О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп
Пусть G ≤ GL(F,A) — линейная группа над конечным полем F, G ≠ G′, |G| ≠ q^k, где q — простое число, и для каждой собственной подгруппы H группы G факторпространство A/CA(H) конечномерно. Доказано, что факторпространство A/CA(G) конечномерно, и описана структура группы G....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86700 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп / О.Ю. Дашкова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 7–10. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86700 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-867002015-09-28T03:01:59Z О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп Дашкова, О.Ю. Математика Пусть G ≤ GL(F,A) — линейная группа над конечным полем F, G ≠ G′, |G| ≠ q^k, где q — простое число, и для каждой собственной подгруппы H группы G факторпространство A/CA(H) конечномерно. Доказано, что факторпространство A/CA(G) конечномерно, и описана структура группы G. Нехай G ≤ GL(F,A) — лiнiйна група над скiнченним полем F, G ≠ G′, |G| ≠ q^k, де q — просте число, та для кожної власної пiдгрупи H групи G факторпростiр A/CA(H) є скiнченновимiрним. Доведено, що факторпростiр A/CA(G) є скiнченновимiрним, та описано структуру групи G. Let G ≤ GL(F,A) be a linear group over a finite field F, G ≠ G′, |G| ≠ q^k, where q is prime, and let A/CA(H) be a finite-dimensional quotient space for each proper subgroup H of G. It is proved that A/CA(G) is the finite-dimensional quotient space, and the structure of a group G is described. 2013 Article О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп / О.Ю. Дашкова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 7–10. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86700 512.544 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дашкова, О.Ю. О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп Доповіді НАН України |
| description |
Пусть G ≤ GL(F,A) — линейная группа над конечным полем F, G ≠ G′, |G| ≠ q^k, где q —
простое число, и для каждой собственной подгруппы H группы G факторпространство
A/CA(H) конечномерно. Доказано, что факторпространство A/CA(G) конечномерно, и описана структура группы G. |
| format |
Article |
| author |
Дашкова, О.Ю. |
| author_facet |
Дашкова, О.Ю. |
| author_sort |
Дашкова, О.Ю. |
| title |
О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп |
| title_short |
О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп |
| title_full |
О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп |
| title_fullStr |
О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп |
| title_full_unstemmed |
О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп |
| title_sort |
о линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86700 |
| citation_txt |
О линейных группах с ограничениями на систему всех собственных подгрупп / О.Ю. Дашкова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 7–10. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT daškovaoû olinejnyhgruppahsograničeniâminasistemuvsehsobstvennyhpodgrupp |
| first_indexed |
2025-07-06T14:14:28Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:14:28Z |
| _version_ |
1836907253666414592 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 512.544
О.Ю. Дашкова
О линейных группах с ограничениями на систему всех
собственных подгрупп
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Пусть G 6 GL(F,A) — линейная группа над конечным полем F , G 6= G′, |G| 6= qk, где q —
простое число, и для каждой собственной подгруппы H группы G факторпространство
A/CA(H) конечномерно. Доказано, что факторпространство A/CA(G) конечномерно,
и описана структура группы G.
Группа G всех автоморфизмов векторного пространства A над полем F называется полной
линейной группой и обозначается GL(F,A). Подгруппы группы GL(F,A) называются ли-
нейными группами. Конечномерные линейные группы играют важную роль в различных
областях математики и изучались достаточно много. В случае, когда размерность вектор-
ного пространства A над полем F бесконечна, подгруппы группы GL(F,A) исследованы
значительно меньше. Изучение этого класса групп возможно лишь при наложении допол-
нительных ограничений на рассматриваемые группы. К таким ограничениям относятся
различные условия конечности.
Одним из условий конечности, которое достойно особого внимания, является финитар-
ность линейной группы. Группа G называется финитарной, если для каждого ее элемента g
подпространство CA(g) имеет конечную коразмерность в A (см., например, [1, 2]). Фини-
тарные линейные группы изучались многими авторами, что привело к появлению ряда
важных и интересных результатов [2].
В [3] авторы ввели в рассмотрение понятие центральной размерности линейной груп-
пы. Пусть H — подгруппа группы GL(F,A). Тогда H действует на факторпространстве
A/CA(H) естественным образом. Размерность факторпространства A/CA(H) называется
центральной размерностью группы H и обозначается centdimF (H) [3].
Естественно возникает вопрос об исследовании бесконечномерных линейных групп, у ко-
торых система Lid(G) подгрупп бесконечной центральной размерности рассматриваемой
линейной группы G “достаточно мала”. В [3] рассматривались почти локально разреши-
мые линейные группы бесконечной центральной размерности, у которых система Lid(G)
© О.Ю. Дашкова, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 7
удовлетворяет условию минимальности как упорядоченное множество. Как оказалось, поч-
ти локально разрешимая бесконечномерная линейная группа, удовлетворяющая заданно-
му условию, разрешима. В [4] получено описание структуры разрешимых линейных групп
бесконечной центральной размерности, у которых система Lid(G) удовлетворяет условию
максимальности как упорядоченное множество. В [5] изучались локально разрешимые ли-
нейные группы бесконечной центральной размерности и бесконечного ранга, у которых
каждая собственная подгруппа бесконечного ранга имеет конечную центральную размер-
ность. Рассматривались локально разрешимые линейные группы бесконечного секционного
p-ранга, бесконечного абелева секционного ранга, бесконечного специального ранга. Дока-
зано, что локально разрешимая линейная группа, удовлетворяющая заданным условиям,
разрешима, и описана ее структура.
В [3] исследовались почти локально разрешимые линейные группы бесконечной цент-
ральной размерности, у которых каждая собственная подгруппа имеет конечную централь-
ную размерность, и, следовательно, система подгрупп Lid(G) включает в себя лишь саму
группу G. Как оказалось, в этом случае бесконечномерная линейная группа G изоморфна
квазициклической q-группе Cq∞ для некоторого простого числа q. В [3] построен пример
линейной группы бесконечной центральной размерности над бесконечным полем простой
характеристики p, удовлетворяющей указанным условиям и изоморфной квазициклической
q-группе Cq∞ , q 6= p.
В настоящей работе изучаются линейные группы, у которых каждая собственная под-
группа имеет конечную центральную размерность. Рассматриваются линейные группы над
конечными полями, отличные от своего коммутанта.
Лемма 1. Пусть G 6 GL(F,A). Имеют место следующие утверждения:
1) если L 6 H 6 G и centdimF (H) конечна, то centdimF (L) также конечна;
2) если L, H 6 G и размерности centdimF (L) и centdimF (H) конечны, то центральная
размерность подгруппы 〈L,H〉 также конечна.
Лемма 2. Пусть G 6 GL(F,A), G — бесконечная группа, G 6= G′. Если центральная
размерность группы G бесконечна, а для каждой собственной подгруппы H группы G раз-
мерность centdimF (H) конечна, то группа G не имеет собственных подгрупп конечного
индекса, а факторгруппа G/G′ изоморфна квазициклической q-группе Cq∞ для некоторого
простого числа q.
Доказательство. Докажем сначала, что G — бесконечно порожденная группа. Предпо-
ложим противное. Пусть {x1, x2, . . . , xm} — минимальная система порождающих группы G.
Если m = 1, то G — бесконечная циклическая группа. Следовательно, G порождается двумя
собственными подгруппами. По лемме 1 размерность centdimF (G) конечна. Противоречие.
Если k > 1, то группа G порождается двумя собственными подгруппами 〈x1, x2, . . . , xm−1〉
и 〈xm〉. Снова получаем противоречие. Отсюда вытекает, что G — бесконечно порожденная
группа.
Докажем теперь, что G не имеет собственных подгрупп конечного индекса. В противном
случае, если N — собственная подгруппа группы G конечного индекса, то можно выбрать
конечно порожденную подгруппу M так, чтобы G = MN , где M и N — собственные под-
группы группы G. По лемме 1 центральная размерность группы G конечна. Противоречие.
Пусть D — коммутант группы G. Так как G не содержит собственных подгрупп конечно-
го индекса и G 6= G′, то факторгруппа G/D бесконечна. По лемме 1 абелева факторгруппа
G/D не может порождаться двумя собственными подгруппами. Если факторгруппа G/D —
непериодическая и T/D — периодическая часть G/D, то G/T порождается двумя собствен-
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
ными подгруппами. Противоречие с леммой 1. Следовательно, G/D — периодическая фа-
кторгруппа, и поэтому G/D изоморфна квазициклической q-группе Cq∞ для некоторого
простого числа q [6, с. 152]. Лемма доказана.
Теорема. Пусть G 6 GL(F,A), G 6= G′, F — конечное поле. Если каждая собствен-
ная подгруппа группы G имеет конечную центральную размерность и |G| 6= qk, где q —
простое число, то группа G имеет конечную центральную размерность.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай бесконечной группы G. Предположим,
что размерность centdimF (G) бесконечна. Пусть D — коммутант группы G. По лемме 2 фак-
торгруппа G/D изоморфна квазициклической q-группе Cq∞ для некоторого простого чис-
ла q. Следовательно, факторгруппа G/D является объединением конечных характеристи-
ческих подгрупп. Пусть H — собственная подгруппа группы G такая, что D 6 H. Централь-
ная размерность подгруппы H конечна. Отсюда ввиду конечности поля F вытекает, что фа-
кторпространство A/CA(H) конечно. Следовательно, факторгруппа G/CG(A/CA(H)) ко-
нечна. По лемме 2 группа G не имеет собственных подгрупп конечного индекса, поэтому
G = CG(A/CA(H)). Следовательно, [G,A] 6 CA(H). С учетом выбора подгруппы H полу-
чаем, что [G,A] 6 CA(G). Тогда G действует тождественно в каждом факторе ряда
0 6 CA(G) 6 A.
По теореме Калужнина [7, с. 144] группа G абелева. Пусть группа G не является периоди-
ческой и пусть T — периодическая часть G. Тогда факторгруппа G/T порождается двумя
собственными подгруппами. Противоречие с леммой 1. Следовательно, группа G периоди-
ческая, и поэтому G изоморфна квазициклической q-группе Cq∞ для некоторого простого
числа q [6, с. 152]. Так как G — бесконечная финитарная абелева черниковская q-подгруппа
GL(F,A), то по лемме 5.1 [3] q 6= p, где p — характеристика поля F . С другой сторо-
ны, группа G действует тождественно в каждом факторе ряда 0 6 CA(G) 6 A. Каждый
фактор данного ряда является элементарной абелевой p-группой. Отсюда ввиду утвержде-
ния 1.C.3 [8] и результатов § 43 [9, гл. 8] получаем, что G — ограниченная абелева p-группа.
Противоречие. Следовательно, центральная размерность группы G конечна.
Пусть теперь группа G конечна. Поскольку |G| 6= qk, где q — простое число, то можно
выбрать такую систему порождающих {g1, g2, . . . , gm} группы G, что m > 1, и для любого
натурального l = 1, . . . ,m множество {g1, g2 . . . , gm} \ {gl} не является системой порож-
дающих группы G. Следовательно, для любого натурального l = 1, . . . ,m подгруппа 〈gl〉
является собственной подгруппой группы G и имеет конечную центральную размерность.
Отсюда вытекает, что факторпространство A/
⋂
i=1,...,m CA(gi) конечномерно и центральная
размерность группы G конечна. Теорема доказана.
Следствие. Пусть G 6 GL(F,A), G 6= G′, F — конечное поле простой характеристи-
ки p. Если каждая собственная подгруппа группы G имеет конечную центральную размер-
ность и |G| 6= qk, где q — простое число, то группа G содержит элементарную абелеву
p-подгруппу H такую, что факторгруппа G/H изоморфна некоторой подгруппе GLn(F ).
Доказательство. По теореме группа G имеет конечную центральную размерность.
Согласно [3] G содержит элементарную абелеву p-подгруппу H такую, что факторгруппа
G/H изоморфна некоторой подгруппе GLn(F ). Следствие доказано.
Полученный результат свидетельствует о том, что конечность поля существенно влияет
на структуру линейной группы, все собственные подгруппы которой имеют конечную цент-
ральную размерность.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 9
1. Phillips R. E. Finitary linear groups: a surve // Finite and locally finite groups / NATO ASI ser. C. –
Dordrecht: Kluwer, 1995. – 471. – P. 111–146.
2. Phillips R. E. The structure of groups of finitary transformations // J. Algebra. – 1988. – 19, No 2. –
P. 400–448.
3. Dixon M.R., Evans M. J., Kurdachenko L.A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of
infinite central dimension // Ibid. – 2004. – 277, No 1. – P. 172–186.
4. Kurdachenko L.A., Subbotin I. Ya. Linear groups with the maximal condition on subgroups of infinite
central dimension // Publ. Mat. – 2006. – 50, No 1. – P. 103–131.
5. Dashkova O.Yu., Dixon M.R., Kurdachenko L.A. Linear groups with rank restrictions on the subgroups
of infinite central dimension // J. Pure Appl. Algebra. – 2007. – 208, No 3. – P. 785–795.
6. Курош А. Г. Теория групп. – Москва: Наука, 1967. – 648 с.
7. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – Москва: Наука, 1972. – 240 с.
8. Kegel O.H., Wehrfritz B. A.F. Locally finite groups / North-Holland Mathematical Library. Vol. 3. –
Amsterdam: North-Holland, 1973. – 210 p.
9. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. – Москва: Мир, 1974. – Т. 1. – 336 с.
Поступило в редакцию 28.05.2013Днепропетровский национальный университет
им. Олеся Гончара
О.Ю. Дашкова
Про лiнiйнi групи з обмеженнями на систему всiх власних пiдгруп
Нехай G 6 GL(F,A) — лiнiйна група над скiнченним полем F , G 6= G′, |G| 6= qk, де q —
просте число, та для кожної власної пiдгрупи H групи G факторпростiр A/CA(H) є скiн-
ченновимiрним. Доведено, що факторпростiр A/CA(G) є скiнченновимiрним, та описано
структуру групи G.
O.Yu. Dashkova
On linear groups with restrictions on the system of all proper subgroups
Let G 6 GL(F,A) be a linear group over a finite field F , G 6= G′, |G| 6= qk, where q is prime, and
let A/CA(H) be a finite-dimensional quotient space for each proper subgroup H of G. It is proved
that A/CA(G) is the finite-dimensional quotient space, and the structure of a group G is described.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
|