Синхронизация угловых скоростей гиростатов
Рассмотрены задачи, возникающие при управлении движением системы из двух идентичных гиростатов, а именно: построение нелинейного наблюдателя и синтез закона управления, который решает задачу синхронизации вращений ведомого и ведущего гиростатов при неполной информации об их движении....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27994 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Синхронизация угловых скоростей гиростатов / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 145-150. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27994 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279942011-10-26T12:14:42Z Синхронизация угловых скоростей гиростатов Щербак, В.Ф. Рассмотрены задачи, возникающие при управлении движением системы из двух идентичных гиростатов, а именно: построение нелинейного наблюдателя и синтез закона управления, который решает задачу синхронизации вращений ведомого и ведущего гиростатов при неполной информации об их движении. 2008 Article Синхронизация угловых скоростей гиростатов / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 145-150. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27994 62-50:519.7 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрены задачи, возникающие при управлении движением системы из двух идентичных гиростатов, а именно: построение нелинейного наблюдателя и синтез закона управления, который решает задачу синхронизации вращений ведомого и ведущего гиростатов при неполной информации об их движении. |
| format |
Article |
| author |
Щербак, В.Ф. |
| spellingShingle |
Щербак, В.Ф. Синхронизация угловых скоростей гиростатов Механика твердого тела |
| author_facet |
Щербак, В.Ф. |
| author_sort |
Щербак, В.Ф. |
| title |
Синхронизация угловых скоростей гиростатов |
| title_short |
Синхронизация угловых скоростей гиростатов |
| title_full |
Синхронизация угловых скоростей гиростатов |
| title_fullStr |
Синхронизация угловых скоростей гиростатов |
| title_full_unstemmed |
Синхронизация угловых скоростей гиростатов |
| title_sort |
синхронизация угловых скоростей гиростатов |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27994 |
| citation_txt |
Синхронизация угловых скоростей гиростатов / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 145-150. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ŝerbakvf sinhronizaciâuglovyhskorostejgirostatov |
| first_indexed |
2025-07-03T07:58:04Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:58:04Z |
| _version_ |
1836611780897406976 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 62-50:519.7
c©2008. В.Ф. Щербак
СИНХРОНИЗАЦИЯ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ГИРОСТАТОВ
Рассмотрены задачи, возникающие при управлении движением системы из двух идентич-
ных гиростатов, а именно: построение нелинейного наблюдателя и синтез закона управ-
ления, который решает задачу синхронизации вращений ведомого и ведущего гиростатов
при неполной информации об их движении.
1. Задача синхронизации угловых скоростей идентичных гиро-
статов. Одно из направлений исследований в современной теории управле-
ния связано с задачами обеспечения предписанного движения для группы
автономно управляемых устройств. В частности, таковой является задача о
согласованном движении группы спутников [1]. Предлагаемая в работе [1]
схема ее решения, в которой один из спутников (ведущий) передает инфор-
мацию о своем движении остальным (ведомым), позволяет свести эту задачу
к задаче об управляемой синхронизации вращений двух гиростатов. В рас-
сматриваемой ниже постановке задачи эта информация не является полной:
не все компоненты вектора угловой скорости ведущего спутника известны.
В этом случае, при синтезе закона управления ведомого гиростата, фазовый
вектор ведущего гиростата должен быть восстановлен (решена задача наблю-
дения) либо закон управления вращением ведомого гиростата должен быть
основан только лишь на информации о собственном движении и движении
ведущего гиростата (задача синхронизации движения систем при неполной
информации).
В работе рассмотрены обе задачи. Предлагаемый способ решения основан
на изложенном в [2] методе синтеза инвариантных многообразий для траек-
торий расширенной системы дифференциальных уравнений, описывающих
движение ведущей и ведомой систем. В основе решения задачи синтеза управ-
лений использован тот факт, что для систем данной структуры любое гладкое
многообразие, при соответствующем выборе управлений, может стать инва-
риантным, а при определенных условиях – глобально притягивающим для
всех траекторий.
В качестве уравнений движения гиростата, управляемого с помощью рас-
положенных на нем трех роторов, возьмем уравнения [3]
A1ω̇1 = (A2 −A3)ω2ω3 + λ2ω3 − λ3ω2 − λ̇1,
A2ω̇2 = (A3 −A1)ω3ω1 + λ3ω1 − λ1ω3 − λ̇2, (1)
A3ω̇3 = (A1 −A2)ω1ω2 + λ1ω2 − λ2ω1 − λ̇3,
где A1, A2, A3 – главные центральные моменты инерции, ω = (ω1, ω2, ω3) –
вектор угловой скорости носителя. Управлением является Λ = (λ1, λ2, λ3) –
145
В.Ф. Щербак
вектор гиростатического момента, характеризующий вращение роторов.
Будем считать, что выполнены следующие предположения:
(i) Гиростаты имеют одни и те же моменты инерции A1, A2, A3. Тогда
система (1), записанная в переменых p = (p1, p2, p3), q = (q1, q2, q3), описывает
движение ведомого объекта
A1ṗ1 = (A2 −A3)p2p3 + q2p3 − q3p2 − q̇1,
A2ṗ2 = (A3 −A1)p1p3 + q3p1 − q1p3 − q̇2, (2)
A3ṗ3 = (A1 −A2)p1p2 + q1p2 − q2p1 − q̇3.
(ii) Ведущий гиростат не является управляемым и имеет постоянный ги-
ростатический момент, т.е. λ̇1 = λ̇2 = λ̇3 = 0 в системе уравнений (1).
(iii) Выходом системы (1) – информацией, которая используется при фор-
мировании закона управления ведомомым гиростатом – являются величины
ω1(t), ω2(t), Λ.
Далее будем называть законы управления допустимыми, если они явля-
ются функциями только лишь состояния ведомого гиростата и выхода си-
стемы (1). Вначале рассмотрим задачу определения значений неизвестной
функции времени ω3(t).
2. Определение угловой скорости ведущего гиростата. Рассмот-
рим задачу восстановления значений ω3(t) как задачу наблюдения системы
(1) по выходу (iii). Указанная система обладает свойством наблюдаемости [3]
в некоторой области Ω ⊂ R3, а значит поставленная задача имеет единствен-
ное решение в этой области. Далее будем предполагать, что решения ω(t)
системы (1) ограничены и принадлежат Ω.
В качестве уравнений наблюдателя для системы (1) выберем уравнения
(2), в правые части которых подставим вместо переменных p1, p2, q1, q2, q3 со-
ответственно известные функции времени ω1(t), ω2(t) и параметры λ1, λ2, λ3.
Величины q̇i заменим неопределенными пока функциями ui – компонентами
вектора управления, с помощью которого будем конструировать уравнения
наблюдателя. В результате имеем
A1ṗ1 = (A2 −A3)ω2p3 + λ2p3 − λ3ω2 − u1,
A2ṗ2 = (A3 −A1)ω1p3 + λ3ω1 − λ1p3 − u2, (3)
A3ṗ3 = (A1 −A2)ω1ω2 + λ1ω2 − λ2ω1 − u3.
Полученная система дифференциальных уравнений (3) является формаль-
ной системой, предназначенной для синтеза управлений, решающих задачу
наблюдения. Она не может быть истолкована как система, описывающая дви-
жение некоторого гиростата, так как, в частности, λ̇i 6= ui, i = 1, 2, 3.
Нашей целью является выбор такого управления u(.), которое гарантиру-
ет выполнение условия limt→∞ p3(t) = ω3(t).
Запишем уравнения ошибок – отклонений траекторий системы (3) от тра-
екторий (1). Обозначим ei = ωi−pi, i = 1, 2, 3. Дифференциальные уравнения
146
Синхронизация угловых скоростей гиростатов
для отклонений имеют вид
A1ė1 = (A2 −A3)ω2e3 + λ2e3 + u1,
A2ė2 = (A3 −A1)ω1e3 − λ1e3 + u2, (4)
A3ė3 = u3.
Задача наблюдения системы (1), при сделанных предположениях (i)–(iii),
состоит в определении значений компоненты ω3(t) по известной информа-
ции о значениях переменных ω1(t), ω2(t),Λ. При фиксированном управле-
нии u(.) решение задачи Коши для системы (3) с любым начальным усло-
вием p(0) = p0 известно. Поэтому ei(t) = ωi(t) − pi(t), i = 1, 2, – извест-
ные функции времени, а для определения ω3(t) достаточно найти функцию
e3(t) = ω3(t)− p3(t).
Основной идеей рассматриваемого подхода является нахождение алгебра-
ического выражения, которое определяет искомую величину через известные
функции времени:
e3 = Φ(e1, e2, ω1, ω2). (5)
Для ее реализации достаточно решения задачи синтеза управления, при ко-
тором многообразие, описываемое равенством (5), становится инвариантным
и глобально притягивающим для всех траекторий систем (1), (3) или, что
то же самое, (1), (4). Тем самым будет получена формула для нахождения
искомой функции e3(t). В частности, при обеспечении притяжения с посто-
янным показателем затухания γ > 0 асимптотическая оценка неизвестной
компоненты угловой скорости ω3 будет определяться формулой
ω3(t) = p3(t) + Φ(e1(t), e2(t), ω1(t), ω2(t)) + O(e−γt). (6)
Так как начальное значение e3(0) неизвестно, то равенство (5), вообще
говоря, не выполнено. В общем случае имеем:
e3 = Φ(e1, e2, ω1, ω2) + η, (7)
где η характеризует отклонение от многообразия (5). Введем обозначеия
a1 =
A2 −A3
A1
, a2 =
A3 −A1
A2
, a3 =
A1 −A2
A3
, vi =
ui
Ai
,
aij =
λi
Aj
(i, j = 1, 2, 3, i 6= j).
Покажем вначале, что любое гладкое дифференцируемое многообразие
вида (5) подбором управления можно сделать инвариантным для расширен-
ной системы (1), (4). Не накладывая пока никаких ограничений на выбор
компонент управления v1, v2, компоненту v3 определим формулой
v3 = [(Φe1 + Φω1)(a1ω2 + a21) + (Φe2 + Φω2)(a2ω1 − a12)] Φ+
+ Φe1v1 + Φe2v2 + Φω1(p3 − a13ω2) + Φω2(p3 + a23ω1). (8)
147
В.Ф. Щербак
Здесь Φ(.) – частная производная по указанной переменной. В результате
подстановки (8) в (4) и замены e3 суммой Φ(e1, e2, ω1, ω2) + η получаем, что
последнее уравнение системы (4) становится однородным относительно η
η̇ = − [(Φe1 + Φω1)(a1ω2 + a21) + (Φe2 + Φω2)(a2ω1 − a12)] η. (9)
По построению управление v3 является допустимым, а значит оно может
быть использовано в системе (4). Тогда существование тривиального частного
решения η ≡ 0 для уравнения (9) соответствует случаю, когда траектории
расширенной системы (1), (4) с начальными условиями
e3(0) = Φ(e1(0), e2(0), ω1(0), ω2(0))
для любых t > 0 остаются на многообразии (5).
Таким образом установлено, что с помощью допустимого управления (8)
и любой непрерывно дифференцируемой функции Φ(e1, e2, ω1, ω2) для траек-
торий систем (1), (4) может быть синтезировано инвариантное многообразие
вида (5). Отметим, что в результате этих построений, фиксируя вид v3, сво-
боду в выборе этой компоненты вектора управления мы заменили на свободу
выбора функции Φ(e1, e2, ω1, ω2).
Воспользуемся этим обстоятельством и будем искать такую функцию, ко-
торая для всех траекторий (1), (4) обеспечивает их экспоненциальное притя-
жение с постоянным показателем затухания к инвариантному многообразию
(5). Для этого в правой части уравнения (9) приравняем коэффициент при
переменной η некоторой отрицательной постоянной. Пусть γ – положитель-
ная константа, и тогда соответствующее условие
γ = (Φe1 + Φω1)(a1ω2 + a12) + (Φe2 + Φω2)(a2ω1 − a21) (10)
определяет для функции Φ(e1, e2, ω1, ω2) уравнение в частных производных
первого порядка.
Вид общего решения (10) зависит от знаков a1, a2. Далее будем полагать,
что A3 6= A1, A3 6= A2, т.е. a1 6= 0, a2 6= 0. При этом возможны два случая: зна-
ки параметров a1, a2 могут быть различными либо одинаковыми. Первый из
них имеет место, когда A3 является либо максимальным, либо минимальным
моментом инерции гиростата. Тогда общее решение (10) имеет вид
Φ1 = − γ√
a1a2
arctg
(√
a1a2 (a2ω1 − a21)
a2(a1ω2 + a12)
)
+ F (·). (11)
Если же A3 не является экстремальным моментом инерции, то общее реше-
нием задается выражением
Φ2 = γ ln
(
a1a2ω1 − a1a21 + (a1ω2 + a12)
√
a1a2√
a1a2
)
+ F (·). (12)
148
Синхронизация угловых скоростей гиростатов
В формулах (11), (12) F (·) – произвольная дифференцируемая функция, име-
ющая следующий вид
F
(
ω1(a21 − a2ω1
2
) + ω2(a12 − a1ω2
2
), e1 − ω1,
−e2a1 + a1ω2 + a12
a1
)
.
После нахождения семейства функций Φ(e1, e2, ω1, ω2), обеспечивающих
экспоненциальное притяжение всех траекторий системы (1), (4) к многообра-
зию, определяемому равенством (5), можно найти асимптотическую оценку
для переменной ω3(t). Для этого достаточно выполнить следующие действия.
1) В семействе решений (11) или (12) выбираем функцию F (·), например,
F (·) = 0, и тем самым, в зависимости от известного распределения масс в
гиростате, получаем конкретную функцию Φ(e1, e2, ω1, ω2).
2) По формуле (8) строим управление v3. Так как на компоненты v1, v2 по-
ка не накладывались никакие ограничения, кроме требования допустимости,
то для них выбираются произвольные допустимые выражения, например,
v1 = v2 = 0.
3) Соответствущие функции ui(ω1, ω2, p1, p2, p3), i = 1, 2, 3 подставляем
в систему (3) и для нее решаем задачу Коши.
4) По формуле (6) получаем искомую оценку ω3(t).
3. Построение нелинейного наблюдателя. Для того, чтобы система
(3) стала наблюдателем в общепринятом понимании этого термина, необхо-
димо выполнение условия limt→∞ pi(t) = ωi(t), i = 1, 2, 3. Дополнительно к
шагам 1)–3) описанной выше схемы проведем следующие построения.
Потребуем вначале, чтобы решение уравнения в частных производных
(10) удовлетворяло граничному условию Φ(0, 0, ω1, ω2) = 0. Структура общего
решения (10) известна, и с учетом (11), (12) любое частное решение уравнения
(10) может быть представлено в виде Φi = Fi(ω1, a1ω1 + a12) + F (·), i = 1, 2.
Тогда, полагая F (·) = −Fi(ω1 − e1,−e2a1 + a1ω1 + a12), i = 1, 2, получа-
ем решение соответствующей граничной задачи для уравнения (10). В силу
непрерывности функций Φi в рассматриваемой области значений переменных
из условия limt→∞ ei(t) = 0, i = 1, 2, следует, что limt→∞ e3(t) = 0.
Таким образом, чтобы система (3) стала нелинейным наблюдателем для
системы (1), достаточно устремить первые две компоненты e1, e2 вектора
ошибок к нулю. Для этого воспользуемся имеющейся свободой выбора управ-
лений v1, v2. Положим
v1 = −γe1 − (a21 + a1ω2)Φ, v2 = −γe2 + (a12 − a2ω1)Φ. (13)
Уравнения (4) с учетом (5), (8), (13) принимают вид
ė1 = (a1ω2 + a21)η − γe1,
ė2 = (a2ω1 − a12)η − γe2, (14)
η̇ = −γη.
149
В.Ф. Щербак
Можно показать, что производная в силу системы (14) от положительно опре-
деленной функции V = e1
2 + e2
2 + η2 выбором постоянной γ > 0 может быть
сделана определенно отрицательной. Тем самым установлен факт стремления
переменных e1(t), e2(t), η(t) к нулю.
В итоге выполнения описанных выше построений по формулам (8), (13)
будут найдены функции ui(ω1, ω2, p1, p2, p3), i = 1, 2, 3, при которых система
уравнений (3) становится асимптоическим наблюдателем для системы (1) с
постоянным показателем затухания ошибки γ.
4. Задача синхронизации. В отличие от задачи наблюдения, при реше-
нии задачи синхронизации синтез управлений проводится не для искусствен-
ным образом составленной системы дифференциальных уравнений (3), а для
реального объекта – ведомого гиростата, уравнениями движения которого
является система (2).
Задача синхронизации угловых скоростей для ведомого гиростата состоит
в синтезе такого закона изменения вектора гиростатического момента
q̇ = Q(ω1, ω2, p1, p2, p3),
при котором
lim
t→∞ pi(t) = ωi(t), i = 1, 2, 3.
Сведем задачу синхронизации к уже решенной задаче построения наблю-
дателя. Для этого положим
Q1 = (A2 −A3)p2p3 + q2p3 − q3p2 − (A2 −A3)ω2p3 − λ2p3 + λ3ω2 + u1,
Q2 = (A3 −A1)p1p3 + q3p1 − q1p3 − (A3 −A1)ω1p3 − λ3ω1 + λ1p3 + u2, (15)
Q3 = (A1 −A2)p1p2 + q1p2 − q2p1 − (A1 −A2)ω1ω2 − λ1ω2 + λ2ω1 + u3,
где u1, u2, u3 – компоненты нового управляющего воздействия, которые пред-
полагаем допустимыми.
По построению функции (15) являются допустимыми. В результате под-
становки (15) в систему дифференциальных уравнений (2) последняя преоб-
разуется в систему уравнений (3). Следовательно, найденные в предыдущем
пункте законы управления ui(ω1, ω2, p1, p2, p3), i = 1, 2, 3, обеспечивающие
для решений системы (3) выполнение условия limt→∞ pi(t) = ωi(t), i = 1, 2, 3,
после подстановки их в (15) обеспечат выполнение этого условия и для си-
стемы (2). Таким образом, формулы (15) определяют законы управления для
ведомого объекта, при котором его угловая скорость синхронизируется с уг-
ловой скоростью вращения ведущего гиростата.
1. Kang W., H. Yeh Coordinated control of multi-satellite systems // Intern. J. of Robust and
Nonlinear Control. – 2002. – 12. – P. 185–205.
2. Щербак В.Ф. Задача отслеживания состояния нелинейной системы при неполной ин-
формации о движении // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 127–132.
3. Ковалев А.М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических
систем. – Киев: Наук. думка, 1980. – 175 с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
shvf@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 07.02.08
150
|