Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями

Стаття присвячена контактним задачам для штампів циліндричної та кільцевої форми з попередньо напруженими тілами без врахування сил тертя. До цих задач належать задача про тиск пружного кільцевого штампа на півпростір з початковими напруженнями та задача про тиск двох попередньо напружених півпрост...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
Hauptverfasser:	Бабич, С.Ю., Ярецька, Н.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2023
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/195863
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями / С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 23-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-195863
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1958632023-12-07T16:15:54Z Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О. Механіка Стаття присвячена контактним задачам для штампів циліндричної та кільцевої форми з попередньо напруженими тілами без врахування сил тертя. До цих задач належать задача про тиск пружного кільцевого штампа на півпростір з початковими напруженнями та задача про тиск двох попередньо напружених півпросторів на пружний циліндричний штамп з початковими напруженнями. Дослідження питань контактної взаємодії твердих тіл, до яких відноситься тематика даної роботи, представлена досить актуальною проблемою, оскільки одним із найбільш поширених на практиці способів передачі зовнішніх навантажень є контактна взаємодія. Дослідження виконано у загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та двох варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу. Для дослідження задач використовується велика кількість фундаментальних результатів: перетворення Ханкеля, парні інтегральні рівняння, ортогональні поліноми та інші методи теорії контактних задач лінеаризованої теорії пружності. This article addresses contact problems involving cylindrical and ring punches interacting with pre-stressed bodies, without considering frictional forces. Specifically, it focuses on the pressure exerted by an elastic ring punch on a half-space with initial stresses and the pressure exerted by two pre-stressed half-spaces on an elastic cylindrical punch with initial stresses. Investigating the contact interaction of punches, which forms the main objective of this work, is highly relevant, as contact interaction is one of the most common methods of transmitting external loads in practical applications. The research was conducted within the framework of the theory of large initial (ultimate) deformations and two variants of the theory of small initial deformations, based on the linearized theory of elasticity with an elastic potential of arbitrary structure. Various fundamental results were employed in the analysis, including Hankel’s transformations, integral equations, orthogonal polynomials, and other methods from the contact problem theory of the linearized theory of elasticity. 2023 Article Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями / С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 23-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.023 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/195863 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О. Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями Доповіді НАН України
description	Стаття присвячена контактним задачам для штампів циліндричної та кільцевої форми з попередньо напруженими тілами без врахування сил тертя. До цих задач належать задача про тиск пружного кільцевого штампа на півпростір з початковими напруженнями та задача про тиск двох попередньо напружених півпросторів на пружний циліндричний штамп з початковими напруженнями. Дослідження питань контактної взаємодії твердих тіл, до яких відноситься тематика даної роботи, представлена досить актуальною проблемою, оскільки одним із найбільш поширених на практиці способів передачі зовнішніх навантажень є контактна взаємодія. Дослідження виконано у загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та двох варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу. Для дослідження задач використовується велика кількість фундаментальних результатів: перетворення Ханкеля, парні інтегральні рівняння, ортогональні поліноми та інші методи теорії контактних задач лінеаризованої теорії пружності.
format	Article
author	Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О.
author_facet	Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О.
author_sort	Бабич, С.Ю.
title	Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями
title_short	Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями
title_full	Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями
title_fullStr	Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями
title_full_unstemmed	Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями
title_sort	контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2023
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/195863
citation_txt	Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями / С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 23-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT babičsû kontaktnazadačadlâpružnihpoperednʹonapruženihcilíndrívkrugovogopoperečnogopererízusucílʹnogotakílʹcevogotapívprostorívzpočatkoviminapružennâmi AT ârecʹkano kontaktnazadačadlâpružnihpoperednʹonapruženihcilíndrívkrugovogopoperečnogopererízusucílʹnogotakílʹcevogotapívprostorívzpočatkoviminapružennâmi
first_indexed	2025-07-17T00:07:37Z
last_indexed	2025-07-17T00:07:37Z
_version_	1837850540882526208
fulltext	23 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3: 23—30 Ц и т у в а н н я: Бабич С.Ю., Ярецька Н.О. Контактна задача для пружних попередньо напружених цилін- дрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напружен- нями. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3. С. 23—30. https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.023 © Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2023. Стаття опублікована за умовами відкритого до- ступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) МЕХАНІКА MECHANICS https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.023 УДК 539.3 С.Ю. Бабич1, https://orcid.org/0000-0003-2642-9115 Н.О. Ярецька2, https://orcid.org/0000-0002-3726-2878 1 Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ 2 Хмельницький нацiональний унiверситет, Хмельницький E-mail: prikl@inmech.kiev.ua, yaretskano@khmnu.edu.ua Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями Представлено академіком НАН України В.М. Назаренком Стаття присвячена контактним задачам для штампів циліндричної та кільцевої форми з попередньо напруженими тілами без врахування сил тертя. До цих задач належать задача про тиск пружного кіль- цевого штампа на півпростір з початковими напруженнями та задача про тиск двох попередньо напру- жених півпросторів на пружний циліндричний штамп з початковими напруженнями. Дослідження питань контактної взаємодії твердих тіл, до яких відноситься тематика даної роботи, представлена досить актуальною проблемою, оскільки одним із найбільш поширених на практиці способів передачі зовнішніх навантажень є контактна взаємодія. Дослідження виконано у загальному вигляді для теорії великих по- чаткових деформацій та двох варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу. Для дослідження задач використовується велика кількість фундаментальних резуль- татів: перетворення Ханкеля, парні інтегральні рівняння, ортогональні поліноми та інші методи теорії контактних задач лінеаризованої теорії пружності. Ключові слова: лінеаризована теорія пружності, початкові (залишкові) напруження, контактні задачі, кільцевий штамп, циліндричний штамп, півпростір. До проблем, які відносяться до контактних задач для пружних і пластичних тіл без враху- вання початкових напружень, на даний час одержані результати з широкого кола питань. Всі вони відображені у чисельних виданнях монографічного та навчального характеру, а також у багатьох періодичних виданнях. 24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3 С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька Оскільки практично в усіх елементах сучасних конструкцій і деталях машин присутні початкові напруження, то актуальність досліджень контактної взаємодії з врахування по- чаткових напружень очевидна. Як відомо з [1—5], початкові напруження істотно вплива- ють на основні характеристики контактної взаємодії, особливо для нестисливих тіл. Основні результати з теорії контактних задач з урахуванням початкових напружень отримані в роботах [1, 2]. А число публікацій з контактної взаємодії попередньо напруже- них тіл неперервно зростає, що свідчить про актуальність таких досліджень. В даній статті розглядається задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу (суцільного та кільцевого) та півпросторів з початковими напруженнями без врахування сил тертя. Оскільки в лінійній механіці матеріалів не можна врахувати початкові напруження, то для їх врахування застосовують загальну нелінійну теорію пружності. Але в цьому ви- падку практично неможливо одержати розв’язок у доступному вигляді. Тому при досить значних початкових напруженнях краще скористатись лінеаризованим варіантом [1, 2]. Тому у [3, 4], як і у даній статті, дослідження виконано у загальному вигляді для стисливих та нестисливих тіл для теорії великих (кінцевих) початкових деформацій та двох варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу. Нехай пружні тверді тіла контактно взаємодіють із пружним циліндричним або кільце- вим штампом. Будемо вважати, що поверхні поза межею контакту залишаються вільними від впливу зовнішніх сил, а на межі контакту переміщення та напруження — неперервні. Для дослідження застосовуємо координати деформівного стану Oyі ( 1, 3)i  , які пов’язані з лагранжевими координатами xi ( 1, 3)i  співвідношеннями: i i iy x  , ( 1, 3)i  , де i ( 1, 3)i  — коефіцієнти видовження, що визначають переміщення початкового стану, consti  . Вісь y3 спрямована по нормалі до межі контакту. У дослідженні розглядаємо пружні ізотропні тіла (стисливі або нестисливі) з довільною формою пружного потенціалу [1]. У випадку ортотропних тіл вважаємо, що пружно-еквіва- лентні напрямки збігаються з напрямком осей координат у деформованому стані уі ( 1, 3)i  . Нехай початковий деформований стан є однорідним, а межа контакту пружних тіл розміщується у площині 3 consty  . Будемо вважати, що початкові напруження діють вздовж межі контакту. Будемо вважати, що початкові стани тіл, що взаємодіють — однорідні, й для них ви- конуються співвідношення [1—3] 0 0 –1, ( 1) , ( , 1, 3)m m m m mi m i iy x U U y i m        , де mi — символ Кронекера. Тоді основне рівняння у переміщеннях [1, 2] для стисливих тіл має вигляд 0,mL U   2 m ij iL y y        ( , , , =1, 3)i m   , (1) а для нестисливих тіл виконується умова нестисливості 20, ,m m m im iL U q p y L y y                   (2) 0, ( , , , , =1, 3)ij j i ij i ijq U y q q i j m        . 25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3 Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу... Вирази для компонент тензора напружень для стисливих і нестисливих тіл при constiy  (і=1, 2, 3) матимуть вигляд ' ' ' ' äëÿ ñòè ñëè âè õ ò³ë äëÿ í åñòè ñëè âè õ ò³ë — , — , ij ij ij ij U ó Q U q p ó               ' 1 2 3 ' 1 2 3 , , i ij ij i ij ij                       де 0 0 0 0 0 0 11 22 33 11 22 33( , , ), ( , , )im im im imS S S S S S            — складові тензора модулів пруж- ності четвертого порядку. При однорідних початкових напруженнях має місце умова: 11 22 0 0 0;S S  33 0 0;S  1 2 3     . (3) Враховуючи (3), розв’язок рівнянь (1), (2) представимо через функцію  , яка у цилін- дричних координатах (r, θ, y3) задовольняє характеристичне рівняння 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 3 3( )( ) 0y y             , (4) де 2 2 –1 1 r r r       . Враховуючи умову існування єдиного розв’язку лінеаризованої теорії пружності для стисливих і нестисливих тіл, можливі два варіанти представлення загального розв’язку (4): випадок рівних коренів 2 2 2 3 )    : 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2, ( ) 0, ( ) 0y y y                        ; (5) випадок нерівних коренів 2 2 2 3 )    : 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 1 3 3 2, ( ) 0, ( ) 0y y                        . (6) У системі кругових циліндричних координат ( , , ),ir z де –1 3 ,i iz v y , ( 1, 2),i iv n i  2 2 1 2 2 3, ,n n     за допомогою методів розділення змінних (метод Фур’є) виведено розв’язки для скінченних циліндричних (кільцевих) штампів з початковими напружен- нями, які виражаються через нескінченну систему констант. А напружено-деформований стан у пружних тілах з початковими напруженнями для випадків (5) і (6) визначено через гармонійні функції у вигляді інтегралів Ханкеля. Отже, розглянемо подані задачі детальніше. Сформулюємо постановку задачі про стискання двох попередньо напружених півпросторів на пружний циліндричний штамп з початковими напруженнями: Нехай скінченний пружний циліндричний штамп висо- тою H з початковими напруженнями, геометрична вісь симетрії якого збігається з віссю y3 циліндричної системи координат 3( , , )r y , стискається (розтягується) двома ідентичними попередньо напруженими півпросторами за допомогою вісесиметричного навантаження, що зводиться до рівнодійної сили Р. Зовнішнє навантаження прикладене таким чином, що точки не завантажених поверхонь обох попередньо напружених півпросторів та віддале- них від межі контакту півпросторів з пружним штампом, переміщаються відносно коор- динатної площини y3=0 на величину ε; R — радіус циліндричного штампа, h = 0,5H. для стисливих тіл, для нестисливих тіл, 26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3 С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька У системі циліндричних координат ( , , )ir z , такій постановці відповідають гранич- ні умови: 1) на торцях пружного штампа в області контакту /i iz h v  ( 1, 2)i  : ( ) (3) (3) ( ) (3) ( ) 3 3 33 33 3 3, , 0, 0 (0 ) ( 1, 2)i i i r ru u Q Q Q Q r R i             ; (7) 2) на межах пружних півпросторів поза ділянкою контакту /i iz h v  ( 1, 2)i  : ( ) ( ) ( ) 33 3 30, 0, 0, ( ) ( 1, 2)i i i rQ Q u r R i       ; (8) 3) на боковій поверхні пружного штампа r R : (3) (3) 30, 0, (\| \| / ) ( 1, 2)rr r i iQ Q z h v i    . (9) Умова рівноваги, яка встановлює зв’язок між осіданням торців та рівнодійною наван- таження Р, має вигляд: ( ) ( ) ( ) 33 33 3 / 0 –2 \| \| , \| \| \| \| ( 1, 2) i i R i i i r z H vP r Q dr Q Q i      . (10) Умова (10) закриває постановку просторової лінеаризованої задачі про контактну вза- ємодію попередньо напруженого скінченного циліндричного штампа із двома пружними півпросторами з початковими напруженнями. Загальний розв’язок для визначення напружено-деформованого стану у циліндрично- му пружному штампі з початковими напруженнями, наприклад, у випадку нерівних коре- нів характеристичного рівняння (4) приймемо у вигляді: 2 3 3 0 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 0 2 1 2 2 0 2 1 3 2 3 ( ) 2 ( ) {[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]}, k k k k k k k k k k C r z z C z z A I v r S v z B I v r S v z J r S z S z                     (11) де k k h    , 1 ( ( ) 0),k k kJ R R      Ck, Dk, Ek, Fk, Nk, Mk (k = 0, 1,…) — деякі сталі коефіці- єнти, які визначають із умов (7)—(10); I0(x), J0(x) — функції Бесселя; 1 1 1sin( )k kS C v z   1 1 2 1 1cos( ), sh( ) ch( ),k k k k k kD v z S E z F z      3 1 1sh( ) ch( ).k k k kS N z M z    Напружено-деформований стан у попередньо напружених півпросторах визначаємо згідно з лінеаризованими рівняннями [2]: 2 144 1 1( ) 33 3 0 0 (1 ) ( ; ) ( )( ) ( ) ,i i C m l Q F se s e J d R            2 144 1( ) 3 1 1 0 (1 ) ( ; ) – ( ) ( ) ( ) ,i r i C m Q F e e J d v R            (12) 2 1( ) 1 3 2 3 0 1 0 ( ) ( ; ) – ( ) ( ) ,i i FmU s e s e J d v            27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3 Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу... де ,i iz v R   ,i i i z v R     ( 1, 2),R i   –1 0 2 1 ,s s l l –1 1 1 1( 1) ,s m m  –1 2 1 2 2 1( )( ) ,s v m v m –1 3 0 1 2 ,s s v v ( )F  — шукана функція. З перших граничних умов (7)—(8) визначимо невідому функцію F (η) з подвійних ін- тегральних рівнянь: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ), 0 1; ( ) ( ) 0, 1, F J d q F J d                (13) де * 2 1 0 0 1 1 1 11 ( ) (1 ) ( ) k k k k k k k h hmq J F E sh ch n n v R v R                                2 2 2 k k hm N sh n Rv          * 2 k k k hM ch Rv        , 3 –1 –1 2 1 1 3 2( ) .v m s s   Враховуючи [2], маємо * 2 1 0 1 1 1 11 2 2 2 2 ( ) 2 (1 ) ( , 0) sh ch sh ch ( , ) . k k k k k k k k k k k k F h hmF E n R n v R v R h hm N M n Rv Rv                                                         (14) Для визначення сталих коефіцієнтів * *, ,k k kN E M та функції ( )F  було введено змінні: 2 1 1 1 0 1 2 3 6 20 ( ) ( ) ( ) – , – . 2 ( ) k k n F R v v s RnJ d B v v h s s                1 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( , )k n n kJ J d d               . (15) Для відшукання невідомих 0 , k  (k=1, 2, …, n), що входять до (11)—(14), отримаємо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь 0 ( 0,1, 2, ...)k k kn n k n k            . (16) Квазірегулярність системи (16) підтверджується асимптотичними представленнями для функцій Бесселя, величин k та обмеженості інтегралів )k n   при 1 kp   [1—3]. Таким чином, дана задача зведена до визначення постійних k (k = 0, 1, 2,...) через які виражаються характеристики напружено-деформованого стану пружного штампа та двох півпросторів з початковими напруженнями. . 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3 С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька Використавши умову рівноваги (10), встановлюємо зв’язок між осіданням та рівнодію- чою навантаження Р у вигляді 2 –1 44 1 1 2 1 2 1 6(1 ) ( )( ) .P R C m l v sv v v h     Визначивши невідомі сталі ( 0,1, 2, ...)k k  із системи лінійних алгебраїчних рівнянь (16), можна обчислити компоненти переміщень та напружень як у пружних півпросторах, так і у пружному штампі. Розв’язки задачі також представлені у вигляді рядів через нескін- ченну систему постійних ( 0,1, 2, ...)k k  . Постановку задачі, граничні умови та часткові результати розв’язання задачі про тиск пружного кільцевого штампу з початковими напруженнями на попередньо напружений півпростір представлено у [5]. На відміну від розв’язку попередньої задачі, невідому функцію F (η) визначаємо з по- трійних інтегральних рівнянь: 0 2 0 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ); ( ) ( ) ( ); F F J r d R r J r d f r R r R                0 1 0 ( ) ( ) 0 (0 ),F J r d r R       (17) де –1 1 1 22 –1 –12 1 0 2 0 2–1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( )– ( ) ( ) k k k k k k k Y R R f r t J R r Y R r M R J R R                    , 1 2 1 2 1(1 ) m mt n m    . Інтегральні рівняння (17) зведемо до одного [5], тоді функцію F (η) будемо шукати у вигляді 2 2 2 2 1 2 2 1 0 ( ) (0,5 ( )) (0,5 ( ))n n n n F R W J R R J R R         , (18) де W2n — невідомі константи. Q33 '(3) P 0,8 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 –0,6 λ1 = 1,3 λ1 = 1,2 λ1 = 1,1 λ1 = 1,0 λ1 = 0,9 λ1 = 0,8 λ1 = 0,7 –1 –0,5 0,5 η1 U3 '(3) ε 10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ρ1 –10 λ1 = 1,3 λ1 = 1,1 λ1 = 0,8 λ1 = 0,7 λ1 = 0,9 λ1 = 1,2 Рис. 1. Нормальні напруження (3) 33Q P вздовж циліндричного штампа Рис. 2. Переміщення (3) 3U   при zi=0 F(η) η 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3 Контактна задача для пружних попередньо напружених циліндрів кругового поперечного перерізу... Для визначення сталих W2i (і = 0, 1, 2, …), які входять до (17), отримаємо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь типу (16). Отриману систему розв’язуємо методом редукції, враховуючи значення –1 0 2 2 1 3 2( )(8 ) .W R R R     Визначення невідомих сталих W2i (і = 0, 1, 2, …) із системи лінійних алгебраїчних рів- нянь дозволить обчислити переміщення та напруження як у пружному штампі, так і у пружному півпросторі. Враховуючи результати досліджень, можна зробити узагальнюючі висновки, щодо впливу початкових напружень на закон розподілу контактних характеристик пружних тіл. У випадку стискання двох попередньо напружених півпросторів на пружний цилін- дричний штамп виявлено, що найбільший вплив початкових напружень відзначено на бічній поверхні штампа. Та небезпечною є ситуація, коли початкові напруження наближа- ються до значень поверхневої нестійкості, оскільки контактні напруження і переміщення різко змінюють свої значення. Також з дослідження контактної взаємодії двох попередньо напружених півпросторів та пружного циліндричного штампа у випадку потенціалу Трелоара (тіло неогуківського типу) можна побачити, що чим ближче до центрального поперечного перерізу циліндрич- ного штампа, тим швидше нормальні напруження прямуватимуть до нуля (рис. 1). А пере- міщення приймають значно більші значення ближче до осі циліндричного штампа, ніж до його бічної поверхні (рис. 2). Причому, з дослідження значень рівнодійної навантаження Р можна зробити висновок, що при розтягу сила Р приймає більші значення ніж при стиску, оскільки їх значення зменшуються із збільшенням коефіцієнта видовження λ1. Таким чином, отримані результати досліджень можуть бути використані для регулю- вання контактних напружень і переміщень при розрахунках важливих характеристик для пружних фундаментів із підошвами колон будівель, димових труб, градирень, водонапірних веж та інших висотних споруд на вітрове навантаження або навантаження від власної ваги. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Смешанные задачи для упругого основания с начальными напряже- ниями. Saarbrücken: LAP, 2015. 468 c. 2. Гузь А.Н., Рудницкий В.Б. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями. Хмельницький: ПП Мельник, 2006. 710 с. 3. Yaretskaya N.A. Three-Dimensional Contact Problem for an Elastic Layer and a Cylindrical Punch with Pre- stresses. Int. Appl. Mech. 2014. 50, №4. P. 378—388. https://doi.org/10.1007/s10778-014-0641-y 4. Yaretskaya N.F. Contact Problem for the Rigid Ring Stamp and the Half-Space with Initial (Residual) Stresses. Int. Appl. Mech. Rew. 2018. 54, №5. Р. 539—543. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0906-y 5. Babych S.Y., Yarets’ka N.O. Contact Problem for an Elastic Ring Punch and a Half-Space with Initial (Residual) Stresses. Int. Appl. Mech. 2021. 57, №3. P. 297—305. https://doi.org/10.1007/s10778-021-01081-7 Надійшло до редакції 28.02.2023 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3 С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька REFERENCES 1. Guz, A. N., Babich, S. Yu. & Glukhov, Yu. P. (2015). Smeshannyie zadachi dlya uprugogo osnovaniya s nachalny- imi napryazheniyami. Mixed Problems for Prestressed Elastic Foundation. Saarbrücken: LAP (in Russian). 2. Guz, A. N. & Rudnickij, V. B. (2006). Osnovy teorii kontaktnogo vzaimodejstvija uprugih tel s nachal’nymi (os- tatochnymi) naprjazhenijami. Hmel’nic’kij: PP Mel’nik (in Russian). 3. Yaretskaya, N. A. (2014). Three-Dimensional Contact Problem for an Elastic Layer and a Cylindrical Punch with Prestresses. Int. Appl. Mech., 50, No. 4, pp. 378-388. 4. Yaretskaya, N. F. (2018). Contact Problem for the Rigid Ring Stamp and the Half-Space with Initial (Residual) Stresses. Int. Appl. Mech. Rew., 54, No. 5, pр. 539-543. 5. Babych, S. Y. & Yarets’ka, N. O. (2021). Contact Problem for an Elastic Ring Punch and a Half-Space with Initial (Residual) Stresses. Int. Appl. Mech., 57, No. 3, pp. 297-305. Received 28.02.2023 S.Yu. Babich1, https://orcid.org/0000-0003-2642-9115 N.O. Yaretska2, https://orcid.org/0000-0002-3726-2878 1 S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv 2 Khmelnytsky National University, Khmelnytsky E-mail: prikl@inmech.kiev.ua, yaretskano@khmnu.edu.ua CONTACT PROBLEM FOR ELASTIC PRESTRESSED CYLINDERS OF CIRCULAR CROSS-SECTION (SOLID AND ANNULAR) AND HALF-SPACES WITH INITIAL STRESSES. This article addresses contact problems involving cylindrical and ring punches interacting with pre-stressed bod- ies, without considering frictional forces. Specifically, it focuses on the pressure exerted by an elastic ring punch on a half-space with initial stresses and the pressure exerted by two pre-stressed half-spaces on an elastic cylindrical punch with initial stresses. Investigating the contact interaction of punches, which forms the main objective of this work, is highly relevant, as contact interaction is one of the most common methods of transmitting external loads in practical applications. The research was conducted within the framework of the theory of large initial (ultimate) deformations and two variants of the theory of small initial deformations, based on the linearized theory of elastic- ity with an elastic potential of arbitrary structure. Various fundamental results were employed in the analysis, in- cluding Hankel’s transformations, integral equations, orthogonal polynomials, and other methods from the contact problem theory of the linearized theory of elasticity. Keywords: linearized elasticity theory, initial (residual) stresses, contact problems, annular punch, cylindrical die, half-space.

Institution

Ähnliche Einträge