Метод решения задачи многоуровневого программирования
The solutions to important applied classes of multilevel programming problem are obtained. It is shown the number of levels in such a problem is endogenous. The role of generalized Cournot–Stackelberg–Nash equilibrium introduced earlier is demonstrated. It is shown the Stackelberg oligopoly problem...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Теорія оптимальних рішень |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84927 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод решения задачи многоуровневого программирования / В.М. Горбачук, С.Г. Ненахова // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 73-79. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84927 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-849272015-07-18T03:01:42Z Метод решения задачи многоуровневого программирования Горбачук, В.М. Ненахова, С.Г. The solutions to important applied classes of multilevel programming problem are obtained. It is shown the number of levels in such a problem is endogenous. The role of generalized Cournot–Stackelberg–Nash equilibrium introduced earlier is demonstrated. It is shown the Stackelberg oligopoly problem is reduced to a new class of discrete-continuous problems. The instability of Cournot oligopoly is demonstrated. 2005 Article Метод решения задачи многоуровневого программирования / В.М. Горбачук, С.Г. Ненахова // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 73-79. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84927 519.8 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The solutions to important applied classes of multilevel programming problem are obtained. It is shown the number of levels in such a problem is endogenous. The role of generalized Cournot–Stackelberg–Nash equilibrium introduced earlier is demonstrated. It is shown the Stackelberg oligopoly problem is reduced to a new class of discrete-continuous problems. The instability of Cournot oligopoly is demonstrated. |
| format |
Article |
| author |
Горбачук, В.М. Ненахова, С.Г. |
| spellingShingle |
Горбачук, В.М. Ненахова, С.Г. Метод решения задачи многоуровневого программирования Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Горбачук, В.М. Ненахова, С.Г. |
| author_sort |
Горбачук, В.М. |
| title |
Метод решения задачи многоуровневого программирования |
| title_short |
Метод решения задачи многоуровневого программирования |
| title_full |
Метод решения задачи многоуровневого программирования |
| title_fullStr |
Метод решения задачи многоуровневого программирования |
| title_full_unstemmed |
Метод решения задачи многоуровневого программирования |
| title_sort |
метод решения задачи многоуровневого программирования |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84927 |
| citation_txt |
Метод решения задачи многоуровневого программирования / В.М. Горбачук, С.Г. Ненахова // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 73-79. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT gorbačukvm metodrešeniâzadačimnogourovnevogoprogrammirovaniâ AT nenahovasg metodrešeniâzadačimnogourovnevogoprogrammirovaniâ |
| first_indexed |
2025-07-06T12:02:58Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:02:58Z |
| _version_ |
1836898979834494976 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 73
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Получены решения для важных
прикладных классов задачи много-
уровневого программирования.
Показано, что собственно коли-
чество уровней этой задачи
является эндогенным. Продемон-
стрирована роль введенного ранее
обобщенного равновесия Курно –
Штакельберга – Нэша. Показано,
что проблема олигополии Штаке-
льберга сводится к новому классу
дискретно-непрерывных задач.
Продемонстрирована неустойчи-
вость олигополии Курно.
В.М. Горбачук, С.Г. Ненахова,
2005
ÓÄÊ 519.8
Â.Ì. ÃÎÐÁÀ×ÓÊ, Ñ.Ã. ÍÅÍÀÕÎÂÀ
ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È
ÌÍÎÃÎÓÐÎÂÍÅÂÎÃÎ
ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß
Введение. Истоками задач многоуровневого
программирования являются практические
вопросы планирования широкомасштабных
проектов, например программно-целевого
корпоративного или государственного пла-
нирования. Понятия двухуровневого и мно-
гоуровневого программирования впервые
были формализованы специалистами Меж-
дународного банка реконструкции и разви-
тия (Мирового банка), исходя из анализа ус-
пешной реализации пятилетних планов «ко-
рейского экономического чуда» [1].
Подобные иерархические задачи были по-
ставлены для проектирования сложных тех-
нических систем [2].
Пусть система состоит из m уровней. Ре-
шение задачи m-уровневого программиро-
вания определяется рекурсивно [3]. На уров-
не 1 выбирается стратегия q(1), максимизи-
рующая целевую функцию G(1)(q(1), q(2),…,
…,q(m)). На уровне 2 выбирается стратегия
q(2)(q(1)) уровня 2, максимизирующая целе-
вую функцию G(2)(q(1), q(2),…,q(m)). На
уровне j выбирается стратегия q(j)(q(1),
q(2),…, q(j-1)) уровня j = 1,…, m, максимизи-
рующая целевую функцию j-го уровня
G(j)(q(1), q(2),…, q(m)).
Оказывается, что само количество уровней
задачи многоуровневого программирования
является эндогенным.
Поскольку задача уже двухуровневого
программирования является NP-полной [4],
то следует сосредоточиться на конкретных
важных классах подобных задач. Целевой
функцией уровня будем считать его функ-
цию рыночной прибыли.
В.М. ГОРБАЧУК, С.Г. НЕНАХОВА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 74
Пусть m фирм производят однородный продукт и входят в рынок по очере-
ди: фирма (j+1) входит в рынок после фирмы j, j = 1,…, m–1. Функция обратного
спроса на продукт задается P(k) = a – b Q(k), где: P(k) – текущая рыночная цена
продукта; a, b – некоторые положительные параметры; текущая величина спроса
на данный продукт (которая предполагается равной суммарному производству
продукта всеми вошедшими в рынок фирмами) составляет Q(k) = q(1) + … +
+ q(k); q(j) – объем производства данного продукта фирмой j; k – число фирм,
вошедших в рынок. Фирма j получает текущую прибыль G(j) = [P(k) – c] q(j) – f,
где: c – удельные переменные затраты производства; f – фиксированные затраты
производства при q(j) > 0; c, f – некоторые положительные числа (считаем, что
a > c).
Если фирма j максимизирует свою прибыль, то не входит в рынок, выбирая
q(j) = 0, при G(j) < 0, j = 1,…, m.
Итак, олигополистическое поведение моделируется задачей многоуровнево-
го программирования, и наоборот.
Теорема 1. Если a > c, то фирма j выбирает выпуск (a – c) / (b 2
j
).
Доказательство проведем по индукции. В случае j = 1 прибыль
G(1) = [P(1) – c] q(1) – f = [a – b q(1) – c] q(1) – f
максимизируется по q(1) при (a – c) / (2 b).
Пусть фирма k производит выпуск q(k) = (a – c) / (b 2
k
), покажем, что тогда
фирма (k + 1) производит выпуск q(k+1) = (a – c) / (b 2
k+1
). Заметим, что
Q(k) = [(a – c) / b] (1/2 + 1/2
2
+ ... + 1/2
k
) = (1 – 2
-k
) (a – c) / b. (1)
Тогда фирма (k + 1) максимизирует по q(k+1) свою прибыль
G(k+1) = [P(k+1) – c] q(k+1) – f = {a – b [Q(k) + q(k+1)] – c} q(k+1) – f
при
q(k+1) = [a – c – b Q(k)] / (2 b) = (a – c) / (2 b) – Q(k) / 2 =
= (a – c) / (2 b) – (1 – 2
-k
) (a – c) /(2 b) = (a – c) / (b 2
k+1
),
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Количество фирм, вошедших в рынок, не превышает
n = n(a, b, c, f) = [[2 ln (a – c) – ln( b f)] / (2 ln 2)]< ,
где обозначаем [u]< ближайшее к u целое число, не превышающее u (u ≥ [u]<).
Предположим, что фирма n входит в рынок, а фирма (n + 1) – нет:
G(n) ≥ 0, G(n+1) < 0.
Иными словами,
[P(n) – c] q(n) – f ≥ 0, (2)
[P(n+1) – c] q(n+1) – f < 0. (3)
Заметим, что в силу равенства (1)
P(n) = a – b Q(n) = a – (a – c) (1 – 2
-n
) = c + (a – c) 2
-n
.
Тогда вследствие неравенства (2) и теоремы 1 выполняются неравенства:
(a – c) 2
-n
(a – c) / (b 2
n
) ≥ f; 2
-2n
≥ b f / (a – c)
2
;
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МНОГОУРОВНЕВОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 75
2
-n
≥ (b f)
0.5
/ (a – c); (4)
(a – c)
2
/ (b f) ≥ 2
2n
; 2 ln (a – c) – ln (b f) ≥ 2 n ln 2;
n ≤ [2 ln (a – c) – ln (b f)] / (2 ln 2).
Отсюда вытекает утверждение теоремы.
При этом в силу неравенства (3) аналогично неравенству (4)
2
-(n+1)
< (b f)
0.5
/ (a – c),
2
-n
< 2 (b f)
0.5
/ (a – c). (5)
Теорема 3. Олигополистические рыночное производство Q = Q(a, b, c, f) и
цена P = P(a, b, c, f) полностью определяются рыночными параметрами спроса
a, b и параметрами затрат c, f.
Действительно, ввиду равенства (1), неравенств (4) и (5)
Q(n) = (1 – 2
-n
) (a – c) / b > [1 – 2 (b f)
0.5
/ (a – c)] (a – c) / b = [a – c – 2 (b f)
0.5
] / b,
Q(n) = (1 – 2
-n
) (a – c) / b ≤ [1 – (b f)
0.5
/ (a – c)] (a – c) / b = [a – c – (b f)
0.5
] / b,
[a – c – 2 (b f)
0.5
] / b < Q(n) ≤ [a – c – (b f)
0.5
] / b. (6)
Тогда
P(n) = a – b Q(n) ≥ a – [a – c – (b f)
0.5
] = c + (b f)
0.5
,
P(n) = a – b Q(n) < a – [a – c – 2 (b f)
0.5
] = c + 2 (b f)
0.5
,
c + (b f)
0.5
≤ P(n) < c + 2 (b f)
0.5
.
Если фирмы выбирают свои выпуски продукта так, чтобы максимизировать
их общую прибыль
G = G(1) + …+ G(m) = [P(m) – c] [q(1) +…+ q(m)] – m f = [P(m) – c] Q(m) – m f =
= [a – c – b Q(m)] Q(m) – m f,
то их общий выпуск равен монопольному:
Q(m) = (a – c) / (2 b). (7)
Если каждая фирма выбирает свою стратегию, максимизируя свою прибыль,
то имеет место теорема 1. Учитывая при этом (6),
2 [a – c – 2 (b f)
0.5
] / (2 b) < (a – c) / (2 b) ≤ 2 [a – c – (b f)
0.5
] / (2 b),
a – c – 4 (b f)
0.5
< 0 ≤ a – c – 2 (b f)
0.5
,
2 (b f)
0.5
≤ a – c < 4 (b f)
0.5
, (8)
т. е. максимизация своей прибыли каждой фирмой накладывает дополнительные
ограничения на значения параметров a, c, b, f.
Кроме того, из равенств (1) и (7) следуют такие равенства:
(1 – 2
-m
) (a – c) / b = (a – c) / (2 b); 1 – 2
-m
= 1/2; m = 1.
Итак, максимизация функции G достигается монополией.
Чтобы общий выпуск фирм равнялся монопольному (и соответственно их
общая прибыль была максимальной), лидер (фирма 1) должен придерживаться
обобщенной стратегии Курно–Штакельберга–Нэша [5]: q(1) = r (a – c) / b, где
1/3 ≤ r ≤ 1/2. Предположим, что при этом выполняется q(j+1)/q(j) = r, j=1,..,m–1,
как и в теореме 1 при r = 1/2.
В.М. ГОРБАЧУК, С.Г. НЕНАХОВА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 76
Теорема 4. Пусть q(j) = r
j
(a – c) / b, где 1/3 ≤ r ≤ 1/2, причем m фирм вошли
в рынок, а фирма (m + 1) не входит в рынок. Тогда общая прибыль олигополии
максимизируется при
m = [[ln (b f) – 2 ln (a – c)] / ln r]<,
2 r
m+1
– 3 r + 1 = 0. (9)
Прежде всего, заметим, что
Q(m) = (r
1
+ r
2
+ ... + r
m
) (a – c) / b = [(1 – r
m+1
) / (1 – r) – 1] (a – c) / b.
Тогда в силу равенства (7) получаем:
1/2 = (1 – r
m+1
) / (1 – r) – 1;
(1 – r
m+1
) / (1 – r) = 3/2; (10)
3 (1 – r) = 2 (1 – r
m+1
); 3 – 3 r = 2 – 2 r
m+1
; 3 r – 1 = 2 r
m+1
;
ln (3 r – 1) = (m + 1) ln r + ln 2; m = ln (3 r – 1) / (ln r + ln 2) – 1.
Заметим также, что
P(m) = a – b Q(m) = a – [(1 – r
m+1
) / (1 – r) – 1] (a – c).
Отсюда, учитывая равенство (10):
0 ≤ G(m) = [P(m) – c] q(m) – f = (a – c) [2 – (1 – r
m+1
) / (1 – r)] r
m
(a – c) / b – f =
= r
m
(a – c)
2
/ (2 b) – f;
r
m
≥ b f / (a – c)
2
; (11)
m ln r ≥ ln (b f) – 2 ln (a – c); m = [[ln (b f) – 2 ln (a – c)] / ln r]<.
Очевидно, теорема 4 обобщает теорему 2. Полиномиальное уравнение (9)
решается в радикалах через формулы Тартальи–Кардано и Феррари для m = 2 и
m = 3 соответственно [5]. В общем случае решение уравнения (9) в условиях
теоремы 4 представляет собой специальный класс дискретно-непрерывных задач
поиска значений m, r. Решение таких задач можно получить с помощью специ-
альных численных компьютерных методов.
Одновременное выполнение неравенств (8) и (11) при r = 1/2 подразумевает
нетривиальный вывод 2 ≤ m ≤ 3.
Действительно, для r = 1/2, m = 4 в силу равенства (1)
Q(4) = (1 – 2
-4
) (a – c) / b = 15 (a – c) / (16 b),
P(4) = a – b Q(4) = a – (a – c) (1 – 2
-4
) = c + (a – c) 2
-4
,
G(4) = [P(4) – c] q(4) – f = (a – c) 2
-4
(a – c) / (2
4
b) – f = (a – c)
2
2
-8
/ b – f,
откуда G(4) ≥ 0 означает a – c ≥ 2
4
(b f)
0.5
, что противоречит неравенству (8).
Иными словами, максимизация общей суммарной прибыли олигополии достига-
ется лишь несколькими фирмами.
Кроме того, при m = 2 из (9) следует
0 = 2 r
3
– 3 r + 1 = 2 r
3
– 2 r – r + 1 = 2 r (r – 1) (r + 1) – (r – 1) =
= (r – 1) (2 r
2
+ 2 r – 1), r = (3
0.5
– 1) / 2 < 1/2,
что указывает на смысл обобщенной стратегии Курно–Штакельберга–Нэша [6].
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МНОГОУРОВНЕВОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 77
При m = 3 из (9) следует:
0 = 2 r
4
– 3 r + 1 = 2 r
4
– 2 r – r + 1 = 2 r (r
3
– 1) – (r – 1) =
= 2 r (r – 1) (r
2
+ r + 1) – (r – 1) = (r – 1) [2 r (r
2
+ r + 1) – 1];
0 = 2 r
3
+ 2 r
2
+ 2 r – 1; r < (3
0.5
– 1) / 2.
Предположим теперь, что
q(j) = (a – c) r(j) / b, (11)
r(j+1) < r(j) < 1, j = 1,…, m–1.
(12)
Тогда в силу равенства (7)
r(1) + … + r(m) = 1/2. (13)
Если последовательность r(1),…, r(m) является не геометрической, а ариф-
метической прогрессией, пусть
r(j) = r(1) – j ε, (14)
где ε – некоторое положительное число. Ввиду (13)
1/2 = m r(1) – ε (1 + … + m) = m r(1) – ε m (m + 1) / 2 = m r(1) – ε m
2
/ 2 - ε m / 2,
ε m
2
– m [2 r(1) – ε] + 1 = 0,
m = [2 r(1) – ε + [ 4[ r(1)]
2
– 4 ε [r(1) + 1] + ε
2
]
0.5
] / (2 ε)]<, (15)
где предполагается
4[ r(1)]
2
– 4 ε [r(1) + 1] + ε
2
≥ 0. (16)
Теорема 5. Если выпуски фирм удовлетворяют условиям (11), (12), (14),
(16), то суммарная прибыль олигополии максимизируется m фирмами, где число
m выражается соотношением (15).
Предложенный подход может быть обобщен на нелинейные функции
P[q(1),…, q(m)] и cj[q(j)].
Проанализируем динамическую устойчивость олигополии из m фирм, где
удельные переменные затраты фирмы j равны cj.Так как P(m) = a – b Q(m) ≥ 0,
то a / b ≥ Q(m) ≥ 0. Рассмотрим сначала случай m = 2.
По предположению Курно [6], каждая фирма полагает, что выпуск любой
другой фирмы останется неизменным в предстоящем периоде t. Здесь считаем,
что каждая фирма полностью и мгновенно настраивает свой выпуск в следую-
щем периоде. Тогда цена ex ante в период t, ожидаемая фирмой 1, составляет
P(1, t) = a – b [q(1, t) + q(2, t –1)].
Аналогично
P(2, t) = a – b [q(2, t) + q(1, t –1)].
Фирма j = 1, 2 максимизирует по q(j, t) свою ожидаемую прибыль [7]:
P(j, t) [q(j, t) – cj ] – f,
откуда
0 = a – 2 b q(1, t) – b q(2, t –1) – c1,
0 = a – 2 b q(2, t) – b q(1, t –1) – c2,
В.М. ГОРБАЧУК, С.Г. НЕНАХОВА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 78
q(1, t) = (a – c1)/(2 b) – q(2, t –1) / 2,
q(2, t) = (a – c2)/(2 b) – q(1, t –1) / 2,
q(1, t) = (a – c1) / (2 b) – (a – c2) / (4 b) – q(1, t – 2) / 4 =
= (a – 2 c1 + c2) / (4 b) + q(1, t – 2)] / 4.
Последнее уравнение является неоднородным разностным 2-го порядка с
характеристическими корнями –1/2 и 1/2. Нетрудно убедиться, что его частным
решение является обычное равновесие Нэша
q(1, t) = (a – 2 c1 + c2) / (3 b).
Отсюда общее решение разностного уравнения
q(1, t) = A (–1 / 2)
t
+ B (1 / 2)
t
+ (a – 2 c1 + c2) / (3 b),
где A и B определяются начальными условиями
q(1, 1) = (A – B) / 2 + (a – 2 c1 + c2) / (3 b),
q(1, 2) = (A + B) / 4 + (a – 2 c1 + c2) / (3 b).
Аналогично выписывается общее решение q(2, t). Итак, в случае m = 2 (дуо-
полии) решение задачи Курно динамически устойчиво. В случае m = 3
P(1, t) = a – b [q(1, t) + q(2, t –1) + q(3, t –1)],
P(2, t) = a – b [q(2, t) + q(1, t –1) + q(3, t –1)],
P(3, t) = a – b [q(3, t) + q(1, t –1) + q(2, t –1)].
Фирма j = 1, 2, 3 максимизирует по q(j, t) свою ожидаемую прибыль [7]:
P(j, t) [q(j, t) – cj ] – f,
откуда
0 = a – 2 b q(1, t) – b [q(2, t –1) + q(3, t –1)] – c1,
0 = a – 2 b q(2, t) – b [q(1, t –1) + q(3, t –1)] – c2,
0 = a – 2 b q(3, t) – b [q(1, t –1) + q(2, t –1)] – c3,
q(1, t) = (a – c1)/(2 b) – [q(2, t –1) + q(3, t –1)]/2,
q(2, t) = (a – c2)/(2 b) – [q(1, t –1) + q(3, t –1)]/2,
q(3, t) = (a – c3)/(2 b) – [q(1, t –1) + q(2, t –1)]/2.
Полученные равенства можно переписать в матричном виде
q(t) = T(3) q(t – 1) + w, (17)
где q(t) – вектор-столбец, состоящий из q(1, t), q(2, t), q(3, t); T(3) – матрица с ну-
левой диагональю и остальными элементами, равными –1/2; w – вектор-столбец,
состоящий из чисел (a – c1)/(2 b), (a – c2)/(2 b), (a – c3)/(2 b).
Поскольку w – постоянный вектор, а матрица T(3) – невырожденная, то ус-
тойчивость системы (17) зависит лишь от латентных корней T(3). Система схо-
дится к равновесию тогда, когда каждый латентный корень T(3) по модулю
меньше единицы. Нетрудно проверить, что корнями T(3) являются 1/2, 1/2, –1.
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МНОГОУРОВНЕВОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 79
Таким образом, в случае m = 3 олигополия обладает постоянными конечными
колебаниями.
В ситуации Курно–Штакельберга поведение олигополии еще сложнее.
Заключение. Предмет монополии или олигополии характерен для бурно ра-
звивающихся высокотехнологических отраслей: каждая фирма, совершившая
открытие или изобретение, стремится использовать свое временное монополь-
ное преимущество. Такие отрасли высокоприбыльны по сравнению с более кон-
курентными рынками, а поэтому представляют интерес для тех, кого не устраи-
вают текущие доходы. Анализ входа в такие отрасли сводится к сравнительно
малоисследованной задаче многоуровневого программирования. В данной рабо-
те получены решения для различных важных классов такой задачи.
В.М. Горбачук, С.Г. Ненахова
МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ БАГАТОРІВНЕВОГО ПРОГРАМУВАННЯ
Отримано розв’язки важливих прикладних класів задачі багаторівневого програмування.
Показано, що власне кількість рівнів цієї задачі є ендогенною. Продемонстровано роль
введеної раніше узагальненої рівноваги Курно–Штакельберга–Неша. Показано, що проблема
олігополії Штакельберга зводиться до нового класу дискретно-неперервних задач.
Продемонстровано нестійкість олігополії Курно.
W.M. Gorbachuk, S.G. Nenakhova
THE SOLUTION METHOD OF MULTILEVEL PROGRAMMING PROBLEM
The solutions to important applied classes of multilevel programming problem are obtained. It is
shown the number of levels in such a problem is endogenous. The role of generalized Cournot–
Stackelberg–Nash equilibrium introduced earlier is demonstrated. It is shown the Stackelberg
oligopoly problem is reduced to a new class of discrete-continuous problems. The instability of
Cournot oligopoly is demonstrated.
1. Norton R.D. Planning with facts: the case of Korea // American economic review. – 1970,
May. – P. 59–64.
2. Михалевич В.С., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектиро-
вания сложных систем. – М.: Наука, 1982. – 286 с.
3. Robson A.J. Stackelberg and Marshall // American economic review. – 1990, March. –
P. 69–82.
4. Горбачук В.М. Решение задачи двухуровневого программирования для билинейных
разрывных функций // Компьютерная математика. – 2005. – 3. – С. 44–51.
5. Конфорович А.Г. Визначні математичні задачі. – К.: Радянська школа, 1981. – 189 с.
6. Горбачук В.М. Синтетическое равновесие Курно–Штакельберга–Нэша // Теорія оп-
тимальних рішень. – 2003. – 2. – С. 68–74.
7. Горбачук В.М., Ненахова С.Г. Поведінка конурентної фірми за невизначеності //
Теорія оптимальних рішень. – 2004. – 3. – С. 74–80.
Получено 28.03.2005
|