Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом

Наведено конструктивний опис моногенних функцій, що набувають значень у тривимірній комутативній гармонічній алгебрі з одновимірним радикалом, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Доведено, що моногенні функції мають похідні Гато усіх порядків....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Плакса, С.А., Пухтаевич, Р.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2013
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165324
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом / С.А. Плакса, Р.П. Пухтаевич // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 670–680. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165324
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1653242020-02-14T01:27:09Z Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом Плакса, С.А. Пухтаевич, Р.П. Статті Наведено конструктивний опис моногенних функцій, що набувають значень у тривимірній комутативній гармонічній алгебрі з одновимірним радикалом, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Доведено, що моногенні функції мають похідні Гато усіх порядків. We present a constructive description of monogenic functions that take values in a three-dimensional commutative harmonic algebra with one-dimensional radical by using analytic functions of complex variable. It is shown that monogenic functions have the Gâteaux derivatives of all orders. 2013 Article Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом / С.А. Плакса, Р.П. Пухтаевич // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 670–680. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165324 517.96 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Плакса, С.А. Пухтаевич, Р.П. Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом Український математичний журнал
description	Наведено конструктивний опис моногенних функцій, що набувають значень у тривимірній комутативній гармонічній алгебрі з одновимірним радикалом, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Доведено, що моногенні функції мають похідні Гато усіх порядків.
format	Article
author	Плакса, С.А. Пухтаевич, Р.П.
author_facet	Плакса, С.А. Пухтаевич, Р.П.
author_sort	Плакса, С.А.
title	Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом
title_short	Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом
title_full	Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом
title_fullStr	Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом
title_full_unstemmed	Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом
title_sort	конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165324
citation_txt	Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом / С.А. Плакса, Р.П. Пухтаевич // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 670–680. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom AT puhtaevičrp konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom
first_indexed	2025-07-14T18:19:43Z
last_indexed	2025-07-14T18:19:43Z
_version_	1837647459459792896
fulltext	УДК 517.96 С. А. Плакса, Р. П. Пухтаевич (Ин-т математики НАН Украины, Киев) КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ С ОДНОМЕРНЫМ РАДИКАЛОМ We present a constructive description of monogenic functions that take values in a three-dimensional commutative harmonic algebra with one-dimensional radical by using analytic functions of a complex variable. It is proved that monogenic functions have the Gâteaux derivatives of all orders. Наведено конструктивний опис моногенних функцiй, що набувають значень у тривимiрнiй комутативнiй гармо- нiчнiй алгебрi з одновимiрним радикалом, за допомогою аналiтичних функцiй комплексної змiнної. Доведено, що моногеннi функцiї мають похiднi Гато усiх порядкiв. Эффективность применения методов теории аналитических функций комплексной переменной к исследованию плоских потенциальных полей побуждает математиков к развитию аналогич- ных методов для пространственных полей. В работах [1 – 7] рассмотрены некоторые коммутативные ассоциативные алгебры, в которых существуют тройки линейно независимых элементов, удовлетворяющие условиям e2 1 + e2 2 + e2 3 = 0, e2 k 6= 0 при k = 1, 2, 3 . (1) Такие алгебры называют гармоническими (см. [1, 4, 6]). В работе [1] показано, что каждая функция Φ(ζ), представимая в виде ряда по степеням переменной ζ := xe1 + ye2 + ze3 с действительными x, y, z, вследствие равенства (1) удовле- творяет равенствам ( ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 ) Φ(ζ) = Φ′′(ζ) (e2 1 + e2 2 + e2 3) = 0 (2) (здесь Φ′′(ζ) — результат формального двойного дифференцирования упомянутого ряда), а следовательно, и трехмерному уравнению Лапласа. В работе [2] развит метод формального конструирования решений трехмерного уравне- ния Лапласа с использованием степенных рядов в любой гармонической алгебре над полем комплексных чисел. В работе [3] показано, что для каждой дважды дифференцируемой по Гато функции Φ(ζ) выполняются равенства (2), в которых Φ′′(ζ) — производная Гато второго порядка, и доказано, что трехмерные гармонические алгебры с единицей существуют только над полем комплексных чисел. В работе [4] найдены все трехмерные гармонические алгебры с единицей, а в моногра- фии [6] описаны все гармонические базисы {e1, e2, e3} в них, удовлетворяющие условиям (1). В работе [7] рассмотрены моногенные (т. е. непрерывные и дифференцируемые по Гато функции) в одной из гармонических алгебр, а именно: в трехмерной гармонической алгебре A3 с двумерным радикалом. При этом, опираясь на разложение алгебры моногенных функций в прямую сумму алгебры главных продолжений аналитических функций комплексной перемен- ной и алгебры моногенных функций, принимающих значения в максимальном идеале алгебры c© С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ, 2013 670 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 671 A3 (см. также [8, 9]), получено конструктивное описание всех моногенных функций с помо- щью аналитических функций комплексной переменной и, как следствие, доказана бесконечная дифференцируемость по Гато всех моногенных функций. Ниже рассматриваются моногенные функции в трехмерной гармонической алгебре A2 с од- номерным радикалом, устанавливается их конструктивное описание с помощью аналитических функций комплексной переменной и бесконечная дифференцируемость по Гато. Отметим, что в отличие от случаев, изученных в работах [7 – 9], главные продолжения аналитических функций комплексной переменной, вообще говоря, не определены в той области, где рассматриваются заданные моногенные функции. 1. Предварительные сведения. Рассмотрим коммутативную ассоциативную алгебру A2 над полем комплексных чисел C с базисом {I1, I2, ρ}, для элементов которого выполняются правила умножения: I1 2 = I1, I2 2 = I2, I1I2 = ρ2 = I1ρ = 0, I2ρ = ρ, (3) при этом единица алгебры представляется в виде 1 = I1 + I2. В теореме 1.8 из [6] показано, что в алгебреA2 гармоническими являются базисы {e1, e2, e3}, разложения которых по базису {I1, I2, ρ} имеют вид e1 = I1 + I2, e2 = n1I1 + n2I2 + n3ρ, e3 = m1I1 +m2I2 +m3ρ, (4) где nk,mk при k = 1, 2, 3 — комплексные числа, удовлетворяющие системе 1 + n2 1 +m2 1 = 0, 1 + n2 2 +m2 2 = 0, n2n3 +m2m3 = 0, m3(n2 − n1) + n3(m1 −m2) 6= 0, (5) и хотя бы одно из чисел в каждой из пар (n1, n2), (m1,m2) отлично от нуля. При этом умноже- нием элементов гармонических базисов вида (4) на произвольные обратимые элементы алгебры могут быть получены все гармонические базисы в алгебре A2 (см. [6, c. 35]). Алгебра A2 содержит два максимальных идеала I1 := {α1I2 + α2ρ : α1, α2 ∈ C}, I2 := := {β1I1 + β2ρ : β1, β2 ∈ C}, пересечением которых является одномерный радикал {γρ : γ ∈ ∈ C} . Определим два линейных функционала f1 : A2 → C и f2 : A2 → C, положив f1(I1) = 1, f1(I2) = f1(ρ) = 0 (6) и f2(I2) = 1, f2(I1) = f2(ρ) = 0. (7) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 672 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ Ядрами функционалов f1 и f2 являются соответственно максимальные идеалы I1 и I2, поэтому указанные функционалы являются непрерывными и мультипликативными (см. [10, c. 147]). Выделим в алгебре A2 линейную оболочку E3 := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : x, y, z ∈ R} над полем действительных чисел R, порожденную векторами гармонического базиса {e1, e2, e3}. Области Ω трехмерного пространства R3 поставим в соответствие конгруэнтную область Ωζ := := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ Ω} в E3. Всюду в дальнейшем ζ := xe1 + ye2 + ze3 и x, y, z ∈ R . Непрерывная функция Φ : Ωζ → A2 называется моногенной в области Ωζ ⊂ E3, если Φ дифференцируема по Гато в каждой точке этой области, т. е. если для каждого ζ ∈ Ωζ существует элемент Φ′(ζ) алгебры A2 такой, что выполняется равенство lim ε→0+0 (Φ(ζ + εh)− Φ(ζ)) ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ E3. (8) Φ′(ζ) называется производной Гато функции Φ в точке ζ. Рассмотрим разложение функции Φ : Ωζ → A2 по базису {e1, e2, e3} : Φ(ζ) = U1(x, y, z)e1 + U2(x, y, z)e2 + U3(x, y, z)e3 . (9) В предположении, что функции Uk : Ω → C, k = 1, 2, 3, являются дифференцируемыми в области Ω, т. е. во всех точках (x, y, z) ∈ Ω выполняются соотношения Uk(x+ ∆x, y + ∆y, z + ∆z)− Uk(x, y, z) = ∂Uk(x, y, z) ∂x ∆x+ + ∂Uk(x, y, z) ∂y ∆y + ∂Uk(x, y, z) ∂z ∆z + o (√ (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 ) , (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 → 0, в теореме 1.3 из [6] установлены необходимые и достаточные условия моногенности функции Φ (аналоги условий Коши – Римана), которые всюду в области Ωζ в свернутом виде выражаются равенствами ∂Φ ∂y = ∂Φ ∂x e2, ∂Φ ∂z = ∂Φ ∂x e3. (10) Ниже будет показано, что из моногенности функции Φ : Ωζ → A2 следует бесконечная дифференцируемость компонент U1, U2, U3 разложения (9) в области Ω. Из разложения резольвенты (t− ζ)−1 = 1 t− x− n1y −m1z I1 + 1 (t− x− n2y −m2z) I2 + y (t− x− n2y −m2z)2 ρ, (11) ∀ t ∈ C : t 6= x+ n1y +m1z, t 6= x+ n2y +m2z, следует, что точки (x, y, z) ∈ R3, соответствующие необратимым элементам ζ ∈ A2, лежат на прямых ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 673 L1 : x+ yRen1 + zRem1 = 0, y Imn1 + z Imm1 = 0, (12) L2 : x+ yRen2 + zRem2 = 0, y Imn2 + z Imm2 = 0 (13) в трехмерном пространстве R3. Прямые L1 и L2 имеют, по крайней мере, одну общую точку (0, 0, 0), но могут и совпадать. Например, для гармонического базиса e1 = 1, e2 = i √ 2I1 − i √ 2I2 − iρ, e3 = I1 + I2 + √ 2ρ имеет место равенство L1 = L2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = 0, y = 0}. 2. Вспомогательные утверждения. Область Ω ⊂ R3 называют выпуклой в направлении прямой L, если она содержит каждый отрезок, соединяющий две ее точки и параллельный прямой L. Лемма 1. Пусть область Ω ⊂ R3 является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2, а функция Φ: Ωζ → A2 моногенна в области Ωζ . Если точки ζ1, ζ2 ∈ Ωζ такие, что ζ1 − ζ2 ∈ ∈ {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ L1}, то Φ(ζ1)− Φ(ζ2) ∈ I1. (14) Если же точки ζ1, ζ2 ∈ Ωζ такие, что ζ1 − ζ2 ∈ {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ L2}, то Φ(ζ1)− Φ(ζ2) ∈ I2. (15) Соотношение (14) доказывается по схеме доказательства леммы 1 работы [7], в котором вместо прямой L надо взять прямую L1, а вместо функционала f нужно использовать функци- онал f1. Аналогично доказывается соотношение (15) с заменой L1 и f1 соответственно на L2 и f2. Пусть область Ω является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2. Обозначим через D1 и D2 области в C, на которые область Ωζ отображается соответственно функционалами f1 и f2. Введем в рассмотрение линейный оператор A1, который каждой моногенной функции Φ: Ωζ → A2 ставит в соответствие аналитическую функцию F1 : D1 → C по формуле F1(ξ1) := f1(Φ(ζ)) , (16) где ξ1 := f1(ζ) = x+n1y+m1z и ζ ∈ Ωζ . Из леммы 1 следует, что значение F1(ξ1) не зависит от выбора точки ζ, для которой f1(ζ) = ξ1 . Введем также в рассмотрение линейный операторA2, который каждой моногенной функции Φ: Ωζ → A2 ставит в соответствие аналитическую функцию F2 : D2 → C по формуле F2(ξ2) := f2(Φ(ζ)) , (17) где ξ2 := f2(ζ) = x+ n2y +m2z и ζ ∈ Ωζ . Из леммы 1 следует также, что значения F2(ξ2) не зависят от выбора точки ζ, для которой f2(ζ) = ξ2 . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 674 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ В работах [7 – 9] в некоторых конкретных коммутативных алгебрах построены в явном виде подобно равенствам (16) и (17) операторы A, отображающие моногенные функции Φ со значе- ниями в этих алгебрах на аналитические функции комплексной переменной. Далее, в указанных работах использованы главные продолжения аналитических функций комплексной переменной как обобщенно обратные кA операторыA(−1), удовлетворяющие равенствуAA(−1)A = A.При этом было установлено, что для каждой моногенной функции Φ значения моногенной функции Φ − A(−1)AΦ принадлежат некоторому максимальному идеалу I заданной алгебры. Наконец, после описания всех моногенных функций со значениями в идеале I в работах [7, 9] получены конструктивные описания всех моногенных функций Φ с помощью аналитических функций комплексной переменной. Отметим, что главные продолжения аналитических функций комплексной переменной в определенную область линейной оболочки E3 ⊂ A2 построены в явном виде в теореме 1.9 из [6]. Однако, операторы, обобщенно обратные к операторам A1 и A2, не могут быть заданы с помощью главных продолжений аналитических функций комплексной переменной, поскольку эти продолжения, вообще говоря, не определены в области Ωζ , где рассматриваются заданные моногенные функции Φ: Ωζ → A2. Перейдем к построению операторов, обобщенно обратных к операторам A1 и A2. Введем в рассмотрение оператор B1, который каждой аналитической функции F1 : D1 → C ставит в соответствие функцию Φ1 : Ωζ → A2 по формуле Φ1(ζ) := F1(ξ1)I1 ∀ ζ ∈ Ωζ , ξ1 = f1(ζ), (18) и оператор B2, который каждой аналитической функции F2 : D2 → C ставит в соответствие функцию Φ2 : Ωζ → A2 вида Φ2(ζ) := F2(ξ2)I2 + (n3y +m3z)F ′ 2(ξ2)ρ ∀ ζ ∈ Ωζ , ξ2 = f2(ζ). (19) Лемма 2. Пусть область Ω является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2, а F1 : D1 → C и F2 : D2 → C — аналитические функции, заданные соответственно в облас- тях D1 и D2. Тогда (18) и (19) — моногенные функции в области Ωζ . Доказательство. Покажем, что для функции (18) в области Ωζ выполняются условия (10), которые при Φ = Φ1 с учетом соотношений (3), (4) принимают вид ∂F1(ξ1) ∂y I1 = n1 ∂F1(ξ1) ∂x I1 , ∂F1(ξ1) ∂z I1 = m1 ∂F1(ξ1) ∂x I1 . (20) С этой целью выделим действительную и мнимую части выражения ξ1 = (x+ yRen1 + zRem1) + i(y Imn1 + z Imm1) := τ1 + iη1 (21) и запишем систему (20) в виде( ∂F1 ∂τ1 Ren1 + ∂F1 ∂η1 Imn1 ) I1 = n1 ∂F1 ∂τ1 I1 ,( ∂F1 ∂τ1 Rem1 + ∂F1 ∂η1 Imm1 ) I1 = m1 ∂F1 ∂τ1 I1 . (22) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 675 Теперь очевидно, что равенства (22) являются следствием классических условий Коши – Римана для аналитической функции F1 : D1 → C, которые в свернутом виде выражаются равенством ∂F1 ∂η1 = i ∂F1 ∂τ1 . Следовательно, функция (18) является моногенной в области Ωζ . Покажем также, что для функции (19) в области Ωζ выполняются условия (10), которые при Φ = Φ2 с учетом соотношений (3), (4) принимают вид ∂F2(ξ2) ∂y I2 + ( n3F ′ 2(ξ2) + (n3y +m3z) ∂F ′2(ξ2) ∂y ) ρ = = n2 ∂F2(ξ2) ∂x I2 + ( n3 ∂F2(ξ2) ∂x + n2(n3y +m3z) ∂F ′2(ξ2) ∂x ) ρ , ∂F2(ξ2) ∂z I2 + ( m3F ′ 2(ξ2) + (n3y +m3z) ∂F ′2(ξ2) ∂z ) ρ = = m2 ∂F2(ξ2) ∂x I2 + ( m3 ∂F2(ξ2) ∂x +m2(n3y +m3z) ∂F ′2(ξ2) ∂x ) ρ . (23) Выделим действительную и мнимую части выражения ξ2 = (x+ yRen2 + zRem2) + i(y Imn2 + z Imm2) := τ2 + iη2 (24) и аналогично равенствам (20) установим, что следствием классических условий Коши – Римана ∂F2 ∂η2 = i ∂F2 ∂τ2 для аналитической функции F2 : D2 → C являются равенства ∂F2(ξ2) ∂y = n2 ∂F2(ξ2) ∂x , ∂F2(ξ2) ∂z = m2 ∂F2(ξ2) ∂x , (25) а также равенства ∂F ′2(ξ2) ∂y = n2 ∂F ′2(ξ2) ∂x , ∂F ′2(ξ2) ∂z = m2 ∂F ′2(ξ2) ∂x . (26) Кроме того, справедливо тождество F ′2(ξ2) ≡ ∂F2(ξ2) ∂x . (27) Теперь очевидным следствием соотношений (25) – (27) являются равенства (23). Таким об- разом, функция (19) является моногенной в области Ωζ . Лемма доказана. Из леммы 2 следует, что обобщенно обратные операторы к операторам A1 и A2 задаются соответственно равенствами A(−1) 1 = B1 и A(−1) 2 = B2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 676 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ Заметим, что главное продолжение функции F : D → C, аналитической в жордановой области D ⊂ C, определено в области {ζ ∈ E3 : f1(ζ) ∈ D, f2(ζ) ∈ D} и представляется суммой (ср. с [6, с. 37]): 1 2πi ∫ Γζ F (t) (t− ζ)−1 dt = (B1F )(ζ) + (B2F )(ζ) , где замкнутая жорданова спрямляемая кривая Γζ лежит в области D и охватывает точки f1(ζ) и f2(ζ). 3. Конструктивное описание моногенных функций в алгебре A2. Справедлив следу- ющий аналог теоремы 1 из [7] (см. также теорему 2.4 из [6]) для моногенных функций Φ: Ωζ → A2. Теорема 1. Пусть область Ω является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2. Тогда каждая моногенная в области Ωζ функция Φ: Ωζ → A2 представляется в виде Φ(ζ) = (B1A1Φ)(ζ) + Φ10(ζ) = (B2A2Φ)(ζ) + Φ20(ζ) , где Φ10 : Ωζ → I1 и Φ20 : Ωζ → I2 — некоторые моногенные в области Ωζ функции, принима- ющие значения соответственно в идеалах I1 и I2. Доказательство. Рассмотрим функцию Φ10 := Φ−B1A1Φ, которая в силу леммы 2 явля- ется моногенной в области Ωζ . Учитывая равенства (16), (18) и (6), получаем f1(Φ10(ζ)) = f1(Φ(ζ))− f1(B1A1Φ(ζ)) = F1(ξ)− F1(ξ) = 0, т. е. Φ10(ζ) ∈ I1. Аналогично устанавливается, что функция Φ20 := Φ − B2A2Φ является моногенной в области Ωζ и Φ20(ζ) ∈ I2. Теорема доказана. В следующей теореме описаны все моногенные функции, принимающие значения в идеале I1 алгебры A2, с помощью аналитических функций соответствующей комплексной переменной. Теорема 2. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямой L2. Тогда каждая моногенная функция Φ10 : Ωζ → I1 со значениями в идеале I1 представляется в виде Φ10(ζ) = F11(ξ2) I2 + ( F12(ξ2) + (n3y +m3z)F ′ 11(ξ2) ) ρ (28) ∀ ζ = xe1 + ye2 + ze3 ∈ Ωζ , где F11 : D2 → C, F12 : D2 → C — некоторые аналитические в области D2 функции и ξ2 := := x+ n2y +m2z. Доказательство. Поскольку Φ10 принимает значения в идеале I1, справедливо равенство Φ10(ζ) = V1(x, y, z) I2 + V2(x, y, z) ρ , (29) где Vk : Ω→ C при k = 1, 2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 677 Из моногенности функции Φ10 в области Ωζ следует существование частных производных ∂Φ10 ∂x , ∂Φ10 ∂y , ∂Φ10 ∂z , удовлетворяющих условиям (10) при Φ = Φ10. Подставляя в них выра- жения (4), (29), а также учитывая однозначность разложения элементов алгебры A2 по базису {I1, I2, ρ}, получаем систему уравнений для нахождения функций V1, V2: ∂V1 ∂y = n2 ∂V1 ∂x , ∂V2 ∂y = n2 ∂V2 ∂x + n3 ∂V1 ∂x , ∂V1 ∂z = m2 ∂V1 ∂x , ∂V2 ∂z = m2 ∂V2 ∂x +m3 ∂V1 ∂x . (30) Используя соотношение (24) и тот факт, что Imn2 и Imm2 одновременно не могут быть равными нулю для гармонического базиса (4), из первого и третьего уравнений системы (30) получаем равенство ∂V1 ∂η2 = i ∂V2 ∂τ2 . (31) Теперь так же, как и при доказательстве теоремы 2 из [7], с использованием теоремы 6 из [11] доказывается равенство V1(x1, y1, z1) = V1(x2, y2, z2) для точек (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ Ω таких, что отрезок, соединяющий эти точки, параллелен прямой L2. Из указанного равенства и равенства (31) следует, что функция V1(x, y, z) := F11(ξ2), где F11 — произвольная аналити- ческая в области D2 функция, является общим решением системы ∂V1 ∂y − n2 ∂V1 ∂x = 0 , ∂V1 ∂z −m2 ∂V1 ∂x = 0 , (32) состоящей из первого и третьего уравнений системы (30). Далее, из второго и четвертого уравнений системы (30) для нахождения функции V2(x, y, z) получаем систему уравнений ∂V2 ∂y − n2 ∂V2 ∂x = n3 ∂F11 ∂x , ∂V2 ∂z −m2 ∂V2 ∂x = m3 ∂F11 ∂x . (33) Ее частным решением является функция v2(x, y, z) := (n3y +m3z)F ′ 11(ξ2) . Следовательно, общее решение системы (33) представляется как сумма ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы, аналогичной системе (32), в виде ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 678 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ V2(x, y, z) = F12(ξ2) + (n3y +m3z)F ′ 11(ξ2), где F12 — произвольная аналитическая в области D2 функция. Теорема доказана. В следующей теореме описаны все моногенные функции, принимающие значения в идеале I2 алгебры A2, с помощью аналитических функций соответствующей комплексной переменной. Теорема 3. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямых L1 и L2. Тогда каждая моногенная функция Φ20 : Ωζ → I2 со значениями в идеале I2 представляется в виде Φ20(ζ) = F21(ξ1) I1 + F22(ξ2)ρ ∀ ζ = xe1 + ye2 + ze3 ∈ Ωζ , (34) где F21 : D1 → C, F22 : D2 → C — некоторые функции, аналитические соответственно в областях D1, D2, и ξ1 := x+ n1y +m1z, ξ2 := x+ n2y +m2z. Доказательство. Функция Φ20, принимающая значения в идеале I2, представляется в виде Φ20(ζ) = W1(x, y, z) I1 +W2(x, y, z) ρ , (35) где Wk : Ω→ C при k = 1, 2. Из моногенности функции Φ20 в области Ωζ следует существование частных производных ∂Φ20 ∂x , ∂Φ20 ∂y , ∂Φ20 ∂z , удовлетворяющих условиям (10) при Φ = Φ20. Подставляя в них выра- жения (4), (35), а также учитывая однозначность разложения элементов алгебры A2 по базису {I1, I2, ρ}, получаем систему уравнений для нахождения функций W1, W2 : ∂W1 ∂y = n1 ∂W1 ∂x , ∂W2 ∂y = n2 ∂W2 ∂x , ∂W1 ∂z = m1 ∂W1 ∂x , ∂W2 ∂z = m2 ∂W2 ∂x . Таким же способом, как при доказательстве теоремы 2 найдена функция V1, получаем W2(x, y, z) := F22(ξ2), где F22 — произвольная аналитическая в области D2 функция. Ана- логично устанавливаем, что W1(x, y, z) := F21(ξ1), где F21 — произвольная аналитическая в области D1 функция. Теорема доказана. Из теоремы 1 и равенств (18), (19), (28), (34) следует, что в случае, когда область Ω яв- ляется выпуклой в направлении прямых L1 и L2, каждая моногенная функция Φ: Ωζ → A2 представляется равенствами Φ(ζ) = F1(ξ1)I1 + F11(ξ2) I2 + ( F12(ξ2) + (n3y +m3z)F ′ 11(ξ2) ) ρ , (36) Φ(ζ) = F21(ξ1) I1 + F2(ξ2)I2 + ( (n3y +m3z)F ′ 2(ξ2) + F22(ξ2) ) ρ . (37) Из равенств (36), (37) и единственности разложения элементов алгебры A2 по базису {I1, I2, ρ} следуют равенства F1(ξ1) = F21(ξ1) , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 679 F2(ξ2) = F11(ξ2) , F12(ξ2) = F22(ξ2) . Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 4. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямых L1 и L2. Тогда каждая моногенная функция Φ: Ωζ → A2 представляется в виде Φ(ζ) = F1(ξ1) I1 + F2(ξ2)I2 + ( (n3y +m3z)F ′ 2(ξ2) + F0(ξ2) ) ρ (38) ∀ ζ = xe1 + ye2 + ze3 ∈ Ωζ , где F1 — некоторая аналитическая в областиD1 функция, F0 и F2 — некоторые аналитические в области D2 функции, ξ1 := x+ n1y +m1z и ξ2 := x+ n2y +m2z. Отметим, что равенство (38) указывает способ явного построения любой из моногенных функций Φ: Ωζ → A2 с помощью трех соответствующих аналитических функций комплексной переменной. Следующее утверждение вытекает непосредственно из равенства (38), правая часть кото- рого является моногенной функцией в области Xζ := {ζ ∈ E3 : f1(ζ) ∈ D1, f2(ζ) ∈ D2}. Теорема 5. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямых L1 и L2, а функ- ция Φ: Ωζ → A2 моногенна в области Ωζ . Тогда Φ продолжается до функции, моногенной в области Xζ . Принципиальным следствием равенства (38) является также следующее утверждение, спра- ведливое для произвольной области Ωζ . Теорема 6. Пусть функция Φ: Ωζ → A2 моногенна в области Ωζ . Тогда производные Гато всех порядков функции Φ являются моногенными функциями в области Ωζ . Доказательство. Поскольку шар Θ с центром в произвольной точке (x0, y0, z0) ∈ Ω, целиком содержащийся в области Ω, является выпуклой областью, в окрестности Θζ := := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ Θ} точки ζ0 = x0e1 + y0e2 + z0e3 справедливо разложе- ние (38), компоненты которого — бесконечно дифференцируемые функции в области Θ. Поэто- му и компоненты U1, U2, U3 разложения (9), являющиеся линейными комбинациями указанных компонент разложения (38), также являются бесконечно дифференцируемыми функциями в области Θ. Следовательно, производная Гато Φ′, удовлетворяющая в Θζ условиям вида (10), является моногенной функцией и производные Гато всех порядков функции Φ также являются моногенными функциями в Θζ . Теорема доказана. В силу теоремы 6 и соотношений (1) выполняются равенства (2), т. е. произвольная моно- генная в области Ωζ функция Φ(ζ) удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа, а веще- ственные и мнимые части компонент U1, U2, U3 разложения (9) образуют шестерку простран- ственных гармонических функций в области Ω . 1. Ketchum P. W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30, № 4. – P. 641 – 667. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 680 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ 2. Kunz K. S. Application of an algebraic technique to the solution of Laplace’s equation in three dimensions // SIAM J. Appl. Math. – 1971. – 21, № 3. – P. 425 – 441. 3. Мельниченко И. П. О представлении моногенными функциями гармонических отображений // Укр. мат. журн. – 1975. – 27, № 5. – С. 606 – 613. 4. Мельниченко И. П. Алгебры функционально-инвариантных решений трехмерного уравнения Лапласа // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 9. – С. 1284 – 1290. 5. Плакса С. А. Условия Коши – Римана для пространственных гармонических функций // Зб. праць Iн-ту мате- матики НАН України. – 2006. – 3, № 4. – C. 396 – 403. 6. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Коммутативные алгебры и пространственные потенциальные поля. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 230 с. 7. Плакса С. А., Шпаковский В. С. Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – С. 1078 – 1091. 8. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Потенциальные поля с осевой симметрией и алгебры моногенных функций векторного аргумента. III // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 2. – C. 228 – 243. 9. Грищук С. В., Плакса С. А. Моногенные функции в бигармонической алгебре // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 12. – С. 1587 – 1596. 10. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 829 с. 11. Толстов Г. П. О криволинейном и повторном интеграле // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1950. – 35. – C. 3 – 101. Получено 28.03.12 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5

Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом

Репозитарії

Схожі ресурси