYMMETRIC SCENARIOS OF TRANSITION TO DETERMINISTIC
CHAOS IN SYSTEMS WITH LIMITED EXCITATION
A five-dimensional deterministic dynamic system, which is used to de-
scribe the dynamic behavior of the pendulum systems, shells, tanks with liq-
uid, etc is considered. The principal feature is the non-ideality of this dynam-
ic system in Sommerfeld-Kononenko sense. In such dynamic systems, the in-
teraction between the oscillation subsystem and the source of oscillation ex-
citation is always taken into account. The main attention is on finding and
describing new scenarios of transitions from regular regimes to chaotic ones.
Based on the developed numerical technics for the study of phenomena of
deterministic chaos in dynamic systems a large complex of computer calcula-
tions for describing new scenarios of transition to chaos was carry out. Was de-
scribed the scenario of transition to chaos, which begins as a symmetrical cas-
cade of bifurcations of period-doubling of limit cycles and ends with the ap-
pearance symmetric chaotic attractor through the intermittency. That is, the re-
vealed scenario combines the characteristic features inherent in the classic sce-
narios of Feigenbaum and Pomeau–Manneville. In addition has been described
a scenario of transition to chaos through intermittency in which movement of
trajectories in a chaotic attractor includes not one laminar phase, as in the sce-
nario Pomeau-Manneville, but two symmetrical laminar phases. Moreover,
there are unpredictable transitions between two laminar phases of motion and a
turbulent phase. A thorough analysis of various characteristics of regular and
chaotic attractors of the considered dynamic system (projections of phase por-
traits, time realizations of phase variables, distribution of natural invariant
measures) was carried out on the basis of which the existence of detected sym-
metric scenarios was substantiated.
Key words: nonideal system, scenario of transition to chaos, chaotic
attractor.
Отримано: 18.05.2018
|